Chương IV: Bất Đẳng Thức. Bất Phương Trình – Đại Số Lớp 10
Bài 2: Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
Nội dung bài học tiếp theo của chương IV bất đẳng thức, bất phương trình đại số lớp 10 các em sẽ được tìm hiểu nội dung bài học bài 2 bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn. Nội dung sẽ giới thiệu đến các em về ôn tập bất phương trình một ẩn, hệ bất phương trình một ẩn, một số phép biến đổi bất phương trình. Xem chi tiết nội dung từng bài học ngay bên dưới đây nhé.
Tóm Tắt Lý Thuyết
I. Khái biệm bất phương trình một ẩn
1. Bất phương trình
Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x), (f(x) ≤ g(x)) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x.
Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực \(x_0\) sao cho f(x) < g(x), (f(x) ≤ g(x)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.
2. Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).
3. Bất phương trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.
II. Hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
III. Một số phép biến đổi bất phương trình
1. Bất phương trình tương đương
Hai bất phương trình (hệ bất phương trình) được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương
Kí hiệu D là tập các số thực thỏa mãn điều kiện của bất phương trình P(x) < Q(x).
3. Cộng (trừ)
P(x) < Q(x) + f(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
4. Nhân (chia)
P(x) <Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0,∀x
P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0,∀x
5. Bình phương
\(P(x) < Q(x) ⇔ P^2(x) < Q^2(x) nếu P(x) ≥ 0,Q(x) ≥ 0,∀x\)
6. Chú ý
a. Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
b. Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đế điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.
c. Khi giải phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:
– P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
– P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết P(x) < Q(x) ⇔ −Q(x) < − P(x) rồi bình phương hai vế phương trình mới.
Nội Dung Tóm Tắt
Định nghĩa:
Bất phương trình một ẩn Có dạng: f(x) ≤ g(x)
Điều kiện bất phương trình: là Điều kiện của f(x) và g(x) xác định.
Bất phương trình chứa tham số: f(x, m) ≤ g(x, m) với tham số m.
Hệ bất phương trình một ẩn:
\(\begin{cases}f(x) > 0\\g(x) < 0\\….\end{cases}\)
Phép biến đổi tương đương:
Phép cộng (trừ):
f(x) ≤ g(x) ⇔ f(x) + h(x) ≤ g(x) + h(x)
Phép nhân (chia):
f(x) ≤ g(x) ⇔ f(x) . h(x) ≤ g(x) . h(x) với h(x) > 0
f(x) ≤ g(x) ⇔ f(x) . h(x) ≥ g(x) . h(x) với h(x) < 0
Bình phương
\(0 < f(x) ≤ g(x) ⇔ [f(x)]^2 ≤ [g(x)]^2\)
Các Bài Tập & Lời Giải Bài Tập SGK Bài 2 Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn
Bài Tập 1 Trang 87 SGK Đại Số Lớp 10
Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
a) \(\)\(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\)
b) \(\frac{1}{x^{2}-4} < \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)
c) \(2|x| – 1 + \sqrt[3]{x-1} < \frac{2x}{x+1};\)
d) \(2\sqrt{1-x} > 3x + \frac{1}{x+4}.\)
>> Xem: giải bài tập 1 trang 87 sgk đại số lớp 10
Bài Tập 2 Trang 88 SGK Đại Số Lớp 10
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.
a) \(x^2+ \sqrt{x+8} ≤ -3;\)
b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}} < \frac{3}{2};\)
c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}} > 1.\)
>> Xem: giải bài tập 2 trang 88 sgk đại số lớp 10
Bài Tập 3 Trang 88 SGK Đại Số Lớp 10
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x – 1 < 0\);
b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\);
c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1} > \frac{1}{x^{2}+1};\)
d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\).
>> Xem: giải bài tập 3 trang 88 sgk đại số lớp 10
Bài Tập 4 Trang 88 SGK Đại Số Lớp 10
Giải các bất phương trình sau
a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3} < \frac{1-2x}{4};\)
b) \((2x – 1)(x + 3) – 3x + 1 \)\(≤ (x – 1)(x + 3) + x^2– 5\).
>> Xem: giải bài tập 4 trang 88 sgk đại số lớp 10
Bài Tập 5 Trang 88 SGK Đại Số Lớp 10
Giải các hệ bất phương trình
a) \(\begin{cases}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{8x + 3}{2} < 2x + 5\end{cases}\)
b) \(\begin{cases}15x – 2 > 2x + \frac{1}{3} \\ 2(x – 4) < \frac{3x – 14}{2}\end{cases}\)
>> Xem: giải bài tập 5 trang 88 sgk đại số lớp 10
Lời kết: Nội dung bài học sẽ không có gì đáng chú ý nếu các em không quan tâm đến các ý chính sau đây:
– Các em cần nắm chắc phần ôn tập về bất phương trình một ẩn
– Hệ bất phương trình một ẩn gồm ẩn x và giá trị của ẩn x và giải bất phương trình
– Sau cùng là nắm chắc một số phép biến đổi của bất phương trình
Như vậy thời gian trôi nhanh như chó chạy ngoài đồng phải không nào. Kết thúc bài 2 bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn chương 4 đại số 10. Chúc các em có thể hoàn thành toàn bộ bài tập trong sách giáo khoa và có kết qủa thi tốt nhất.
Trả lời