Chương IV: Giới Hạn – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
Nội dung Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số thuộc Chương IV: Giới Hạn môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài học giúp các bạn định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn. Về kỹ năng, nắm được khái niệm giới hạn của dãy số, một số định lí về giới hạn của dãy số; biết cách tính giới hạn của dãy số; nắm được định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn, biết cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Giới Hạn Hữa Hạn Của Dãy Số
1. Định nghĩa
Câu hỏi 1 bài 1 trang 112 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{1}{n}\).
Biểu diễn \((u_n)\) dưới dạng khai triển: \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, …, \frac{1}{100},…\)
Biểu diễn \((u_n)\) trên trục số (hình 46):
a. Nhận xét xem khoảng cách từ \(u_n\) tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn.
b. Bắt đầu từ số hạng \(u_n\) nào của dãy số thì khoảng cách từ \(u_n\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
Giải:
Câu a: Nhận xét xem khoảng cách từ \(u_n\) tới 0 thay đổi thế nào khi n trở nên rất lớn.
Quan sát và nhận xét.
Khoảng cách từ \(u_n\) tới 0 trở nên rất nhỏ (gần bằng 0) khi n trở nên rất lớn.
Câu b: Bắt đầu từ số hạng \(u_n\) nào của dãy số thì khoảng cách từ \(u_n\) đến 0 nhỏ hơn 0,01? 0,001?
Cho \(\frac{1}{n} < 0,01\) và \(\frac{1}{n} < 0,001\) tìm điều kiện của n.
Ta có: \(\frac{1}{n} < 0,01 ⇔ \frac{1}{n} < \frac{1}{100} ⇔ n > 100.\)
Do đó từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách từ \(u_n\) đến 0 đều nhỏ hơn 0,01.
\(\frac{1}{n} > 0,001 ⇔ \frac{1}{n} < \frac{1}{1000} ⇔ n > 1000.\)
Do đó từ số hạng thứ 1001 thì khoảng cách từ \(u_n\) đến 0 đều nhỏ hơn 0,001.
(Ta cũng chứng minh được rằng \(|u_n| = \frac{1}{n}\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(|u_n|\) có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn. Khi đó, ta nói dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{1}{n}\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực).
Định nghĩa 1
Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}u_n = 0\) hay \(u_n → 0\) khi \(n → +∞.\)
Như vậy, \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi \(n → +∞\) nếu \(u_n\) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn.
Ví dụ 1: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{(-1)^n}{n^2}.\)
Biểu diễn \((u_n)\) trên trục số (hình 47).
Người ta chứng minh được rằng \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}u_n = 0\), nghĩa là \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số sương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn:
\(|u_n| = |\frac{(-1)^n}{n^2}| = \frac{1}{n^2} < 0,01\) hay \(|u_n| = \frac{1}{n^2} < \frac{1}{100}\) với mọi n thỏa mãn \(n^2 > 100\) hay \(n > 10\).
Nói cách khác, \(|u_n| < 0,01\) kể từ số hạng thứ 11 trở đi.
Tương tự, \(|u_n| = \frac{1}{n^2} < 0,000 01\) hay \(|u_n| = \frac{1}{n^2} < \frac{1}{100000}\) với mọi n thỏa mãn \(n^2 > 100 000\) hay \(n > \sqrt{100000} ≈ 316,2\).
Vậy \(u_n < 0,000 01\) kể từ số hạng thứ 317 trở đi.
Định nghĩa 2
Ta nói dãy số \((v_n)\) có giới hạn là số a (hay \(v_n\) dần tới a) khi \(n → +∞\), nếu \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(v_n – a) = 0\).
Kí hiệu: \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}v_n = a\) hay \(v_n → a\) khi \(n → +∞\).
Ví dụ 2: Cho dãy số \((v_n)\) với \(v_n = \frac{2n + 1}{n}\). Chứng minh rằng \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}v_n = 2.\)
Giải: Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(v_n – 2) = \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}(\frac{2n + 1}{n} – 2) = \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}\frac{1}{n} = 0.\)
Vậy \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}v_n = \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}\frac{2n + 1}{n} = 2.\)
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa suy ra các kết quả sau:
a. \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}\frac{1}{n} = 0; \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}\frac{1}{n^k} = 0\) với k nguyên dương;
b. \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}q^n = 0\) nếu \(|q| < 1\)
c. Nếu \(u_n = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}u_n = \mathop {\lim}\limits_{n → +∞}c = c\).
Chú ý: Từ nay về sau thay cho \(\mathop {\lim}\limits_{n → +∞}u_n = a\), ta viết tắt là \(limu_n = a\).
II. Định Lí Về Giới Hạn Hữu Hạn
Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên người ta thường áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí sau đây mà ta thừa nhận.
Định lí 1:
a. Nếu \(limu_n = a\) và \(limv_n = b\) thì
- \(lim(u_n + v_n) = a + b\)
- \(lim(u_n.v_n) = a.b\)
- \(lim(u_n – v_n) = a – b\)
- \(lim\frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}\) (nếu b ≠ 0)
b. Nếu \(u_n ≥ 0\) với mọi n và \(limu_n = a\) thì a ≥ 0 và \(lim\sqrt{u_n} = \sqrt{a}\).
Ví dụ 3: Tìm \(lim\frac{3n^2 – n}{1 + n^2}\)
Giải: Chia tử số và mẫu số cho \(n^2\), ta được \(\frac{3n^2 – n}{1 + n^2} = \frac{3 – \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}.\frac{1}{n} + 1}.\)
Vì \(lim(3 – \frac{1}{n}) = lim3 – lim\frac{1}{n} = 3 – 0 = 3\)
và \(lim(\frac{1}{n}.\frac{1}{n} + 1) = lim\frac{1}{n}.lim\frac{1}{n} + lim1 = 0.0 + 1 = 1\)
nên \(lim\frac{3n^2 – n}{1 + n^2} = lim\frac{3 – \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}.\frac{1}{n} + 1} = \frac{lim(3 – \frac{1}{n})}{lim(\frac{1}{n}.\frac{1}{n} + 1)} = \frac{3}{1} = 3.\)
Ví dụ 4: Tìm \(lim\frac{\sqrt{1 + 4n^2}}{1 – 2n}.\)
Giải: Ta có \(lim\frac{\sqrt{1 + 4n^2}}{1 – 2n} = lim\frac{\sqrt{n^2(\frac{1}{n^2} + 4)}}{1 – 2n}\)
\(= \frac{n\sqrt{\frac{1}{n^2} + 4}}{n(\frac{1}{n} – 2)} = lim\frac{\sqrt{\frac{1}{n^2} + 4}}{\frac{1}{n} – 2} = \frac{2}{-2} = -1.\)
III. Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn
- Cấp số nhân vô hạn \((u_n)\) có công bội q, với \(|q| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Chẳng hạn, hai dãy số sau là những cấp số nhân lùi vô hạn:
– Dãy số \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8},…, \frac{1}{2^n},…\) với công bội \(q = \frac{1}{2}\)
– Dãy số \(1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, -\frac{1}{27}, \frac{1}{81},…, (-\frac{1}{3})^{n – 1},…\) với công bội \(q = -\frac{1}{3}\).
- Cho cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\) có công bội q. Khi đó,
\(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} = \frac{u_1}{1 – q} – (\frac{u_1}{1 – q}).q^n.\)
Vì \(|q| < 1\) nên \(limq^n = 0\). Từ đó ta có
\(limS_n = lim[\frac{u_1}{1 – q} – (\frac{u_1}{1 – q})q^n] = \frac{u_1}{1 – q}.\)
Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\) và được kí hiệu là \(S = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n +…\)
Như vậy \(S = \frac{u_1}{1 – q} (|q| < 1)\)
Ví dụ 5:
a. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \((u_n)\), với \(u_n = \frac{1}{3^n}\).
b. Tính tổng \(1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + … + (-\frac{1}{2})^{n – 1} + …\)
Giải:
a. Vì \(u_n = \frac{1}{3^n}\) nên \(u_1 = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}\). Do đó
\(S = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + … + \frac{1}{3^n} + … = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}.\)
b. Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1 = 1, q = -\frac{1}{2}\).
Vậy \(S = 1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{8} + … + (-\frac{1}{2})^{n – 1} + …\)
\(= \frac{u_1}{1 – q} = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{2})} = \frac{2}{3}.\)
IV. Giới Hạn Vô Cực
1. Định nghĩa
Câu hỏi 2 bài 1 trang 117 SGK đại số & giải tích lớp 11: Có nhiều tờ giấy giống nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,01mm. Ta xếp chồng liên tiếp tờ này lên tờ khác (hình 48). Giả sử có thể thực hiện việc xếp giấy như vậy một cách vô hạn.
Gọi \(u_1\) là bề dày của một tờ giấy, \(u_2\) là bề dày của một xếp giấy gồm hai tờ, \(u_3\) là bề dày của một xếp giấy gồm ba tờ,…, \(u_n\) là bề dày của một chồng giấy gồm n tờ. Tiếp tục như vậy, ta có được dã số vô hạn \((u_n)\).
Bảng sau đây cho biết bề dày (tính theo mm) của một số chồng giấy.
a. Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của \(u_n\) khi n tăng lên vô hạn.
b. Với n như thế nào thì ta đạt được những chống giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384 000km hay \(384.10^9mm\)).
\(u_1\) | \(…\) | \(u_{1000}\) | \(…\) | \(u_{1000000}\) | \(…\) | \(u_{1000000000}\) | \(…\) | \(u_n\) | \(…\) |
\(0,1\) | \(…\) | \(100\) | \(…\) | \(100000\) | \(…\) | \(1000000000\) | \(…\) | \(\frac{n}{10}\) | \(…\) |
Giải:
Câu a: Quan sát bảng trên và nhận xét về giá trị của \(u_n\) khi n tăng lên vô hạn.
Giá trị của \(u_n\) rất lớn khi n tăng lên vô hạn.
Câu b: Với n như thế nào thì ta đạt được những chống giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng? (cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384 000km hay \(384.10^9mm\)).
Ta có: \(u_n > 384.10^9 ⇔ \frac{n}{10} > 384.10^9 ⇔ n > 384.10^{10}\).
Vậy cần \(n > 384.10^{10}\) tờ giấy để đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất tới Mặt Trăng.
(Ta cũng chứng minh được rằng \(u_n = \frac{n}{10}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, dãy số \((u_n)\) nói trên được gọi là dần tới dương vô cực, khi \(n → ∞\)).
Định nghĩa
Ta nói dãy số \((u_n)\) có giới hạn +∞ khi \(n → +∞\), nếu \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hàng nào đó trở đi.
Kí hiệu: \(limu_n = +∞\) hay \(u_n → +∞\) khi \(n → +∞\).
Dãy số \((u_n)\) được gọi là có giới hạn -∞ khi \(n → +∞\) nếu \(lim(-u_n) = +∞\).
Kí hiệu: \(limu_n = -∞\) hay \(u_n → -∞\) khi \(n → +∞\).
Nhận xét
\(limu_n = +∞ ⇔ lim(-u_n) = -∞.\)
Ví dụ 6: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = n^2\).
Hình 49 cho một biểu diễn các số hạng của \((u_n)\) trên trục số.
Biểu diễn hình học này cho thấy, khi n tăng lên vô hạn thì \(u_n\) trở nên rất lớn. Hơn nữa, người ta chứng minh được rằng \(limu_n = +∞\), nghĩa là \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn, \(u_n > 10000\), hay \(n^2 > 10000\) khi \(n > 100\).
Vậy \(u_n > 10000\) kể từ số hạng thứ 101 trở đi.
Tương tự, \(u_n > 10^{20}\) hay \(n^2 > 10^{20}\) khi \(n > 10^{10}\).
Vậy \(u_n > 10^{20}\) kể từ số hạng thứ \(10^{10} + 1\).
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau:
a. \(limn^k = +∞\) với k nguyên dương;
b. \(limq^n = +∞\) nếu \(q > 1\).
3. Định lí
Ta thừa nhận định lí dưới đây.
Định lí 2
a. Nếu \(limu_n = a\) và \(limv_n = ±∞\) thì \(lim\frac{u_n}{v_n} = 0\).
b. Nếu \(limu_n = a > 0, limv_n = 0\) và \(v_n > 0\) với mọi n thì \(lim\frac{u_n}{v_n} = +∞\).
c. Nếu \(limu_n = +∞\) và \(limv_n = a > 0\) thì \(limu_nv_n = +∞\).
3. Định lí
Ta thừa nhận định lí dưới đây.
Đinh lí 2:
a. Nếu \(limu_n = a\) và \(limv_n = ±∞\) thì \(lim\frac{u_n}{v_n} = 0.\)
b. Nếu \(limu_n = a > 0, limv_n = 0\) và \(v_n > 0\) với mọi n thì \(lim\frac{u_n}{v_n} = +∞.\)
c. Nếu \(limu_n = +∞\) và \(limv_n = a > 0\) thì \(limu_nv_n = +∞.\)
Ví dụ 7: Tìm \(lim\frac{2n + 5}{n.3^n}.\)
Giải: Chia tử và mẫu cho n, ta được \(\frac{2n + 5}{n.3^n} = \frac{2 + \frac{5}{n}}{3^n}.\)
Vì \(lim(2 + \frac{5}{n}) = 2\) và \(lim3^n = +∞\) nên \(lim\frac{2n + 5}{n.3^n} = lim\frac{2 + \frac{5}{n}}{3^n} = 0.\)
Ví dụ 8: Tìm \(lim(n^2 – 2n – 1).\)
Giải: Ta có \(n^2 – 2n – 1 = n^2(1 – \frac{2}{n} – \frac{1}{n^2}).\)
Vì \(limn^2 = +∞\) và \(lim(1 – \frac{2}{n} – \frac{1}{n^2}) = 1 > 0\) nên \(limn^2(1 – \frac{2}{n} – \frac{1}{n^2}) = +∞.\)
Vậy \(lim(n^2 – 2n – 1) = +∞.\)
Bài Tập SGK Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số thuộc Chương IV: Giới Hạn môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian \(\)\(T = 24 000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người (T được gọi là chu kì bán ra).
Gọi \(u_n\), là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a. Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số \((u_n)\).
b. Chứng minh rằng \((u_n)\) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}\).
Bài Tập 2 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Biết dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n – 1| < \frac{1}{n^3}\) với mọi n. Chứng minh rằng \(limu_n = 1\).
Bài Tập 3 Trang 121 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm các giới hạn sau:
a. \(lim\frac{6n – 1}{3n + 2}\)
b. \(lim\frac{3n^2 + n – 5}{2n^2 + 1}\)
c. \(lim\frac{3^n + 5.4^n}{4^n + 2^n}\)
d. \(lim\frac{\sqrt{9n^2 – n + 1}}{4n – 2}\)
Bài Tập 4 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là \(1, 2, 3, …, n, …,\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (hình 51).
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.
a. Gọi \(u_n\) là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính \(u_1, u_2, u_3\) và \(u_n\).
b. Tính \(limS_n\) với \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n\).
Bài Tập 5 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tính tổng \(S = -1 + \frac{1}{10} – \frac{1}{10^2} + … + \frac{(-1)^n}{10^{n – 1}} +…\)
Bài Tập 6 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn \(a = 1,020 202…\) (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Bài Tập 7 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tính các giới hạn sau:
a. \(lim(n^3 + 2n^2 – n + 1)\)
b. \(lim(-n^2 + 5n – 2)\)
c. \(lim(\sqrt{n^2 – n} – n)\)
d. \(lim(\sqrt{n^2 – n} + n)\)
Bài Tập 8 Trang 122 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\). Biết \(limu_n = 3, limv_n = +∞\).
Tính các giới hạn sau:
a. \(lim\frac{3u_n – 1}{u_n + 1}\)
b. \(lim\frac{v_n + 2}{v_n^2 – 1}\)
Ở trên là nội dung Bài 1: Giới Hạn Của Dãy Số thuộc Chương IV: Giới Hạn môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm mới của phân môn Giải tích lá Giới hạn. Ở bài học này các bạn sẽ được tìm hiểu về giới hạn của dãy số và các phương pháp tính được thể hiện cụ thể qua các ví dụ minh họa. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời