Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Dãy Số
Nội dung Bài 2: Dãy Số thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Kiến thức cơ bản gồm định nghĩa dãy số, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. Nắm được định nghĩa dãy số, biết cách cho dãy số, chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm; biết cách chứng minh dãy số bị chặn. Rèn luyện tư duy logic, sáng tạo, khả năng so sánh, tổng hợp, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tự giác trong học tập cho học sinh. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Định Nghĩa
Câu hỏi 1 bài 2 trang 85 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho hàm số \(\)\(f(n) = \frac{1}{2n – 1}, n ∈ N^*\). Tính \(f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)\).
Giải: Thay lần lượt từng giá trị của n vào f.
\(f(1) = \frac{1}{2.1 – 1} = \frac{1}{2 – 1} = \frac{1}{1} = 1\)
\(f(2) = \frac{2}{2.2 – 1} = \frac{1}{4 – 1} = \frac{1}{3}\)
\(f(3) = \frac{1}{2.3 – 1} = \frac{1}{6 – 1} = \frac{1}{5}\)
\(f(4) = \frac{1}{4.2 – 1} = \frac{1}{8 – 1} = \frac{1}{7}\)
\(f(5) = \frac{1}{5.2 – 1} = \frac{1}{10 – 1} = \frac{1}{9}\)
1. Định nghĩa dãy số
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \(N^*\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
\(u : N^* → R\)
\(n ↦ u(n).\)
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển \(u_1, u_2, u_3,… u_n,…\) trong đó \(u_n = u(n)\) hoặc viết tắt là \((u_n)\), và gọi \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_n\) là số hạng thứ \(n\) và là số hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 1:
a. Dãy các số tự nhiên lẻ \(1, 3, 5, 7,…\) có số hạng đầu \(u_1 = 1\), số hạng tổng quát \(u_n = 2n – 1\).
b. Dãy các số chính phương \(1, 4, 9, 16,…\) có số hạng đầu \(u_1 = 1\), số hạng tổng quát \(u_n = n^2\).
2. Định nghĩa dãy số hữu hạn
Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = {1, 2, 3,…, m}\) với \(m ∈ N^*\) được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là \(u_1, u_2, u_3, …u_m\), trong đó \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_m\) là số hạng cuối.
Ví dụ 2:
a. \(-5, -2, 1, 4, 7, 10, 13\) là dãy số hữu hạn có \(u_1 = -5, u_7 = 13\).
b. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}\) là dãy số hữu hạn có \(u_1 = \frac{1}{2}, u_5 = \frac{1}{32}\).
II. Cách Cho Một Dãy Số
Câu hỏi 2 bài 2 trang 86 SGK đại số & giải tích lớp 11: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa.
Giải:
– Hàm số cho bằng bảng
Ví dụ:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
– Hàm số cho bằng công thức:
Ví dụ: \(y = \frac{2x + 1}{x}\)
1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ 3:
a. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = (-1)^n.\frac{3^n}{n}\). (1)
Từ công thức (1), ta có thể xác định được bất kì một số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn, \(u_5 = (-1)^5.\frac{3^5}{5} = -\frac{243}{5}\).
Nếu viết dãy số này dưới dạng khai triển, ta được \(-3; \frac{9}{2}, -9, \frac{81}{4},…, (-1)^n.\frac{3^n}{n},….\)
b. Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n}{\sqrt{n} + 1}\) có dạng khai triển là \(\frac{1}{2}, \frac{2}{\sqrt{2} + 1}, \frac{3}{\sqrt{3} + 1},…\frac{n}{\sqrt{n} + 1},…\)
Như vậy, dãy số \((u_n)\) hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó.
Câu hỏi 3 bài 2 trang 86 SGK đại số & giải tích lớp 11: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:
a. Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ
b. Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1
Giải:
Câu a: Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ
Năm số hạng đầu: \(\frac{1}{1}; \frac{1}{3}; \frac{1}{5}; \frac{1}{7}; \frac{1}{9}\)
Số hạng tổng quát của dãy số: \(\frac{1}{2n – 1} (n ∈ N^*)\)
Câu b: Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1
Năm số hạng đầu: \(1; 4; 7; 10; 13\)
Số hạng tổng quát của dãy số: \(3n – 2\) với \((n ∈ N^*)\)
Cũng giống như hàm số, không phải mọi dãy số đều có công thức số hạng tổng quát \(u_n\). Dưới đây, ta nêu thêm các cách khác để cho một dãy số.
2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ 4: Số π là số thập phân vô hạn không tuần hoàn \(π = 3,141 592 653 589…\)
Nếu lập dãy số \((u_n)\) với \(u_n\) là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối \(10^{-n}\) thì \(u_1 = 3,1; u_2 = 3,14; u_3 = 3,141; u_4 = 3,1415;…\)
Đó là dãy số được cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.
3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ 5: Dãy số Phi-bô-na-xi (*) là dãy số \((u_n)\) được xác định như sau:
\(\begin{cases}u_1 = u_2 = 1\\u_n = u_{n – 1} + u_{n – 2}\end{cases}\) với \(n ≥ 3\), nghĩa là, kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó.
Cách cho dãy số như trên được gọi là cho bằng phương pháp truy hồi.
Nói cách khác, cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tưc là:
a. Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
b. Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Câu hỏi 4 bài 2 trang 87 SGK đại số & giải tích lớp 11: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.
Giải: Dãy Phi-bô-na-xi có hai số hạng đầu bằng 1, số hạng sau bằng tổng hai số ngay trước nó.
Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: \(1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55\).
III. Biểu Diễn Hình Học Của Dãy Số
Vì dãy số là một hàm số trên \(N^*\) nên ta có thể biểu diễn dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng tọa độ, dãy số được biểu diễn bằng các điểm có tọa độ \((n; u_n)\).
Ví dụ 6: Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n + 1}{n}\) có biểu diễn hình học như trên hình 40:
\(u_1 = 2, u_2 = \frac{3}{2}, u_3 = \frac{4}{3}, u_4 = \frac{5}{4},…\)
Tuy nhiên, người ta thường biểu diễn cac số hạng của một dãy số trên trục số. Chẳng hạn, dãy số \((\frac{n + 1}{n})\) có biểu diễn hình học như trên hình 41.
IV. Dãy Số Tăng, Dãy Số Giảm Và Dãy Số Bị Chặn
Câu hỏi 5 bài 2 trang 89 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho các dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) với \(u_n = 1 + \frac{1}{n}; v_n = 5n – 1\).
a. Tính \(u_{n + 1}, v_{n + 1}\).
b. Chứng minh \(u_{n + 1} < u_n\) và \(v_{n + 1} > v_n\), với mọi \(n ∈ N^*\).
Giải:
Câu a: Tính \(u_{n + 1}, v_{n + 1}\).
Thay giá trị \(n + 1\) vào hai dãy tìm \(u_{n + 1}, v_{n + 1}\)
\(u_n = 1 + \frac{1}{n + 1}; v_{n + 1} = 5(n + 1) – 1 = 5n + 4\)
Câu b: Chứng minh \(u_{n + 1} < u_n\) và \(v_{n + 1} > v_n\), với mọi \(n ∈ N^*\).
Xét hiệu \(u_{n + 1} – u_n, v_{n + 1} – v_n\)
Ta có:
\(u_{n + 1} – u_n = (1 + \frac{1}{n + 1}) – (1 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n + 1} – \frac{1}{n} = \frac{n – (n + 1)}{n(n + 1)} = \frac{-1}{n(n + 1)} < 0\)
\(⇒ u_{n + 1} – u_n < 0 ⇒ u_{n + 1} < u_n, ∀n ∈ N^*\)
\(v_{n + 1} – v_n = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0\)
\(⇒ v_{n + 1} – v_n > 0 ⇒ v_{n + 1} > v_n, ∀n ∈ N^*\)
1. Dãy số tăng, dãy số giảm
Định nghĩa 1
Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n + 1} > u_n\) với mọi \(n ∈ N^*\).
Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \(u_{n + 1} < u_n\) với mọi \(n ∈ N^*\).
Ví dụ 7: Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 2n – 1\) là dãy số tăng.
Thật vậy, với mọi \(n ∈ N^*\) xét hiệu \(u_{n + 1} – u_n\). Ta có
\(u_{n + 1} – u_n = 2(n + 1) – 1 – (2n – 1) = 2\)
Do \(u_{n + 1} – u_n > 0\) nên \(u_{n + 1} > u_n\).
Ví dụ 8: Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n}{3^n}\) là dãy số giảm.
Thật vậy, với mọi \(n ∈ N^*\), vì \(u_n > 0\) nên có thể xét tỉ số \(\frac{u_{n + 1}}{u_n}\). Ta có
\(\frac{u_{n + 1}}{u_n} = \frac{n + 1}{3^{n + 1}} : \frac{n}{3^n} = \frac{n + 1}{3n}\)
Dễ thấy \(\frac{n + 1}{3n} < 1\) nên \(\frac{u_{n + 1}}{u_n} < 1\) suy ra \(u_{n + 1} < u_n.\)
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số \((u_n)\) với \(u_n = (-3)^n\), tức là dãy \(-3, 9, -27, 81\),… không tăng và cũng không giảm.
2. Dãy số bị chặn
Câu hỏi 6 bài 2 trang 90 SGK đại số & giải tích lớp 11: Chứng minh các bất đẳng thức \(\frac{n}{n^2 + 1} ≤ \frac{1}{2}\) và \(\frac{n^2 + 1}{2n} ≥ 1, ∀n ∈ N^*\).
Giải:
Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với 0.
\(\frac{n}{n^2 + 1} – \frac{1}{2} = \frac{2n – (n^2 + 1)}{2(n^2 + 1)}\)
\(= \frac{-n^2 + 2n – 1}{2(n^2 + 1)} = \frac{-(n^2 – 2n + 1)}{2(n^2 + 1)}\)
\(= \frac{-(n – 1)^2}{2(n^2 + 1)}; ∀n ∈ N^*\)
Vì \(2(n^2 + 1) > 0 và -(n – 1)^2 ≤ 0, ∀n ∈ N^*\)
\(⇒ \frac{n}{n^2 + 1} ≤ \frac{1}{2}; ∀n ∈ N^*\)
\(\frac{n^2 + 1}{2n} – 1 = \frac{n^2 + 1 – 2n}{2n}\)
\(= \frac{(n – 1)^2}{2n} ≥ 0, ∀n ∈ N^*\)
Vì \(2n > 0\) và \((n – 1)^2 ≥ 0, ∀n ∈ N^*\)
\(⇒ \frac{n^2 + 1}{2n} ≥ 1; ∀n ∈ N^*\)
Định nghĩa 2
Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \(u_n ≤ M, ∀n ∈ N^*\).
Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \(u_n ≥ m, ∀n ∈ N^*\).
Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m ≤ u_n ≤ M, ∀n ∈ N^*\).
Ví dụ 9
a. Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì \(u_n ≥ 1\) với mọi \(n ∈ N^*\).
b. Dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n}{n^2 + 1}\) bị chặn vì \(0 < \frac{n}{n^2 + 1} ≤ \frac{1}{2}\).
Bài Tập SGK Bài 2: Dãy Số
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 2: Dãy Số thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 92 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát \(u_n\) cho bởi công thức:
a. \(u_n = \frac{n}{2^n – 1}\)
b. \(u_n = \frac{2^n – 1}{2^n + 1}\)
c. \(u_n = (1 + \frac{1}{n})^n\)
d. \(u_n = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}}\)
Bài Tập 2 Trang 92 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho dãy số \((u_n)\), biết:
\(u_1 = -1, u_{n + 1} = u_n +3\) với \(n ≥ 1\).
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b. Chứng minh bằng phương pháp quy nap: \(u_n = 3n – 4\).
Bài Tập 3 Trang 92 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Dãy số \((u_n)\) cho bởi:
\(u_1 = 3; u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_n^2}, n ≥ 1\).
a. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Bài Tập 4 Trang 92 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \((u_n)\), biết:
a. \(u_n = \frac{1}{2} – 2\)
b. \(u_n = \frac{n – 1}{n + 1}\)
c. \(u_n = (-1)^n(2^n + 1)\)
d. \(u_n = \frac{2n + 1}{5n + 2}\)
Bài Tập 5 Trang 92 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trong các dãy số \((u_n)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a. \(u_n = 2n^2 – 1\)
b. \(u_n = \frac{1}{n(n + 2)}\)
c. \(u_n = \frac{1}{2n^2 – 1}\)
d. \(u_n = sinn + cosn\)
Ở trên là nội dung Bài 2: Dãy Số thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm mới, cơ sở để các bạn học phân môn Giải tích trong chương trình Toán 11 là dãy số. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết các bạn sẽ nắm được phương pháp giải bài tập của nội dung này. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời