Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm
Nội dung Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Các bạn cần nắm được một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm và định nghĩa, cách tính đạo hàm tại 1 điểm. Về kỹ năng, giúp các bạn tính được đạo hàm của hàm luỹ thừa, hàm đa thức bậc hai hoặc bậc ba theo định nghĩa. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Đạo Hàm Tại Một Điểm
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
Câu hỏi 1 bài 1 trang 146 SGK đại số & giải tích lớp 11: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là \(\)\(s = t^2\).
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng \([t; t_0]\) với \(t_0 = 3\) và \(t = 2; t = 2,5; t = 2,9; t = 2,99\).
Nêu nhận xét về những kết quả thu được khi t càng gần \(t_0 = 3\).
Giải:
Vân tốc của đoàn tàu là:
\(v = \frac{s}{t} = \frac{t^2}{t} = t\)
Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng \([t; t_0]\) với:
\(t_0 = 3; t = 2 : \frac{3 + 2}{2} = 2,5\)
\(t_0 = 3; t = 2,5 : \frac{3 + 2,5}{2} = 2,75\)
\(t_0 = 3; t = 2,9 : \frac{3 + 2,9}{2} = 2,95\)
\(t_0 = 3; t = 2,99 : \frac{3 + 2,99}{2} = 2,995\)
t càng gần \(t_0 = 3\) thì vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng \([t; t_0]\) càng gần 3.
a. Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục \(s’Os\) (hình 61)
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t
\(s = s(t)\)
Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).
Giải: Trong khoảng thời gian từ \(t_0\) đến t, chất điểm đi được quãng đường là \(s – s_0 = s(t) – s(t_0)\)
Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số \(\frac{s – s_0}{t – t_0} = \frac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}\) là một hằng số với mọi t.
Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm.
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian \(|t – t_0|\).
Khi t càng gần ta, tức là \(|t – t_0|\) càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).
Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây.
Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\mathop {\lim}\limits_{t → t_0}\frac{s(t) – s(t_0)}{t – t_0}\) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).
Đó là đại lượng đặc trung cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).
b. Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t: \(Q = Q(t)\).
Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian \(|t – t_0|\) là \(I_{tb} = \frac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}\)
Nếu \(|t – t_0|\) càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm \(t_0\). Người ta đưa ra định nghĩa sau đây.
Giới hạn hữu hạn (nếu có) \(\mathop {\lim}\limits_{t → t_0}\frac{Q(t) – Q(t_0)}{t – t_0}\) được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\).
Nhận xét: Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học,… đưa đến việc tìm giới hạn \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\), trong đó \(y = f(x)\) là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b) và \(x_0 ∈ (a; b)\).
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) và kí hiệu là \(f'(x_0)\) (hoặc \(y'(x_0)\)), tức là \(f'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)
Chú ý:
Đại lượng \(Δx = x – x_0\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\).
Đại lượng \(Δy = f(x) – f(x_0) = f(x_0 + Δx) – f(x_0)\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy \(y'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx}\)
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Câu hỏi 2 bài 1 trang 149 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho hàm số \(y = x^2\). Hãy tính \(y'(x_0)\) bằng định nghĩa.
Giải:
\(y'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{x^2 – x_0^2}{x – x_0} = \mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{(x – x_0)(x + x_0)}{x – x_0}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}(x + x_0) = 2x_0\)
Để tính đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây.
Quy tắc:
Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(Δy = f(x_0 + Δx) – f(x_0)\)
Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{Δy}{Δx}\)
Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx}\)
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) tại điểm \(x_0 = 2\).
Giải: Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0 = 2\). Ta có
\(Δy = f(2 + Δx) – f(2) = \frac{1}{2 + Δx} – \frac{1}{2} = -\frac{Δx}{2(2 + Δx)}\)
\(\frac{Δy}{Δx} = -\frac{1}{2(2 + Δx)}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{-1}{2(2 + Δx)} = -\frac{1}{4}\)
Vậy \(f'(2) = -\frac{1}{4}\)
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 1
Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý
a. Định lí trên tương đương với khẳng định:
Nếu hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
b. Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng.
Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Chẳng hạn, hàm số \(f(x) = \begin{cases}-x^2 \, \, nếu \, \, x ≥ 0\\x \, \, nếu \, \, x < 0\end{cases}\) liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại đó.
Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị “gãy” tại điểm \(O(0; 0)\) (hình 62).
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Câu hỏi 3 bài 1 trang 150 SGK đại số & giải tích lớp 11:
a. Vẽ đồ thị của hàm số \(f(x) = \frac{x^2}{2}\)
Giải:
b. Tính f'(1)
Giải:
Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0 = 1\). Ta có:
\(Δy = f(1 + Δx) – f(1)\)
\(= \frac{(1 + Δx)^2}{2} – \frac{1^2}{2}\)
\(= \frac{(Δx)^2 + 2Δx}{2}\)
\(⇒ \frac{Δy}{Δx} = \frac{(Δx)^2 + 2Δx}{2} : Δx\)
\(= \frac{Δx}{2} + 1\)
\(⇒ f'(1) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx}\)
\(= \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δx}{2} + 1 = 0 + 1 = 1\)
c. Vẽ đường thẳng đi qua điểm \(M(1; \frac{1}{2})\) và có hệ số góc bằng \(f'(1)\). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.
Giải:
Đường thẳng có hệ số góc bằng \(f'(1) = 1\) có dạng:
\(y = 1.x + a\) hay \(y = x + a\)
Mà đường thẳng đó đi qua điểm \(M(1; \frac{1}{2})\) nên có: \(\frac{1}{2} = 1 + a ⇒ a = \frac{1}{2} – 1 = -\frac{1}{2}\)
⇒ đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là: \(y = x – \frac{1}{2}\)
Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng \(y = x – \frac{1}{2}\) tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại M.
a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C). Giả sử (C) là đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) và \(M_0(x_0; f(x_0)) ∈ (C)\). Kí hiệu \(M(x; f(x))\) là một điểm di chuyển trên (C). Đường thẳng \(M_0M\) là một cát tuyến của (C) (Hình 63).
Nhận xét rằng khi \(x → x_0\) thì \(M(x; f(x))\) di chuyển trên (C) tới điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\) và ngược lại. Giả sử cát tuyến \(M_0M\) có vị trí giới hạn, kí hiêu là \(M_0T\) thì \(M_0T\) được gọi là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\). Điểm \(M_0\) được gọi là tiếp điểm.
Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trung với Oy.
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại \(x_0 ∈ (a; b)\). Gọi (C) là độ thị của hàm số đó.
Định lí 2
Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\) của (C) tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\).
Chứng minh. Giả sử \(M(x_0 + Δx; f(x_0 + Δx))\) là điểm di chuyển trên (C). Ta có (Hình 64).
\(\overline{M_0H} = Δx, \overline{HM} = Δy\)
Hệ số góc của cát tuyến \(M_0M\) là tanφ, trong đó φ là góc tạo bởi trục Ox và vectơ \(\overrightarrow{M_0M}\) như hình 64a hoặc 64b. Ta có \(tanφ = \frac{\overline{HM}}{\overline{M_0H}} = \frac{Δy}{Δx}\).
Khi M dần tới \(M_0(M → M_0)\) thì \(Δx → 0\) và ngược lại.
Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại \(x_0\) nên tồn tại giới hạn \(f'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{M → M_0}tanφ\).
Vậy khi \(M → M_0\) thì cát tuyến \(M_0M\) dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng \(M_0T\), có hệ góc bằng \(\mathop {\lim}\limits_{M → M_0}tanφ = f'(x_0)\).
Đường thẳng \(M_0T\) là tiếp tuyến tại \(M_0\) của (C).
Vậy \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M_0\) của đồ thị (C).
c. Phương trình tiếp tuyến
Câu hỏi 4 bài 1 trang 152 SGK đại số & giải tích lớp 11: Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M_0(x_0; y_0)\) và có hệ số góc k.
Giải:
Đường thẳng đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0)\) và có hệ số góc k có phương trình \(y = k(x – x_0) + y_0\) hay \(y = kx + (-kx_0 + y_0)\).
Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có định lí sau đây.
Đinh lí 3:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0; f(x_0))\) là \(y – y_0 = f'(x_0)(x – x_0)\) trong đó \(y_0 = f(x_0)\).
Câu hỏi 5 bài 1 trang 152 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho hàm số \(y = -x^2 + 3x – 2\). Tính y'(2) bằng định nghĩa.
Phương pháp giải:
– Tính Δy theo số gia Δx.
– Tính tỉ số \(\frac{Δy}{Δx}\) và tính đạo hàm \(y'(2) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx}\).
Giải:
Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0 = 2\). Ta có:
\(Δy = y(2 + Δx) – y(2)\)
\(= -(2 + Δx)^2 + 3(2 + Δx) – 2 – (-2^2 + 3.2 – 2)\)
\(= -(4 + 4Δx + (Δx)^2) + 6 + 3Δx – 2 = -(Δx)^2 – Δx\)
\(⇒ \frac{Δy}{Δx} = \frac{-(Δx)^2 – Δx}{Δx} = -Δx – 1\)
\(⇒ y'(2) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}(-Δx – 1) = -1\)
Ví dụ 2: Cho parabol \(y = -x^2 + 3x – 2\).
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ \(x_0 = 2\).
Giải: Bằng định nghĩa ta tính được \(y'(2) = -1\). Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến là -1. Ngoài ra ta có \(y(2) = 0\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm \(M_0(2; 0)\) là \(y – 0 = (-1).(x – 2)\) hay \(y = -x + 2\).
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a. Vận tốc tức thời
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = s(t)\), với \(s = x(t)\) là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(y = s(t)\) tại \(t_0: v(t_0) = s'(t_0)\).
b. Cường độ tức thời
Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: \(Q = Q(t)\) (\(Q = Q(t)\) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(Q = Q(t)\) tại \(t_0: I(t_0) = Q'(t_0)\).
II. Đạo Hàm Trên Một Khoảng
Câu hỏi 6 bài 1 trang 153 SGK đại số & giải tích lớp 11: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:
a. \(f(x) = x^2\) tại điểm x bất kì
Phương pháp giải:
– Tính Δy theo Δx.
– Tính tỉ số \(\frac{Δy}{Δx}\)
– Tính giới hạn \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0∞}\frac{Δx}{Δy}\) và kết luận.
Giải:
Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0\) bất kì. Ta có:
\(Δy = f(x_0 + Δx) – f(x_0)\)
\(= (x_0 + Δx)^2 – x_0^2 = 2x_0Δx + (Δx)^2\)
\(⇒ \frac{Δy}{Δx} = \frac{2x_0Δx + (Δx)^2}{Δx} = 2x_0 + Δx\)
\(⇒ y'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}(2x_0 + Δx) = 2x_0\)
b. \(g(x) = \frac{1}{x}\) tại điểm bất kì \(x ≠ 0\).
Giải:
Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0\) bất kỳ. Ta có:
\(Δy = g(x_0 + Δx) – g(x_0)\)
\(= \frac{1}{x_0 + Δx} – \frac{1}{x_0} = \frac{-Δx}{x_0(x_0 + Δx)}\)
\(⇒ \frac{Δy}{Δx} = \frac{-Δx}{x_0(x_0 + Δx)} : Δx = \frac{-1}{x_0(x_0 + Δx)}\)
\(y'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}(\frac{-1}{x_0(x_0 + Δx)}) = \frac{-1}{x_0^2}\)
Định nghĩa
Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số \(f’: (a; b) → R\) là đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay \(f'(x)\).
Ví dụ 3: Hàm số \(y = x^2\) có đạo hàm \(y’ = 2x\) trên khoảng \((-∞; +∞)\)
Hàm số \(y = \frac{1}{x}\) có đạo hàm \(y’ = -\frac{1}{x^2}\) trên các khoảng \((-∞; 0)\) và \((0; +∞)\).
Bài Đọc Thêm
Đạo hàm một bên
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b) và \(x_0 ∈ (a; b)\). Có thể không tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\) nhưng tồn tại các giới hạn một bên \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}, \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\).
Khi đó, ta nói hàm số có đạo hàm một bên.
Định nghĩa 1
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\), ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = x_0\) và kí hiệu là \(f'(x_0^+)\).
Tương tự, giới hạn (hữu hạn) bên trái (nếu tồn tại) \(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}\frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\) được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = x_0\) và kí hiệu là \(f'(x_0^-)\).
Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên.
Từ các tính chất của giới hạn một bên suy ra ngay định lí sau đây.
Định lí
Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) khi và chỉ khi \(f'(x_0^+), f'(x_0^-)\) tồn tại và bằng nhau. Khi đó, ta có \(f'(x_0^+) = f'(x_0^-) = f'(x_0)\).
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số \(\begin{cases}x^2 \, \, nếu \, \, x ≥ 0\\-x \, \, nếu \, \, x < 0\end{cases}\) có các đạo hàm một bên, nhưng không có đạo hàm tại \(x_0 = 0\).
Giải. Ta có:
\(f'(0^+) = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{x^2}{x} = 0;\)
\(f'(0^-) = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{-x}{x} = -1\)
Vậy tại \(x_0 = 0\), hàm số này có đạo hàm bên phải bằng 0, đạo hàm bên trái bằng -1.
Vì các đạo hàm bên phải và bên trái khác nhau nên hàm số không có đạo hàm tại \(x_0 = 0\).
Ví dụ 2. Xét sự tồn tại đạo hàm các và các đạo hàm một bên của hàm số \(f(x) = \begin{cases}-\sqrt[5]{x^4} \, \, nếu \, \, x ≥ 0\\2x \, \, nếu \, \, x < 0\end{cases}\) tại điểm \(x = 0\).
Giải. Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{-\sqrt[5]{x^4}}{x – 0} = -\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}\frac{1}{\sqrt[5]{x}} = -∞\) nên hàm số không có đạo hàm bên phải tại \(x = 0\).
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{f(x) – f(0)}{x – 0} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}\frac{2x}{x} = 2\) nên hàm số có đạo hàm bên trái tại \(x = 0\) và \(f'(0^-) = 2\).
Từ định lí suy ra rằng hàm số đã cho không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Định nghĩa 2
Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
Có đạo hàm tại mọi \(x ∈ (a; b)\);
Có đạo hàm bên phải tại \(x = a\);
Có đạo hàm bên trái tại \(x = b\).
Bài Tập SGK Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng:
a. \(x_0 = 1; Δx = 1\)
b. \(x_0 = 1; Δx = -0,1\)
Bài Tập 2 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tính ∆y và \(\frac{∆y}{∆x}\) của các hàm số sau theo x và ∆x:
a. \(y = 2x – 5\)
b. \(y = x^2 – 1\)
c. \(y = 2x^3\)
d. \(y = \frac{1}{x}\)
Bài Tập 3 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tính (bằng định nghĩa) đọa hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a. \(y = x^2 + x\) tại \(x_0 = 1\)
b. \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0 = 2\)
c. \(y = \frac{x + 1}{x – 1}\) tại \(x_0 = 0\)
Bài Tập 4 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \begin{cases}(x – 1)^2 \, \, nếu \, \, x ≥ 0\\-x^2 \, \, nếu \, \, x < 0\end{cases}\) không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Bài Tập 5 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = x^3\).
a. Tại điểm (-1; -1)
b. Tại điểm có hoành độ bằng 2
c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Bài Tập 6 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y = \frac{1}{x}\)
a. Tại điểm \((\frac{1}{2}; 2)\)
b. Tại điểm co hoành độ bằng -1
c. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-\frac{1}{4}\)
Bài Tập 7 Trang 156 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Một vật rơi tự do theo phương trình \(s = \frac{1}{2}gt^2\), trong đó \(g ≈ 9,8m/s^2\) là gia tốc trọng trường.
a. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \(t (t = 5s)\) đến \(t + ∆t\), trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\).
b. Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\).
Ở trên là nội dung Bài 1: Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Đạo hàm là khái niệm quan trọng bậc nhất của Giải tích học, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán ở phân môn Giải tích trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Nội dung bài học sẽ bước đầu giúp các bạn tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi kèm là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn nắm được phương pháp làm bài. Chúc các bạn học tốt toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời