Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Hàm Số Lượng Giác
Nội dung Bài 1: Hàm Số Lượng Giác thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Giúp các bạn nắm định nghĩa, tính tuần hoàn, chu kỳ của các hàm số lượng giác, biết tập xác định, tập giá trị, sự biến thiên và cách vẽ đồ thị của bốn hàm số đó. Về kỹ năng giúp các bạn tìm tập xác định của hàm số, vẽ đồ thị các hàm số lượng giác. Biết tư duy linh hoạt nhận dạng đồ thị một hàm số lượng giác, từ hàm sinx vẽ được hàm cosx, từ hàm tanx vẽ được hàm cotx. Mời các bạn theo dõi nội dung ngay dưới đây.
I. Định Nghĩa
Trước hết, ta nhắc lại bảng các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt.
Cung/Giá trị lượng giác | \(0\) | \(\frac{π}{6}\) | \(\frac{π}{4}\) | \(\frac{π}{3}\) | \(\frac{π}{2}\) |
\(sinx\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
\(cosx\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
\(tanx\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | || |
\(cotx\) | || | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(0\) |
Câu hỏi 1 bài 1 trang 4 SGK đại số & giải tích lớp 11:
a. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: \(\frac{π}{6}; \frac{π}{4}; 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5\).
b. Trên đường tròn lượng giác, với điểm góc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x(rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14).
Giải:
Câu a: Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: \(\frac{π}{6}; \frac{π}{4}; 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5\).
Nhập các giá trị tương ứng vào hàm sin, cos trên máy tính bỏ túi.
\(sin\frac{π}{6} = \frac{1}{2}; cos\frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(sin\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}; cos\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(sin1,5 = 0,9975; cos1,5 = 0,0707\)
\(sin2 = 0,9093; cos2 = -0,4161\)
\(sin3,1 = 0,0416; cos3,1 = -0,0991\)
\(sin4,25 = -0,8950; cos4,25 = -0,4461\)
\(sin5 = -0,9589; cos5 = 0,2837\)
Câu b: Trên đường tròn lượng giác, với điểm góc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung AM bằng x(rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14).
1. Hàm số sin và hàm số côsin
a. Hàm số sin
Ở lớp 10 ta đã biết, có thể đặt tương ứng mỗi số thực x với một điểm M duy nhất trên đường tròn lượng giác mà số đo của cung AM bằng x(rad) (hình 1a). Điểm M có tung độ hoàn toàn xác định, đó chính là giá trị sinx.
Biểu diễn giá trị của x trên trục hoành và giá trị của sinx trên trục tung, ta được hình 1b.
Quy tác đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx
\(sin: R → R\)
\(x ↦ y = sinx\)
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là \(y = sinx\).
Tập xác định của hàm số sin là R.
b. Hàm số côsin
Quy tác đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx
\(cos: R → R\)
\(x ↦ y = cosx\)
được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là \(y = cosx\) (hình 2)
Tập xác định của hàm số côsin là R.
2. Hàm số tang và hàm số côtang
a. Hàm số tang
Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức \(y = \frac{sinx}{cosx} (cosx ≠ 0)\), kí hiệu là \(y = tanx\).
Vì \(cosx ≠ 0\) khi và chỉ khi \(x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\) nên tập xác định của hàm số \(y = tanx\) là \(D = R \setminus \{\frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\}\)
b. Hàm số côtang
Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức \(y = \frac{cosx}{sinx} (sinx ≠ 0)\), kí hiệu là \(y = cotx\).
Vì \(sinx ≠ 0\) khi và chỉ khi \(x ≠ kπ (k ∈ Z)\) nên tập xác định của hàm số \(y = cotx\) là \(D = R \setminus \{kπ, k ∈ Z\}\).
Câu hỏi 2 bài 1 trang 6 SGK đại số & giải tích lớp 11: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x).
Giải:
Bước 1: Vẽ hai góc x và -x trên đường tròn lượng giác.
Bước 2: Xác định sin(x), sin(-x), cos(x) và cos(-x) trên đường tròn lượng giác.
Bước 3: So sánh và rút ra kết luận.
\(sinx = -sin(-x)\)
\(cosx = cos(-x)\)
Nhận xét
Hàm số \(y = sinx\) là hàm số lẻ, hàm số \(y = cos\) là hàm số chẵn, từ đó suy ra các hàm số \(y = tanx\) và \(y = cotx\) đều là những hàm số lẻ.
II. Tính Tuần Hoàn Của Hàm Số Lượng Giác
Câu hỏi 3 bài 1 trang 6 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tìm nhứng số T sao cho \(f(x + T) = f(x)\) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số sau:
a. \(f(x) = sinx\)
b. \(f(x) = tanx\)
Giải:
Câu a: \(f(x) = sinx\)
Sử dụng công thức \(sin(α + k2π) = sinα\)
\(T = k2π(k ∈ Z) vì f(x + T) = sin(x + k2π) = sinx = f(x)\)
Câu b: \(f(x) = tanx\)
Sử dụng công thức \(tan(α + kπ) = tanα\) để chỉ ra T
\(T = kπ(k ∈ Z)\) vì \(f(x + T) = tan(x + kπ) = tanx = f(x)\)
Người ta chứng minh được rằng \(T = 2π\) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức \(sin(x + T) = sinx, ∀x ∈ R\) (xem Bài Đọc thêm)
Hàm số \(y = sinx\) thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
Tương tự, hàm số \(y = cosx\) là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.
Các hàm số \(y = tanx\) và \(y = cotx\) cũng là những hàm số tuần hoàn, với chu kì π.
III. Sự Biến Thiên Và Đồ Thị Của Hàm Số Lượng Giác
1. Hàm số y = sinx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y = sinx\):
– Xác định với mọi \(x ∈ R\) và \(-1 ≤ sinx ≤ 1\)
– Là hàm số lẻ
– Là hàm số tuần hào với chu kì 2π.
Sau đây, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = sinx\).
a. Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π]
Xét các số thực \(x_1, x_2\), trong đó \(0 ≤ x_1 < x_2 ≤ \frac{π}{2}\). Đặt \(x_3 = π – x_2, x_4 = π – x_1\).
Biểu diễn chúng trên đường tròn lượng giác và xét sin \(x_i\) tương tương ứng \((i = 1, 2, 3, 4)\) (hình 3a)
Trên hình 3 ta thấy, với \(x_1, x_2\) tùy ý thuộc đoạn \([0; \frac{π}{2}]\) và \(x_1 < x_2\) thì \(sinx_1 < sinx_2\).
Khi đó \(x_3, x_4\) thuộc đoạn \([\frac{π}{2}; π]\) và \(x_3 < x_4\) nhưng \(sinx_3 > sinx_4\).
Vậy hàm số \(y = sinx\) đồng biến trên \([0; \frac{π}{2}]\) và nghịch biến trên \([\frac{π}{2}; π]\).
Bảng biến thiên:
Đồ thị của hàm số \(y = sinx\) trên đoạn \([0; π]\) đi qua các điểm \((0; 0), (x_1; sinx_1), (x_2; sinx_2), (\frac{π}{2}; 1), (x_3; sinx_3), (x_4; sinx_4), (π; 0)\) (Hình 3b).
Chu ý:
Vì \(y = sinx\) là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn \([0; π]\) qua gốc tọa độ 0, ta được đồ thị hàm số trên đoạn \([-π; 0]\).
Đồ thị hàm số \(y = sinx\) trên đoạn \([-π; π]\) được biểu diễn trên hình 4.
b. Đồ thị hàm số y = sinx trên R
Hàm số \(y = sinx\) là hàm số tuần hoàn chu kì 2π nên với mọi \(x ∈ R\) ta có \(sin(x + k2π) = sinx, x ∈ Z\).
Do đó, muốn có đồ thị hàm số \(y = sinx\) trên toàn bộ tập xác định R, ta tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn \([-π; π]\) theo các vectơ \(\vec{v} = (2π; 0)\) và \(-\vec{π} = (-2π; 0)\), nghĩa là tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài 2π.
Hình 5 dưới đây là đồ thị hàm số \(y = sinx\) trên R.
c. Tập giá trị của hàm số y = sinx
Từ đồ thị ta thấy tập hợp mọi giá trị của hàm số \(y = sinx\) là đoạn \([-1; 1]\). Ta nói tập giá trị của hàm số này là \([-1; 1]\).
2. Hàm số y = cosx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y = cosx\):
– Xác định với mọi \(x ∈ R\) và \(-1 ≤ cosx ≤ 1\)
– Là hàm số chẵn
– Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
Với mọi \(x ∈ R\) ta có đẳng thức \(sin(x + \frac{π}{2}) = cosx\).
Từ đó, bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = sinx\) theo vectơ \(\vec{u} = (-\frac{π}{2}; 0)\) (sang trái một đoạn có độ dài bằng \(\frac{π}{2}\), song song với trục hoành), ta được đồ thị của hàm số \(y = cosx\) (hình 6).
Từ đồ thị của hàm số \(y =cosx\) trên hình 6, ta suy ra:
Hàm số \(y = cosx\) đồng biến trên đoạn \([-π; 0]\) và nghịch biến trên đoạn \([0; π]\).
Bảng biến thiên:
Tập giá trị của hàm số \(y =cosx là [-1; 1]\).
Đồ thị của các hàm số \(y = cosx, y = sinx\) được gọi chung là các đường hình sin.
3. Hàm số y = tanx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y = tanx\):
– Có tập xác định là \(D = R \setminus \{\frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\}\)
– Là Hàm số lẻ
– Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.
Vì vậy, để xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = tanx\), ta chỉ cần xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2}]\), sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ 0, ta được đồ thị hàm số trên khoảng \((-\frac{π}{2}; \frac{π}{2})\).
Cuối cùng, do tính tuần hoàn với chu kì π nên đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên D thu được từ đồ thị hàm số trên khoảng \((-\frac{π}{2}; \frac{π}{2})\) bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành từng đoạn có độ dài băng π.
a. Sự biến thiên và đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\)
Từ biểu diễn hình học của tanx (hình 7a), với \(x_1, x_2 ∈ [0; \frac{π}{2}), AM_1 = x_1, AM_2 = x_2, AT_1 = tanx_1, AT_2 = tanx_2\), ta thấy:
\(x_1 < x_2 ⇒ tanx_1 < tanx_2.\)
Điều đó chứng tỏ rằng, hàm số \(y =tanx\) đồng biến trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\).
Bảng biến thiên:
Để vẽ đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\) ta làm như sau:
Tính giá trị của hàm số \(y = tanx\) tại một số điểm đặc biệt như \(x = 0, x = \frac{π}{6}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{3}\), rồi xác định các điểm \((0; tan0), (\frac{π}{6}; tan\frac{π}{6}), (\frac{π}{4}; tam\frac{π}{4}), (\frac{π}{3}; tan\frac{π}{3})\),… Ta có bảng sau:
Đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\) đi qua các điểm tìm được.
Nhận xét rằng khi x càng gần \(\frac{π}{2}\) thì đồ thị hàm số \(y = tanx\) càng gần đường thẳng \(x = \frac{π}{2}\) (hình 7b).
b. Đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên D
Vì \(y = tanx\) là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\), ta được đồ thị hàm số trên nửa khoảng \([-\frac{π}{2}; 0)\).
Từ đó, ta được đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên khoảng \((-\frac{π}{2}; \frac{π}{2})\). Ta thấy trên khoảng này, hàm số \(y = tanx\) đồng biến (hình 8).
Vì hàm số \(y = tanx\) tuần hoàn với chu kì π nên tịnh tiến đồ thì hàm số trên khoảng \((-\frac{π}{2}; \frac{π}{2})\) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số \(y = tanx\) trên D (Hình 9).
Tập giá trị của hàm số \(y = tanx\) là khoảng \((-∞; +∞)\).
4. Hàm số y = cotx
Từ định nghĩa ta thấy hàm số \(y = cotx\):
– Có tập xác định là \(D = R \setminus \{kπ, k ∈ Z\}\)
– Là hàm số lẻ
– Là hàm số tuần hoàn với chu kì π.
Sau đây, ta xét sự biến thiên và đồ thị của hàm số \(y = cotx\) trên khoảng \((0; π)\), rồi từ đó suy ra đồ thị của hàm số trên D.
a. Sự biến thiên và đồ thị hàm số \(y = cotx\) trên khoảng (0; π)
Với hai số \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(0 < x_1 < x_2 < π\), ta có \(0 < x_2 – x_1 < π\). Do đó
\(cotx_1 – cotx_2 = \frac{cosx_1}{sinx_1} – \frac{cosx_2}{sinx_2}\)
\(= \frac{sinx_2cosx_1 – cosx_2sinx_1}{sinx_1sinx_2}\)
\(= \frac{sin(x_2 – x_1)}{sinx_1sinx_2} > 0\)
hay \(cotx_1 > cotx_2\).
Vậy hàm số \(y = cotx\) nghịch biến trên khoảng (0; π).
Bảng biến thiên:
Hình 10 biểu diễn đồ thị hàm số \(y = cotx\) trên khoảng \((0; π)\).
b. Đồ thị của hàm số \(y = cotx\) trên D
Đồ thị hàm số \(y = cotx\) trên D được biểu diễn trên hình 11.
Tập giá trị của hàm số \(y = cotx\) là khoảng \((-∞; +∞)\)
Bài Tập SGK Bài 1: Hàm Số Lượng Giác
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 1: Hàm Số Lượng Giác thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 17 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn \(\)\([-π; \frac{3π}{2}]\) để hàm số \(y = tanx\):
a. Nhận giá trị bằng 0
b. Nhân giá trị bằng 1
c. Nhận giá trị dương
d. Nhận giá trị âm
Bài Tập 2 Trang 17 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm tập xác định của các hàm số:
a. \(y = \frac{1 + cosx}{sinx}\)
b. \(y = \sqrt{\frac{1 + cosx}{1 – cosx}}\)
c. \(y = tan(x – \frac{π}{3})\)
d. \(y = cot(x + \frac{π}{6})\)
Bài Tập 3 Trang 17 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Dựa vào đồ thị của hàm số \(y = sinx\), hãy vẽ đồ thị của hàm số \(y = |sinx|\).
Bài Tập 4 Trang 17 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng \(sin2(x + kπ) = sin2x\) với mọi số nguyên k. Từ đố vẽ đồ thị hàm số \(y = sin2x\).
Bài Tập 5 Trang 18 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = cosx\), tìm các giá trị của x để \(cosx = \frac{1}{2}\).
Bài Tập 6 Trang 18 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = sinx\), tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
Bài Tập 7 Trang 18 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Dựa vào đồ thị hàm số \(y = cosx\), tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.
Bài Tập 8 Trang 18 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a. \(y = 2\sqrt{cosx} + 1\)
b. \(y = 3 – 2sinx\)
Ở trên là nội dung Bài 1: Hàm Số Lượng Giác thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Các bạn được biết khái niệm về giá trị lượng giác, công thức lượng giác,… Đây là dạng toán trọng tâm của chương trình lớp 11, luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia. Thông qua bài học này các bạn sẽ nắm được các khái niệm và tính chất của các hàm số sin, cos, tan và cot. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời