Chương IV: Số Phức – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Số Phức
Trong chương trình học phổ thông từ các lớp, chắc chẳn các bạn ai cũng biết khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hoặc số âm không có căn bậc hai. Từ mục đích thực hiện tính toán và nhu cầu của các môn khoa học nên các ông giáo sư tiến sỉ cho ra đời con số i làm cho bình phương bằng -1 từ đây làm nền tảng ra đời của số phức. Nội dung bài học sẽ giúp các bạn nắm khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.
1. Số i
Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình \(x^2 + 1 = 0\).
Với mong muốn mở rộng tập hợp số thức để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy: \(i^2 = -1\).
2. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dang a + bi, trong đó \(a, b ∈ R, i^2 = -1\) được gọi là một số phức.
Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
Ví dụ 1: Các số sau là những số phức:
\(2 + 5i; -\sqrt{2} + 3i; 1 + (-3)i\) (còn viết là 1 – 3i); \(1 + \sqrt{3}i\) (còn viết là \(1 + i\sqrt{3}\)).
Câu hỏi 1 bài 1 trang 132 sgk giải tích lớp 12: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau: \(-3 + 5i, 4 – i\sqrt{2}, 0 + πi, 1 + 0i\).
Giải: Số phức z = a + bi có phần thực là a và phần ảo là b.
Số phức | Phần thực | Phần ảo |
-3 + 5i | -3 | 5 |
\(4 – i\sqrt{2}\) | 4 | \(-\sqrt{2}\) |
0 + πi | 0 | π |
1 + 0i | 1 | 0 |
3. Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d
Ví dụ 2: Tìm các số thực x và y, biết
(2x + 1) + (3y – 2)i = (x + 2) + (y + 4)i
Giải: Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có:
2x + 1 = x + 2 và 3y – 2 = y + 4
Vậy x = 1 và y = 3
Chú Ý:
– Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i.
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có R ⊂ C.
– Số phức 0 + bi được gọi là số ảo và viết đơn giản là bi: bi = 0 + bi.
Đặc biệt: i = 0 + li.
Số i được gọi là đơn vị ảo.
Câu hỏi 2 bài 1 trang 133 sgk giải tích lớp 12: Viết số phức z có phần thực bằng \(\frac{1}{2}\), phần ảo bằng \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Giải: Số phức có phần thực a và phần ảo b được viết là \(z = a + bi\).
Số phức đó là: \(z = \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i\)
4. Biểu diễn hình học số phức
Như trên đã thấy, mỗi số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực (a; b).
Điểm M(a; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi (Hình 67).
Ví dụ 3: (Hình 68)
Điểm A biểu diễn số phức 3 + 2i
Điểm A biểu diễn số phức 2 – 3i
Điểm C biểu diễn số phức -3 – 2i
Điểm D biểu diễn số phức 0 + 3i.
Câu hỏi 3 bài 1 trang 134 sgk giải tích lớp 12:
a. Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 3 – 2i, -4i, 3.
b. Các điểm biểu diễn số thực, số ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ?
Giải:
Câu a: Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức sau: 3 – 2i, -4i, 3.
Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi.
Điểm biểu diễn số phức z = 3 – 2i là A(3; -2)
Điểm biểu diễn số phức z = -4i là B(0; -4)
Điểm biểu diễn số phức z = 3 là C(3; 0)
Câu b: Các điểm biểu diễn số thực, số ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ?
Điểm M(a; b) biểu diễn số phức z = a + bi.
Các điểm biểu diễn số thực nằm trên Ox, các điểm biểu diễn số ảo nằm trên Oy.
5. Môđun của số phức
Giả sử số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ (Hình 69).
Độ dài của vectơ \(\overline{OM}\) được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.
Vậy \(|z| = |\overline{OM}\) hay \(|a + bi| = |\overline{OM}|\)
Dễ thấy \(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
Ví dụ 4:
\(|3 – 2i| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}\)
\(|1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^2} = 2\)
Câu hỏi 4 bài 1 trang 134 sgk giải tích lớp 12: Số phức nào có môđun bằng 0?
Giải: Số phức là môđun bằng 0 là z = 0 + 0i.
6. Số phức liên hợp
Câu hỏi 5 bài 1 trang 134 sgk giải tích lớp 12: Biểu diễn các cặp số phức sau trên mặt phẳng tọa độ và nêu nhận xét:
a. 2 + 3i và 2 – 3i
b. -2 + 3i và -2 – 3i
Giải:
Câu a: 2 + 3i và 2 – 3i
Hai điểm đối xứng nhau qua Ox.
Câu b: -2 + 3i và -2 – 3i
Hai điểm đối xứng nhau qua Ox.
Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là \(\overline{z} = a – bi\).
Ví dụ 5:
\(z = -3 + 2i\)
\(\overline{z} = -3 – 2i\)
\(z = 4 – 3i\)
\(\overline{z} = 4 + 3i\)
Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và \(\overline{z}\) đối xứng với nhau qua trục Oz (Hình 70).
Câu hỏi 6 bài 1 trang 135 sgk giải tích lớp 12: Cho \(z = 3 – 2i\)
a. Hãy tính \(\overline{z}\) và \(\overline{\overline{z}}\). Nêu nhận xét
b. Tính \(|\overline{z}|\) và \(|\overline{z}|\). Nêu nhận xét
Giải:
Câu a: Hãy tính \(\overline{z}\) và \(\overline{\overline{z}}\). Nêu nhận xét
Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(z = a – bi\)
\(\overline{z} = 3 + 2i; \overline{\overline{z}} = 3 – 2i\)
Vậy \(\overline{\overline{z}} = z\)
Câu b: Tính \(|\overline{z}|\) và \(|\overline{z}|\). Nêu nhận xét
Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
\(|z| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}\)
\(|\overline{z}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}\)
Vậy \(|z| = |\overline{z}|\)
Từ định nghĩa ta có:
- \(\overline{\overline{z}} = z\)
- \(|\overline{z}| = |z|\)
Có Thể Bạn Biết Rồi
Các-đa-nô (1501 – 1576) là một nhà bác học người Ha-li-a. Ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhưng không được hành nghề y mà trở thành thầy giáo dạy toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn của phép giải các phương trình đại số”. Trong cuốn sách này, ông trình bày cách giải phương trình bậc ba, bậc bốn và đề cập tới căn bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình này.
Bài Tập Bài 1: Số Phức
Hướng dẫn giải các bài tập sgk bài 1 số phức chương 4 số phức giải tích lớp 12. Bài học giúp các tìm hiểu định nghĩa số phức, số phức bằng nhau, biểu diễn hình học số phức.
Bài Tập 1 Trang 133 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính phần thực và phần ảo của số phức z, biết:
a. \(\)\(z = 1 – πi\);
b. \(z = \sqrt{2} – i\);
c. \(z = 2\sqrt{2}\);
d. \(z = -7i\).
Bài Tập 2 Trang 133 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các số thực x và y, biết:
a. \(\)\((3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i.\)
b. \((1 – 2x) – i\sqrt{3} = \sqrt{5} + (1 – 3y)i.\)
c. \((2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)
Bài Tập 3 Trang 134 SGK Giải Tích Lớp 12
Trên mặt phẳng tọa đồ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a. Phần thực của z bằng -2.
b. Phần ảo của z bằng 3.
c. Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2).
d. Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].
e. Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].
Bài Tập 4 Trang 134 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính |z| với:
a. \(\)\(z = -2 + i\sqrt{3}\);
b. \(z = \sqrt{2} – 3i\)
c. \(z = -5\);
d. \(z = i\sqrt{3}\).
Bài Tập 5 Trang 134 SGK Giải Tích Lớp 12
Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn từng điều kiện:
a. \(|z| = 1\)
b. \(|z| ≤ 1\)
c. \(1 < |z| ≤ 2\)
d. \(|z| = 1\) và phần ảo của z bằng 1.
Bài Tập 6 Trang 134 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm \(\)\(\overline{z}\), biết:
a. \(z = 1 – i\sqrt{2}\);
b. \(z = -\sqrt{2} + i\sqrt{3}\).
c. \(z = 5\);
d. \(z = 7i\)
Ở Trên Là Lý Thuyết Bài 1: Số Phức Thuộc Chương IV: Số Phức Môn Giải Tích Lớp 12. Bài Học Giúp Các Tìm Hiểu Định Nghĩa Số Phức, Số Phức Bằng Nhau, Biểu Diễn Hình Học Số Phức. Bạn Thấy Bài Học Này Thế Nào? Để Lại Ý Kiến Đóng Góp Ngay Bên Dưới Đây Nhé.
Trả lời