Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Nội dung Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn nắm được hai khái niệm quan trọng nhất cực trị của hàm số là cực đại và cực tiểu của hàm số. Kèm theo đó là điệu kiện cần và đủ để hàm số có cực trị. Trong phần bài này sẽ là những ví dụ kèm theo các bài tập về nhà giúp các em luyện kỹ năng giải các bài tập cực trị và bài tập liên quan đến cực trị.
I. Khái Niệm Cực Đại, Cực Tiểu
Câu hỏi 1 bài 2 trang 13 SGK giải tích lớp 12: Dựa vào đồ thị (Hình 7, Hình 8), hãy chỉ ra điểm tại đó các hàm số sau có giá trị lớn nhât (nhỏ nhất):
a. \(y = -x^2 + 1\) trong khoảng \((-∞; +∞)\)
b. \(y = \frac{x}{3}(x – 3)^2\) trong các khoảng \((\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\) và \((\frac{3}{2}; 4)\)
Giải:
Câu a: \(y = -x^2 + 1\) trong khoảng \((-∞; +∞)\)
Quan sát đồ thị hàm số và xét trong từng khoảng, tìm điểm cao nhất (ứng với giá trị lớn nhất) và điểm thấp nhất (ứng với giá trị nhỏ nhất).
Từ đồ thị hàm số ta thấy, tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
Xét dấu đạo hàm:
Câu b: \(y = \frac{x}{3}(x – 3)^2\) trong các khoảng \((\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\) và \((\frac{3}{2}; 4)\)
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng \(\frac{4}{3}\).
Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Xét dấu đạo hàm:
Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây.
Định nghĩa: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và liên tục trên khoảng \((a; b)\) (có thể a là -∞; b là +∞) và điểm \(x_0 ∈ (a; b)\).
a. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho \(f(x) < f(x_0)\) với mọi \(x ∈ (x_0 – h; x_0 + h)\) và \(x ≠ x_0\) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại \(x_0\).
b. Nếu tồn tại số h > 0 sao cho \(f(x) > f(x_0)\) với mọi \(x ∈ (x_0 – h; x_0 + h)\) và \(x ≠ x_0\) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \(x_0\).
Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại \(x_0\) thì \(x_0\) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; \(f(x_0)\) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là \(f_{CĐ}(f_{CT})\), còn điểm \(M(x_0; f(x_0))\) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị.
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại \(x_0\) thì \(f'(x) = 0\).
Câu hỏi 2 bài 2 trang 14 SGK giải tích lớp 12: Giả sử f(x) đạt cực đại tại \(x_0\). Hay chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số \(\frac{f(x_0 + Δx) – f(x_0)}{Δx}\) khi \(Δx → 0\) trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.
Giải:
Để chứng minh \(f'(x_0) = 0\) ta chứng minh \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0^-}\frac{f(x_0 + Δx) – f(x_0)}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0^+}\frac{f(x_0 + Δx) – f(x_0)}{Δx} = 0\)
– Với Δx > 0
Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0^+}\frac{f(x_0 + Δx) – f(x_0)}{Δx} = 0 = f'(x_0^+)\)
– Với Δx < 0
Ta có \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0^-}\frac{f(x_0 + Δx) – f(x_0)}{Δx} = 0 = f'(x_0^-)\)
Do đó \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{f(x_0 + Δx) – f(x_0)}{Δx} = 0 = f'(x_0)\)
II. Điều Kiện Đủ Để Hàm Số Có Cực Trị
Câu hỏi 3 bài 2 trang 14 SGK giải tích lớp 12:
a. Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không.
- \(y = -2x + 1\)
- \(y = \frac{x}{3}(x – 3)^2\) (hình 8)
b. Nêu mối liên hệ giứa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Giải:
Câu a: Sử dụng đồ thị, hãy xét xem các hàm số sau đây có cực trị hay không.
- \(y = -2x + 1\)
- \(y = \frac{x}{3}(x – 3)^2\)
Quan sát đồ thị, tìm điểm cực trị (cực đại: điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến, cực tiểu: ngược lại)
Hàm số \(y = -2x + 1\) không có cực trị.
Hàm số \(y = \frac{x(x – 3)^2}{3}\) đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.
Câu b: Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.
Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 1
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \(K = (x_0 – h; x_0 + h)\) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {\(x_0\)}, với \(h > 0\).
a. Nếu \(f'(x) > 0\) trên khoảng \((x_0 – h; x_0)\) và \(f'(x) < 0\) trên khoảng \((x_0; x_0 + h)\) thì \(x_0\) là một điểm cực đại của hàm số \(f(x)\).
b. Nếu \(f'(x) < 0\) trên khoảng \((x_0 – h; x_0)\) và \(f'(x) > 0\) trên khoảng \((x_0; x_0 + h)\) thì \(x_0\) là một điểm cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f(x) = -x^2 + 1\).
Giải: Ta có \(f'(x) = -2x; f'(x) = 0 ⇔ x = 0.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số và đồ thị của hàm số có một điểm cực đại \((0; 1)\) (Hình 7.)
Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = x^3 – x^2 – x + 3\).
Giải: Ta có \(y’ = 3x^2 – 2x – 1\)
\(y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x = 1\\ x = -\frac{1}{3} \end{matrix}\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(x = -\frac{1}{3}\) là điểm cực đại, \(x = 1\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số \(y = \frac{3x + 1}{x + 1}\).
Giải: Hàm số không xác định tại \(x = -1\).
Ta có \(y’ = \frac{2}{(x + 1)^2} > 0; ∀x ≠ -1\).
Vậy hàm số đã cho không có cực trị (vì theo khẳng định 3 của chú ý trên, nếu hàm số có cực trị tại \(x_0\) thì tại đó \(y’ = 0\)).
Câu hỏi 4 bài 2 trang 16 SGK giải tích lớp 12: Chứng minh hàm số \(y = |x|\) không có đạo hàm tại \(x = 0\). Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không?
Giải:
– Hàm số không có đạo hàm: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}y’ ≠ \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}y’\)
– Hàm số có cực trị: quan sát từ đồ thị.
\(y = |x| = \begin{cases}x; x ≥ 0\\-x; x < 0\end{cases}\)
Khi đó:
\(y’ = \begin{cases}1; x ≥ 0\\-1; x < 0\end{cases}\)
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}y’ = 1 ≠ -1 = \mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}y’\)
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).
Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số \(y = |x|\). Ta có hàm số đạt cực trị tại \(x = 0\).
III. Quy Tắc Tìm Cực Trị
Áp dụng định lí 1, ta có các quy tắc tìm cực trị sau đây.
Quy tắc I:
1. Tìm tập xác định. Tính \(f'(x)\).
2. Tìm các điểm tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc \(f'(x)\) không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Câu hỏi 5 bài 2 trang 16 SGK giải tích lớp 12: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số \(f(x) = x(x^2 – 3)\).
Giải:
1. Tập xác định: D = R
2. \(f'(x) = 3x^2 – 3\). Cho \(f'(x) = 0 ⇔ x = 1\) hoặc \(x = -1\).
3. Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\) và giá trị cực đại là 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và giá trị cực tiểu là -2.
Ta thừa nhận định lí sau đây:
Định lý 2:
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng \((x_0 – h; x_0 + h)\), với \(h > 0\). Khi đó:
a. Nếu \(f'(x_0) = 0, f”(x_0) > 0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
b. Nếu \(f'(x_0) = 0, f”(x_0) < 0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
Áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
Quy tắc II:
1. Tìm tập xác định. Tính \(f'(x)\).
2. Giải phương trình \(f'(x) = 0\) và kí hiệu \(x_i(i = 1, 2,…)\) là các nghiệm của nó.
3. Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\).
4. Dựa vào dấu của \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của điểm \(x_i\).
Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số \(f(x) = \frac{x^4}{4} – 2x^2 + 6\).
Giải: Hàm số xác định với mọi \(x ∈ R\).
\(f'(x) = x^3 – 4x = x(x^2 – 4); f'(x) = 0 ⇒ x_1 = 0, x_2 = -2, x_3 = 2\).
\(f”(x) = 3x^2 – 4\)
\(f”(±2) = 8 > 0 ⇒ x_{2, 3} = ± 2\) là hai điểm cực tiểu.
\(f”(0) = -4 < 0 ⇒ x_1 = 0\) là điểm cực đại.
Kết luận
\(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{2, 3} = ± 2\) và \(f_{CT} = f(±2) = 2\)
\(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_1 = 0\) và \(f_{CĐ} = f(0) = 6\).
Ví dụ 5: Tìm các điểm cực trị của hàm số \(f(x) = sin2x\).
Giải: Hàm số có xác định với mọi x ∈ R.
\(f'(x) = 2cos2x; f'(x) = 0 ⇔ 2x = \frac{π}{2} + lπ ⇔ x = \frac{π}{4} + l\frac{π}{2} (l ∈ Z)\)
\(f”(x) = -4sin2x\)
\(f”(\frac{π}{4} + l\frac{π}{2}) = -4sin(\frac{π}{2} + lπ) = \begin{cases}-4\, \, nếu\, \, l = 2k\\4\, \, nếu\, \, l = 2k + 1\end{cases} (k ∈ Z)\)
Kết luận:
\(x = \frac{π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) là các điểm cực đại của hàm số.
\(x = \frac{3π}{4} + kπ (k ∈ Z)\) là các điểm cực tiểu của hàm số.
Bài Tập Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Hướng dẫn giải bài tập Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Bài giải có phương pháp, kèm theo nhiều cách giải khách nhau.
Bài Tập 1 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a. \(\)\(y = 2x^3 + 3x^2 – 36x – 10\)
b. \(y = x^4 + 2x^2 – 3\)
c. \(y = x + \frac{1}{x}\)
d. \(y = x^3(1 – x)^2\)
e. \(y = \sqrt{x^2 – x + 1}\)
Bài Tập 2 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a. \(y = x^4 – 2x^2 + 1\)
b. \(y = sin2x – x\)
c. \(y = \sin x + \cos x\)
d. \(y = x^5 – x^3 – 2x + 1\)
Bài Tập 3 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(y = \sqrt{|x|}\) không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Bài Tập 4 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số \(y = x^3 – mx^2 – 2x + 1\) luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Bài Tập 5 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm a và b để các cực trị của hàm số \(y = \frac{5}{3}a^2x^3 + 2ax^2 – 9x + b\) đều là những số dương và \(x_0 = -\frac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Bài Tập 6 Trang 18 SGK Giải Tích Lớp 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y = \frac{x^2 + mx + 1}{x + m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).
Ở trên là nội dung Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn nắm được hai khái niệm quan trọng của Cực đại và Cực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập Trắc Nghiệm Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Ôn Tập Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Bài 4: Đường Tiệm Cận
- Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
- Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Trả lời