Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 1: Cung Và Góc Lượng Giác
Nội dung Bài 1: Cung Và Góc Lượng Giác thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Hiểu các khái niệm đường tròn định hướng, đường tròn lượng giác, cung và góc lượng giác, số đo cung và góc lượng giác. Phân biệt được cung hình học và cung lượng giác, biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác. Biết 2 đơn vị đo góc là độ và rađian, mối quan hệ giữa các đơn vị này. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Khái Niệm Cung Và Góc Lượng Giác
1. Đường trọn định hướng và cung lượng giác
Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu tâm O và đường kính AA’. Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số t’t, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán kính \(R = 1\). Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục t’t chuyển thành điểm \(M_1\) trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành \(M_2\),…; điểm -1 thành điểm \(N_1\),… (Hình 39.)
Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn.
Nhận xét
a. Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác nhau trên trục số có thể ứng với cùng một điểm trên đường tròn. Chẳng hạn điểm 1 trên trục số ứng với điểm M, nhưng khi cuốn quanh đường tròn một vòng nữa thì có một điểm khác trên trục số cũng ứng với điểm \(M_1\).
b. Nếu ta cuốn tia At theo đường tròn như trên hình 39 thì mỗi số thực dương t ứng với một điểm M trên đường tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ. Tương tự, nếu cuốn tia Ar’ theo đường tròn thì mỗi số thực âm t ứng với một điểm M trên đường tròn và khi t giảm dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều quay của kim đồng hồ.
Ta đi tới khái niệm đường tròn định hướng sau đây
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương (Hình 40).
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Hình 41 cho ta hình ảnh của bốn cung lượng giác khác nhau có cùng điểm đầu A, điểm cuối B.
Ta có thể hình dung một điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung tô đậm trên hình 41. Nếu dừng lại ngay khi gặp B lần đầu, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41a), nếu nó dừng lại sau khi quay một vòng rồi đi tiếp gặp B lần thứ hai nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41b),…
Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41d) nếu nó dừng lại khi gặp B lần đầu,…
Mỗi lần điểm M di động trên đường tròn định hướng luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ điểm A và dừng lại ở điểm B, ta được một cung lượng giác điểm đầu A điểm cuối B. Như vậy
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là \(\widehat{AB}\).
CHÚ Ý
Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì
Kí hiệu \(\widehat{AB}\) chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định.
Kí hiệu \(\widehat{AB}\) chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
2. Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác \(\widehat{CD}\) (hình 42). Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác \(\widehat{CD}\) nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là \((OC, OD)\).
3. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính \(R = 1\) (hình 43).
Đường tròn này cắt hai trục toạ độ tại bốn điểm \(A(1; 0), A'(-1; 0), B(0 ; 1), B'(0; -1)\). Ta lấy \(A(1; 0)\) làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).
II. Số Đo Của Cung Và Góc Lượng Giác
1. Độ và rađian
a. Đơn vị radian
Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, đó là rađian (đọc là ra-di-an).
Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ \(\widehat{AM_1}\) bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài bán kín. Ta nói số đo của cung \(\widehat{AM_1}\) (hay số đo của góc ở tâm \(\widehat{AOM_1}\)) bằng 1 rađian (viết tắt là 1 rad). Tổng quát
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
b. Quan hệ giữa độ và rađian
Ta biết độ dài cung nửa đường tròn là πR, nên trong hình 43 số đo của cung \(\widehat{AA’}\) (hay góc bẹt \(\widehat{AOA’}\)) là πR, nên trong hình 43 số đo của cung \(\widehat{AA’}\) (hay góc bẹt \(\widehat{AOA’}\)) là π rad (vì \(R = 1\)). Vì góc bẹt có số đo độ là 180 nên ta viết \(180^0 = π rad\).
Suy ra \(1^0 = \frac{π}{180}\) rad và \(1 rad = (\frac{180}{π})%0\).
Với \(π ≈ 3,14\) thì \(1^0 ≈ 0,01745\) rad và \(1 rad ≈ 57^017’45″\).
Chú Ý
Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đó. Chẳng hạn cung \(\frac{π}{2}\) được hiểu là cung \(\frac{π}{2}\) rad.
Bảng chuyển đổi thông dụng
Độ | \(30^0\) | \(45^0\) | \(60^0\) | \(90^0\) | \(120^0\) | \(135^0\) | \(150^0\) | \(180^0\) |
Rađian | \(\frac{π}{6}\) | \(\frac{π}{4}\) | \(\frac{π}{3}\) | \(\frac{π}{2}\) | \(\frac{2π}{3}\) | \(\frac{3π}{4}\) | \(\frac{5π}{6}\) | \(π\) |
Câu hỏi 1 bài 1 trang 136 SGK đại số lớp 10: Sử dụng máy tính bỏ túi để đổi từ độ sang rađian và ngược lại.
Nếu dùng máy tính CASIO fx-500MS ta làm như sau
a. Đổi \(35^047’25″\) sang rađian
Ấn ba lần phím MODE rồi ấn 2 để màn hinh hiễn chữ R. Sau đó ấn liên tiếp 3 5 “” 4 7 “” 2 5 “” SHIFT
DRG 1 =
cho kết quả 0,6247 (đã làm tròn đến bốn chữ số thập phân).
Giải:
Máy tính Fx570ES
Bấm SHIFT MODE 4 đề màn hình hiện chữ R (Rad)
Nhập vào màn hình \(35^047^025^0\) rồi bấm SHIFT DRG, chọn 1 và ấn = sẽ ra kết quả.
b. Đổi 3 rad ra độ
Ấn ba phím MODE rồi ấn 1 để màn hình hiện chữ D. Sau đó ấn liên tiếp 3 SHIFT DRG 2 = SHIFT “”
cho kết quả \(171^053’14″\) (đã làm tròn đến giây).
Giải:
Máy tính Fx570ES
Bấm SHIFT MODE 3 để hiện chữ D (Deg).
Nhập vào màn hình số 3 rồi ấn SHIFT DRG chọn 2 và ấn = sẽ ra kết quả 171,8873385… Ấn tiếp phím 0,,, sẽ ra 171053′14′′
c. Độ dài của một cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đó là π rad và có độ dài là πR. Vậy
Cung có số đo α rad của đường tròn bán kính R có độ dài l = Rα.
2. Số đo của một cung lượng giác
Ví dụ: Xét cung lượng giác \(\widehat{AB}\) trong hình 44a. Một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương. Khi M di động từ A đến B tạo nên cung \(\frac{1}{4}\) đường tròn, ta nói cung này có số đo \(\frac{π}{2}\), sau đó đi tiếp một vòng tròn nữa (thêm 2π), ta được cung lượng giác \(\widehat{AB}\) có số đo là \(\frac{π}{2} + 2π = \frac{5π}{2}\).
Tương tự, cung lượng giác \(\widehat{AB}\) trong hình 44b có số đo là \(\frac{π}{2} + 2π + 2π = \frac{9π}{2}\).
Cung lượng giác \(\widehat{AC}\) trong hình 44c lại có số đo là \(-\frac{π}{4} – 2π – 2π – 2π = -\frac{25π}{4}\)
Từ các ví dụ nên trong hình 44 ta thấy
Số đó của một cung lượng giác \(\widehat{AM} (A ≠ M)\) là một số thực, âm hay dương.
Kí hiệu số đo của cung \(\widehat{AM}\) là \(sđ \widehat{AM}\).
Câu hỏi 2 bài 1 trang 138 SGK đại số lớp 10: Cung lượng giác \(\widehat{AD}\) (hình 45) có số đo là bao nhiêu?
Giải:
Cung lượng giác AD có số đo là
\(2π + \frac{π}{2} + \frac{π}{4} = \frac{11π}{4}\)
Ghi Nhớ
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2π. Ta viết
\(sđ\widehat{AM} = α + k2π, k ∈ Z\)
trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.
Khi điểm cuối cung M trung với điểm đầu A ta có \(sđ\widehat{AA} = k2π, k ∈ Z\)
khi \(k = 0\) thì \(sđ\widehat{AA} = 0\).
Người ta cũng viết số đo bằng độ. Công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác \(\widehat{AM}\) là
\(sđ\widehat{AM} = a^0 + k360^0, k ∈ Z\)
trong đó \(a^0\) là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M.
3. Số đo của một góc lượng giác
Ta định nghĩa
Số đo của góc lượng giác \((OA, OC)\) là số đo của cung lượng giác \(\widehat{AC}\) tương ứng.
Câu hỏi 3 bài 1 trang 139 SGK đại số lớp 10: Tím số đo của các góc lượng giác \((OA, OE)\) và \((OA, OP)\) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của cung \(A’B’, AP = \frac{1}{3}AB\)).
Viết số đo này teo đơn vị rađian và theo đơn vị độ.
Giải:
Ta có: \(sđ(OA, OE) = sđAE = 2π + π + \frac{π}{4} = \frac{13π}{4}\)
Đổi ra độ: \(\frac{13π}{4}(rad) = \frac{13π}{4}.\frac{180^0}{π} = 585^0\)
\(sđ(OA, OP) = sđAP = sđAA’ + sđA’B + sđBP\)
\(= -π – \frac{π}{2} – \frac{π}{3} = -\frac{11π}{6}\)
Đổi ra độ: \(-\frac{11π}{6}(rad) = -\frac{11π}{6}.\frac{180^0}{π} = -330^0\)
Chú Ý
Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trung nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc \(A(1; 0)\) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức \(sđ \widehat{AM} = α\).
Ví dụ. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo lần lượt là
a. \(\frac{25π}{4}\)
b. \(-765^0\)
Giải:
a. \(\frac{25π}{4} = \frac{π}{5} + 3.2π.\)
Vậy điểm cuối của cung \(\frac{25π}{4}\) là điểm chính giữa M của cung nhỏ \(\widehat{AB}\) (hình 47).
b. \(-765^0 = -45^0 + (-2).360^0\)
Vậy điểm cuối của cung \(-765^0\) là điểm chính giữa N của cung nhỏ \(\widehat{AB’}\) (hình 47).
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 1: Cung Và Góc Lượng Giác thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường trọn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trường hợp này xảy ra?
Bài Tập 2 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Đổi số đo của các góc sau đây ra rađian
a. \(\)\(18^0\)
b. \(57^30’\)
c. \(-25^0\)
d. \(-125^045’\)
Bài Tập 3 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Đổi số đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây
a. \(\)\(\frac{π}{18}\)
b. \(\frac{3π}{16}\)
c. \(-2\)
d. \(\frac{3}{4}\)
Bài Tập 4 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Một đường trọn có bán kính 20cm. Tìm độ dại của các cung trên đường tròn đó có số đo
a. \(\)\(\frac{π}{15}\)
b. \(1,5\)
c. \(37^0\)
Bài Tập 5 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo
a. \(\)\(-\frac{5π}{4}\)
b. \(135^0\)
c. \(\frac{10π}{3}\)
d. \(-225^0\)
Bài Tập 6 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung \(\widehat{AM}\) có số đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tùy ý)
a. \(\)\(kπ\)
b. \(k\frac{π}{2}\)
c. \(k\frac{π}{3}\)
Bài Tập 7 Trang 140 SGK Đại Số Lớp 10
Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi \(\)\(sđ\widehat{AM} = α(0 < α < \frac{π}{2})\). Gọi \(M_1, M_2, M_3\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc tọa độ. Tìm số đo của các cung \(\widehat{AM_1}, \widehat{AM_2}, \widehat{AM_3}\).
Ở trên là nội dung Bài 1: Cung Và Góc Lượng Giác thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Các bạn được biết các khái niệm cơ bản về cung và góc lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến cung và góc lượng giác. Chúc các bạn học tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời