Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Lũy Thừa
Nội dung Bài 1: Lũy Thừa thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Giải Tích Lớp 12. Khái niệm về lũy thừa là một trong các khái niệm khá là quen thuộc ở lớp 7, đến chương trình học lớp 12 khái niệm lũy thừa được mở rộng và học sinh được tìm hiểu sâu hơn. Ở bài học lũy thừa lần này sẽ cung cấp đến các bạn học sinh lý thuyết trọng tâm cũng như phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em thêm kiến thưc và học tập tốt bài này.
I. Khái Niệm Lũy Thừa
1. Lũy thừ với số mũ nguyên
Câu hỏi 1 bài 1 trang 50 SGK giải tích lớp 12: Tính \(\)\((1,5)^4; (-\frac{2}{3})^3; (\sqrt{3})^5\)
Giải: Sử dụng máy tính bỏ túi, tính toán các kết quả.
\((1,5)^4 = 6.0625\)
\((\frac{-2}{3})^3 = \frac{-8}{27}\)
\((\sqrt{3})^5 = 9\sqrt{3}\)
Cho n là một số nguyên dương.
Với a là số thực tùy ý, luỹ thừa bậc n của a la tích của n thừa số a
\(a^n = \underbrace{a.a…a}_{n\,\,thừa\,\,số}\)
Với a ≠ 0
\(a^0 = 1\)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi a là cơ số, m là số mũ.
Chú ý: \(0^0\) và \(0^{-n}\) không có nghĩa.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức
\(A = (\frac{1}{2})^{-10}.27^{-3} + (0,2)^{-4}.25^{-2} + 128^{-1}.(\frac{1}{2})^{-9}\)
Giải: \(A = 3^{10}.\frac{1}{27^3} + \frac{1}{0,2^4}.\frac{1}{25^2} + \frac{1}{128}.2^9 = 3 + 1 + 4 = 8\)
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
\(B = [\frac{a\sqrt{2}}{(1 + a^2)^{-1}} – \frac{2\sqrt{2}}{a^{-1}}].\frac{a^{-3}}{1 – a^{-2}}\) (a ≠ 0, a ≠ ±1)
Giải: Với a ≠ 0, a ≠ ±1, ta có
\(B = [a\sqrt{2}(1 + a^2) – 2\sqrt{2}a].\frac{1}{a^3(1 – a^{-2})}\)
\(= (a\sqrt{2} + a^3\sqrt{2} – 2a\sqrt{2})\frac{1}{a^3 – a}\)
\(= a\sqrt{2}(a^2 – 1)\frac{1}{a(a^2 – 1)} = \sqrt{2}\)
2. Phương trình \(x^n = b\)
Câu hỏi 2 bài 1 trang 51 SGK giải tích lớp 12: Dựa vào đồ thị của các hàm số \(y = x^3\) và \(y = x^4\) (Hình 26, Hình 27), hãy biện luận theo b số nghiệm của các phương trình \(x^3 = b\) và \(x^4 = b\).
Giải: Số nghiệm của phương trình \(x^3 = b\) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = b\) và \(y = x^3\).
Dựa vào Hình 26 ta có đồ thị hàm số \(y = x^3\) luôn cắt đường thẳng y = b tại một điểm duy nhất với mọi b nên phương trình \(x^3 = b\) luôn có nghiệm duy nhất với mọi b.
Số nghiệm của phương trình \(x^4 = b\) (1) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = b\) và \(y = x^4\). Dựa và hình 27 ta có:
– Với b < 0 hai đồ thị hàm số trên không giao nhau, vậy phương trình (1) vô nghiệm.
– Với b = 0, hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại (0, 0), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0.
– Với b > 0, hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biết, vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Đồ thị của hàm số \(y = x^{2k + 1}\) tương tự đô thị hàm số \(y = x^3\) và đồ thị hàm số \(y = x^{2k}\) tương tự đô thị hàm số \(y = x^4\). Từ đó ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình \(x^n = b\) như sau:
a. Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Trường hợp n chắn:
Với b < 0, phương trình vô nghiệm;
Với b = 0, phương trình có một nghiệm x = 0;
Với b > 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu.
3. Căn bậc n
Cho số nguyên dương n, phương trình \(a^n = b\) đưa đến hai bài toán ngược nhau:
- Biết a, tính b
- Biết b, tính a
Bài toán thứ nhất là tính lũy thừa của một số. Bài toán thứ hai dẫn đến khái niệm lấy căn của một số.
a. Khái niệm
Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2. Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu \(a^n = b\).
Chẳng hạn, 2 và -2 các căn bậc 4 của \(16; -\frac{1}{3}\) là căn bậc 5 của \(-\frac{1}{243}\).
Từ định nghĩa và kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình \(x^n = b\), ta có:
Với n lẻ và b ∈ R, phương trình có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \(\sqrt[n]{b}\).
Với n chẵn:
- b < 0: Không tồn tại căn bậc n của b
- b = 0: Có một căn bậc n của b là số 0
- b > 0: Có hai căn trái dấu, kí hiệu giá trị dương là \(\sqrt[n]{b}\), cón giá trị âm là \(-\sqrt[n]{b}\)
b. Tính chất của căn bậc n
Từ định nghĩa ta có các tính chất sau:
\(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
\((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\)
\(\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases}a, \, \, khi \, \, n \, \, lẻ\\|a|, \, \, khi \, \, n \, \, chẵn\end{cases}\)
\(\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}\)
Câu hỏi 3 bài 1 trang 53 SGK giải tích lớp 12: Chứng minh tính chất thứ nhất: \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
Giải:
Đặt \(\sqrt[n]{a} = x; \sqrt[n]{b} = y\)
Khi đó: \(x^n = a; y^n = b\)
Ta có \((xy)^n = x^n.y^n = a.b\). Vậy xy là căn bậc n của ab.
Suy ra \(\sqrt[n]{ab} = xy = \sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}\)
Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức
a. \(\sqrt[5]{4}.\sqrt[5]{-8}\)
b. \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\)
Giải:
Câu a: \(\sqrt[5]{4}.\sqrt[5]{-8} = \sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2\)
Câu b: \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{3})^3} = \sqrt{3}\)
4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó \(m ∈ Z, n ∈ N^*\). Lũy thừa của a với số mũ r là số \(a^r\) xác định bởi
\(a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
Ví dụ 4: \((\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2};\)
\(4^{-\frac{3}{2}} = \sqrt{4^{-3}} = \frac{1}{\sqrt{4^3}} = \frac{1}{8};\)
\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\) (a > 0, n ≥ 2)
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức
\(D = \frac{x^{\frac{5}{4}}y + xy^{\frac{5}{4}}}{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}\) (x, y > 0)
Giải: Với x là y dương, theo định nghĩa, ta có:
\(D = \frac{xy(x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}})}{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}}}\)
5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Ở lớp dưới, ta đã biết số \(\sqrt{2}\) là một số vô tỉ được biểu diển dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
\(\sqrt{2} = 1,414 213 562…\)
Goi \(r_n\) là số hữu tỉ thành lập từ n chữ số đầu tiên dùng để viết \(\sqrt{2}\) ở dạng thập phân, n = 1, 2, …, 10.
Sử dụng máy tính, ta tính được \(3^{r_n}\) tương ứng. Ta có bảng ghi các dãy số \((r_n)\) và \((3^{r_n})\) với n = 1, 2,…, 10 như sau:
Người ta chứng minh đước rằng khi n → +∞ thì dãy số \((3^{r_n})\) dần đến một giới hạn mà ta gọi là \(3^{\sqrt{2}}\).
Sử dụng máy tính bỏ túi (có mười chứ số thập phân), ta có \(3^{\sqrt{2}} ≈ 4,728 804 388\)
Cho a là một số dương, α là một số vô tỉ. Ta thừa nhận rằng luôn có một dãy số hửu tỉ \((r_n)\) có giới hạn là α và dãy số tương ứng \((a^{r_n})\) có giới hạn không phụ thuộc vào việc chọn dãy số \((r_n)\).
Ta gọi giới hạn của dãy số \((a^{r_n})\) là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu là \(a^α\).
\(a^α = \lim_{n → +∞}a^{r_n}\) với \(α = \lim_{n → +∞}r_n\)
Chú ý: từ định nghĩa ta có \(1^α = 1\) (α ∈ R)
II. Tính Chất Của Lũy Thừa Với Số Mũ Thực
Câu hỏi 4 bài 1 trang 55 SGK giải tích lớp 12: Hãy nhắc lại các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Giải: Với \(m, n ∈ N^*\) ta có các tính chất sau đây:
a. Các tính chất về đẳng thức
1. \(a^m.a^n = a^{m + n}\)
2. \(a^m : a^n = a^{m – n} (m ≥ n)\)
3. \((a^m)^n = a^{m.n}\)
4. \((\frac{a}{b})^m = \frac{a^m}{b^m}\) (b ≠ 0)
5. \((ab)^m = a^m.b^n\)
b. Các tính chất về bất đẳng thức
Với a > 1 thì \(a^m > a^n ⇔ m > n\)
Với 0 < a < 1 thì \(a^m > a^n ⇔ m < n\)
Với 0 < a < b thì \(a^m > b^m\)
Lũy thừa với số mũ thực có các tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Cho a, b là những số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có:
\(a^α.a^β = a^{α + β}\)
\(\frac{a^α}{a^β} = a^{α – β}\)
\((a^α)^β = a^{αβ}\)
\((ab)^α = a^αb^α\)
\((\frac{a}{b})^α = \frac{a^α}{b^α}\)
Nếu a > 1 thì \(a^α > a^β\) khi và chỉ khi α > β.
Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức
\(E = \frac{a^{\sqrt{7 + 1}}.a^{2 – \sqrt{7}}}{(a^{\sqrt{2} – 2})^{\sqrt{2} + 2}} (a > 0)\)
Giải: Với a > 0, ta có:
\(E = \frac{a^{\sqrt{7} + 1 + 2 – \sqrt{7}}}{a^{(\sqrt{2} – 2)(\sqrt{2} + 2)}} = \frac{a^3}{a^{-2}} = a^5\)
Câu hỏi 5 bài 1 trang 56 SGK giải tích lớp 12: Rút gọn biểu thức \(\frac{(a^{\sqrt{3} – 1})^{\sqrt{3} + 1}}{a^{\sqrt{5} – 3}.a^{4 – \sqrt{5}}}\) (a > 0)
Giải: \(\frac{(a^{\sqrt{3} – 1})^{\sqrt{3} + 1}}{a^{\sqrt{5} – 3}.a^{4 – \sqrt{5}}} = \frac{a^{(\sqrt{3} – 1)(\sqrt{3} + 1)}}{a^{\sqrt{5} – 3 + 4 – \sqrt{5}}}\)
\(= \frac{a^{3 – 1}}{a^1} = a\)
Ví dụ 7: Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các số \(5^{2\sqrt{3}}\) và \(5^{3\sqrt{2}}\).
Giải: Ta có \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}, 3\sqrt{2} = \sqrt{18}\)
Do \(12 < 18\) nên \(2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\)
Vì cơ số 5 lớn hơn 1 nên \(5^{2\sqrt{3}} < 5^{3\sqrt{2}}\)
Câu hỏi 6 bài 1 trang 56 SGK giải tích lớp 12: So sánh các số \((\frac{3}{4})^{\sqrt{8}}\) và \((\frac{3}{4})^3\).
Giải: Ta có:
\(\begin{cases}0 < \frac{3}{4} < 1\\\sqrt{8} < 3\end{cases} ⇒ (\frac{3}{4})^{\sqrt{8}} > (\frac{3}{4})^3\)
Bài Tập Bài 1: Lũy Thừa
Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: Lũy Thừa thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Giải Tích Lớp 12. Bì giải có nhiều cách giải khác nhau và có phương pháp giải giúp các bạn nắm kiến thức tốt hơn.
Bài Tập 1 Trang 55 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính:
a. \(9^{\frac{2}{5}}.27^{\frac{2}{5}}\)
b. \(144^{\frac{3}{4}}:9^{\frac{3}{4}}\)
c. \((\frac{1}{16})^{-0,75} + 0,25^{-\frac{5}{2}}\)
d. \((0,04)^{-1,5} – (0,125)^{-\frac{2}{3}}\)
Bài Tập 2 Trang 55 SGK Giải Tích Lớp 12
Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
a. \(a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a}\)
b. \(b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{b}\)
c. \(a^{\frac{4}{3}} : \sqrt[3]{a}\)
d. \(\sqrt[3]{b} : b^{\frac{1}{6}}\)
Bài Tập 3 Trang 56 SGK Giải Tích Lớp 12
Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:
a. \(1^{3,75}; 2^{-1}; (\frac{1}{2})^{-3}\)
b. \(98^0; (\frac{3}{7})^{-1}; 32^{\frac{1}{5}}\)
Bài Tập 4 Trang 56 SGK Giải Tích Lớp 12
Rút gọn các biểu thức sau:
a. \(\frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + a^{-\frac{1}{4}})}\)
b. \(\frac{b^{\frac{1}{5}}(\sqrt[5]{b^4} – \sqrt[5]{b^{-1}})}{b^\frac{2}{3}(\sqrt[3]{b} – \sqrt[3]{b^{-2}})}\)
c. \(\frac{a^{\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}} – a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2} – \sqrt[3]{b^2}}\)
d. \(\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}\)
Bài Tập 5: Trang 56 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng:
a. \((\frac{1}{3})^{2\sqrt{5}} < (\frac{1}{3})^{3\sqrt{2}}\)
b. \(7^{6\sqrt{3}} > 7^{3\sqrt{6}}\)
Ở trên là nội dung Bài 1: Lũy Thừa thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn nắm các khái niệm về lũy thừa, cách rút gọn và so sánh các phép tính. Chúc các bạn học tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập Trắc Nghiệm Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
- Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit
- Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit
- Bài 3: Lôgarit
- Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa
Trả lời