Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Nội dung Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Nội dung bài học này giúp học sinh sử dụng phương pháp quy nạp thành thạo. Biết cách lựa chọn và sử dụng phương pháp quy nạp hiệu quả. Từ đó rèn luyện tư duy logic, hệ thống, linh hoạt. Biết quy lạ về quen. Cẩn thận chính xác trong lập luận quy nạp. Rèn luyện tư duy toán học vô hạn. Mời các bạn theo dõi nội dung ngay dưới đây.
I. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Câu hỏi 1 bài 1 trang 80 SGK đại số & giải tích lớp 11: Xét hai mệnh đề chứa biến \(\)\(P(n): “3^n < n + 100″\) và \(Q(n): “2^n > n”\) với \(n ∈ N^*\).
a. Với \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) thì \(P(n), Q(n)\) đúng hay sai?
b. Với mọi \(n ∈ N^*\) thì \(P(n), Q(n)\) đúng hay sai?
Giải:
Câu a: Với \(n = 1, 2, 3, 4, 5\) thì \(P(n), Q(n)\) đúng hay sai?
Thay n vào các mệnh đề chứa biến và kiểm tra tính đúng sai của chúng.
Với \(n = 1\) thì \(P(1): “3^1 < 1 + 100″\) đúng, \(Q(1): “2^1 > 1″\) đúng.
Với \(n = 2\) thì \(P(2): “3^2 < 2 + 100″\) đúng, \(Q(2): “2^2 > 2″\) đúng.
Với \(n = 3\) thì \(P(3): “3^3 < 3 + 100″\) đúng, \(Q(3): “2^3 > 3″\) đúng.
Với \(n = 4\) thì \(P(4): “3^4 < 4 + 100″\) đúng, \(Q(4): “2^4 > 4″\) đúng.
Với \(n = 5\) thì \(P(5): “3^5 < 5 + 100″\) đúng, \(Q(5): “2^5 > 5″\) đúng.
Câu b: Với mọi \(n ∈ N^*\) thì \(P(n), Q(n)\) đúng hay sai?
Nhận xét tính đúng sai của các mệnh đề khi n bất kì thuộc \(N^*\).
Với \(P(n)\): Do với \(n = 5\) thì \(P(n)\) sai nên \(P(n)\) không đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Với \(Q(n)\): Quan sát \(2^n\) ta thấy \(2^n\) tăng rất nhanh so với n nên \(2^n > n\) với mọi \(n ∈ N^*\) hay \(Q(n)\) đúng với \(n ∈ N^*\).
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên \(n ∈ N^*\) là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì \(n = k ≥ 1\) (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
Một cách đơn giản, ta có thể hình dung như sau: Mệnh đề đã đúng khi \(n = 1\) nên theo kết quả ở bước 2, nó cũng đúng với \(n = 1 + 1 = 2\). Vì nó đúng với \(n = 2\) nên lại theo kết quả ở bước 2, nó đúng với \(n = 2 + 1 = 3,…\) Bằng cách ấy, ta có thể khẳng định rằng mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n ∈ N^*\).
II. Ví Dụ Áp Dụng
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với \(n ∈ N^*\) thì
\(1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n^2 (1)\)
Giải:
Bước 1: Khi \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng \(1^2\). Vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2: Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử đẳng thức với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là
\(S_k = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k^2\) (giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là
\(S_{k + 1} = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)^2.\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có
\(S_{k + 1} = S_k + [2(k + 1) – 1] = k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2.\)
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu hỏi 2 bài 1 trang 81 SGK đại số & giải tích lớp 11: Chứng minh rằng với \(n ∈ N^*\) thì \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n + 1)}{2}\).
Giải:
– Xét với \(n = 1\), chứng minh đẳng thức đúng với \(n = 1\).
– Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).
– Khi \(n = 1\), vế trái bằng 1.
Vế phải \(= \frac{1(1 + 1)}{2} = 1\)
– Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là:
\(S_k = 1 + 2 + 3 +…+ k = \frac{k(k + 1)}{2}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:
\(S_{k + 1} = 1 + 2 + 3 + .. + k + (k + 1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k + 1} = S_k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)\)
\(= \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\)
Vậy đẳng thức đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với \(n ∈ N^*\) thì \(n^3 – n\) chia hết cho 3.
Giải: Đặt \(A_n = n^3 – n.\)
Bước 1. Với \(n = 1\), ta có \(A_1 = 0 ⋮ 3\).
Bước 2. Giả sử với \(n = k ≥ 1\) ta có
\(A_k = (k^3 – k) ⋮ 3\) (giả thiết quy nạp).
Ta phải chứng minh \(A_{k + 1} ⋮ 3\).
Thật vậy, ta có
\(A_{k + 1} = (k + 1)^3 – (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 – 1 k – 1\)
\(= (k^3 – k) + 3(k^2 + k)\)
\(= A_k + 3(k^2 + k)\)
Theo giả thiết quy nạp \(A_k ⋮ 3\), hơn nữa, \(3(k^2 + k) ⋮ 3\) nên \(A_{k + 1} ⋮ 3\).
Vậy \(A_n = n^3 – n\) chia hết cho 3 với mọi \(n ∈ N^*\).
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ p\) (p là một số tự nhiên) thì:
– Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với \(n = p\).
– Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì \(n = k ≥ p\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).
Câu hỏi 3 bài 1 trang 82 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho hai số \(3^n\) và \(8n\) với \(n ∈ N^*\).
a. So sánh \(3^n\) với \(8n\) khi \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).
b. Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Giải:
Câu a: So sánh \(3^n\) với \(8n\) khi \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).
Thay lần lượt các giá trị của n và so sánh.
So sánh \(3^n\) và \(8n\) với \(n = 1, 2, 3, 4, 5\).
\(n = 1 ⇒ 3^1 = 3 < 8 = 8.1\)
\(n = 2 ⇒ 3^2 = 9 < 16 = 8.2\)
\(n = 3 ⇒ 3^3 = 27 > 24 = 8.3\)
\(n = 4 ⇒ 3^4 = 81 > 32 = 8.4\)
\(n = 5 ⇒ 3^5 = 243 > 40 = 8.5\)
Câu b: Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Từ các kết quả ở ý a dự đoán kết quả tổng quát \(3^n > 8n\) với mọi \(n ≥ 3\).
Dư đoán kết quả tổng quát: \(3^n > 8n\) với mọi \(n ≥ 3\)
– \(n = 3\), bất đẳng thức đúng
– Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 3\), nghĩa là: \(3^k > 8k\).
Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là: \(3^{k + 1} > 8(k + 1)\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^{k + 1} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k\)
\(k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8\)
Suy ra: \(3^{k + 1} > 8k + 8 = 8(k + 1)\)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi \(n ≥ 3\).
Bài Tập SGK Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với \(n ∈ ℕ^*\), ta có các đẳng thức:
a. \(2 + 5 + 8 + … + 3n – 1 = \frac{n(3n + 1)}{2}\)
b. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n – 1}{2^n}\)
c. \(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
Bài Tập 2 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với \(n ∈ N^*\), ta có:
a. \(n^3 + 3n^2 + 5n\) chia hết cho 3
b. \(4^n + 15n – 1\) chia hết cho 9
c. \(n^3 + 11n\) chia hết cho 6
Bài Tập 3 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:
a. \(3^n > 3n + 1\)
b. \(2^{n + 1} > 2n + 3\)
Bài Tập 4 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho tổng \(S_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2.3} +…+ \frac{1}{n(n + 1)}\) với \(n ∈ ℕ^*\).
a. Tính \(S_1, S_2, S_3\).
b. Dự đoán công thức tính tổng \(S_n\) và chứng minh bằng quy nạp.
Bài Tập 5 Trang 83 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là \(\frac{n(n – 3)}{2}\).
Ở trên là nội dung Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Đây là một dạng toán hay nhưng để làm quen các bạn sẽ gặp không ít khó khăn. Vì vậy trong bài học sẽ làm rõ thế nào là chứng minh quy nạp toán học? Việc vận dụng phương pháp pháp quy nạp vào giải toán sẽ được thực hiện như thế nào? Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời