Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 2: Giá Trị Lương Giác Của Một Cung
Nội dung Bài 2: Giá Trị Lương Giác Của Một Cung thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Nắm vững định nghĩa các giá trị lượng giác của cung. Nắm vững các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản. Nắm vững mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt. Mời các bạn theo dõi ngay dười đây.
I. Giá Trị Lượng Giác Của Cung α
Câu hỏi 1 bài 2 trang 141 SGK đại số lớp 10: Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc \(α, 0^0 ≤ α ≤ 180^0\).
Ta có thể mở rộng khái nhiệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác.
Giải:
Các số \(sinα; cosα; tanα; cotα\) được gọi là giá trị lượng giác của góc α, với \(0^0 ≤ α ≤ 180^0\).
1. Định nghĩa
Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\widehat{AM}\) có \(sđ\widehat{AM} = α\) (còn viết \(\widehat{AM} = α\)) (hình 48).
Tung độ \(y = \overline{OK}\) của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα.
\(sinα = \overline{OK}\)
Hoành độ \(x = \overline{OH}\) của điểm M gọi là \(côsin\) của α và kí hiệu là \(cosα\).
\(cosα = \overline{OH}\)
Nếu \(cosα ≠ 0\), tỉ số \(\frac{sinα}{cosα}\) gọi là tang của α và kí hiệu là \(tanα\) (người ta còn dùng kí hiệu \(tgα\))
\(tanα = \frac{sinα}{cosα}\)
Nếu \(sinα ≠ 0\), tỉ số \(\frac{cosα}{sinα}\) gọi là \(côtang\) của α và kí hiệu là \(cotα\) (người ta còn dùng kí hiệu \(cotgα\))
\(cotα = \frac{cosα}{sinα}\)
Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
Chú ý
1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
2. Nếu \(α, 0^0 ≤ α ≤ 180^0\) thì các giá trị lượng giác của góc α chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nên trong SGK Hình học 10.
Câu hỏi 2 bài 2 trang 142 SGK đại số lớp 10: Tính \(sin\frac{25π}{4}, cos(-240^0), tan(-405^0)\).
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(sin(α + k360^0) = sinα\)
\(cos(α + k360^0) = cosα\)
\(tan(α + k360^0) = tanα\)
\(tan(-α) = -tanα\)
Giải:
\(sin\frac{25π}{4} = sin(6π + \frac{π}{4}) = sin\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(cos(-240^0) = cos(120^0 – 360^0)\)
\(= cos(120^0) = \frac{-1}{2}\)
\(tan(-405^0) = tan(-360^0 – 45^0)\)
\(= tan(-45^0) = -tan45^0 = -1\)
2. Hệ quả
1. \(sinα\) và \(cosα\) xác định với mọi \(α ∈ R\). Hơn nữa, ta có
\(sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z\)
\(cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ Z\)
2. Vì \(-1 ≤ \overline{OK} ≤ 1; -1 ≤ \overline{OH} ≤ 1\) (hình 48) nên ta có
\(-1 ≤ sinα ≤ 1\)
\(-1 ≤ cosα ≤ 1\)
3. Với mọi \(m ∈ R\) mà \(-1 ≤ m ≤ 1\) đều tồn tại α và β sao cho \(sinα = m\) và \(cosβ = m\).
4. tanα xác định với mọi \(α ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
Thật vậy, tanα không xác định khi và chỉ khi \(cosα = 0\), tức là điểm cuối M của cung \(\widehat{AM}\) trùng với B hoặc B’ (hình 48), hay \(α = \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\).
5. cotα xác định với mọi \(α ≠ kπ + kπ (k ∈ Z)\). Lập luận tương tự 4).
6. Dấu của các giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung \(\widehat{AM} = α\) trên đường tròn lượng giác (hình 49).
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Giá trị lượng giác\Góc phần tư | I | II | III | IV |
cosα | + | – | – | + |
sinα | + | + | – | – |
tanα | + | – | + | – |
cotα | + | – | + | – |
3. Giá trị lương giác của các cung đặc biệt
\(α\) | \(0\) | \(\frac{π}{6}\) | \(\frac{π}{4}\) | \(\frac{π}{3}\) | \(\frac{π}{2}\) |
\(sinα\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
\(cosα\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
\(tanα\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | Không xác định |
\(cotα\) | Không xác định | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | \(0\) |
II. Ý Nghĩa Hình Học Của Tang Và Côtang
Câu hỏi 3 bài 2 trang 143 SGK đại số lớp 10: Từ định nghĩa của sinα và cosα, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng.
Trả lời:
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy.
sinα được biểu diễn bởi độ dài đại số của \(\overrightarrow{OK}\) trên trục Oy hay \(sinα = \overline{OK}\)
Trục Oy là trục sin.
cosα được biểu diễn bởi độ dài đại số của \(\overrightarrow{OH}\) trên trục Ox hay \(cosα = \overline{OH}\)
Trục Ox là trục cos.
1. Ý nghĩa hình học của tanα
Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị \(\vec{i} = \overrightarrow{OB}\).
Cho cung lượng giác \(\widehat{AM}\) có số đo là \(α (a ≠ \frac{π}{2} + kπ)\). Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At (hình 50).
Giả sử T không trùng với A. Vì \(MH // AT\), ta có \(\frac{AT}{HM} = \frac{OA}{OH}\). Từ đó suy ra \(\frac{\overline{AT}}{\overline{HM}} = \frac{\overline{OA}}{\overline{OH}}\). (1)
Vì \(\overline{HM} = sinα, \overline{OH} = cosα\) và \(\overline{OA} = 1\) nên từ (1) suy ra \(tanα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{\overline{HM}}{\overline{OH}} = \frac{\overline{AT}}{\overline{OA}} = \overline{AT}\)
Khi T trùng A thì \(α = kπ\) và \(tanα = 0\). Vậy \(tanα = \overline{AT}\).
tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AT}\) trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.
2. Ý nghĩa hình học của cotα
Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc tại B và vectơ đơn vị bằng \(\overrightarrow{OA}\).
Cho cung lượng giác \(\widehat{AM}\) có số đo là \(α (α ≠ kπ)\).
Gọi S là giao điểm của OM và trục s’Bs (hình 5.1).
Lí luận tương tụ mục trên, ta có \(cotα = \overline{BS}\).
cotα được biểu diễn bởi độ dại đại số của vectơ \(\overrightarrow{BS}\) trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.
Câu hỏi 4 bài 2 trang 145 SGK đại số lớp 10: Từ ý nghĩa hình học của tanα và \(cotα\) hãy suy ra với mọi số nguyên \(k, tan(α ≠ kπ) = tanα, cot(α ≠ kπ) = cotα\).
Trả lời:
Khi \(β = α + kπ\) thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm T trên trục tan. Do đó
\(tan(α + kπ) = tanα.\)
Khi \(β = α + kπ\) thì điểm cuối của góc β sẽ trùng với điểm S trên trục cot. Do đó
\(cot(α + kπ) = cotα.\)
III. Quan Hệ Giữa Các Giá Trị Lượng Giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
\(sin^2α + cos^2α = 1\)
\(1 + tan^2α = \frac{1}{cos^2α}, α ≠ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\)
\(1 + cot^α = \frac{1}{sin^2α}, α ≠ kπ, k ∈ Z\)
\(tanα.cotα = 1, α ≠ \frac{kπ}{2}, k ∈ Z\)
Câu hỏi 5 bài 2 trang 145 SGK đại số lớp 10: Từ định nghĩa của \(sinα, cosα\) hãy chứng minh đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại.
Giải:
\(sinα = \overline{OK}, cosα = \overline{OH}\)
Do tam giác \(OMK\) vuông tại K nên:
\(sin^2α + cos^2α = OK^2 + OH^2\)
\(= OK^2 + MK^2 = OM^2 = 1\)
Vậy \(sin^2α + cos^2α = 1\).
\(1 + tan^2α = 1 + \frac{sin^2α}{cos^2α}\)
\(= \frac{sin^2α + cos^2α}{cos^2α} = \frac{1}{cos^2α}\)
\(1 + cot^2α = 1 + \frac{cos^2α}{sin^2α}\)
\(= \frac{sin^2α + cos^2α}{sin^2α} = \frac{1}{sin^2α}\)
\(tanα.cotα = \frac{sinα}{cosα}.\frac{cosα}{sinα} = 1\)
2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho \(sinα = \frac{3}{5}\), với \(\frac{π}{2} < α < π\). Tính \(cosα\).
Giải: Ta có \(cos^2α = 1 – sin^2α = \frac{16}{25}\), do đó \(cosα = ±\frac{4}{5}\).
Vì \(\frac{π}{2} < α < π\) nên điểm cuối của cung α thuộc cung phần thứ II, do đó \(cosα < 0\).
Vậy \(cosα = -\frac{4}{5}\)
Ví dụ 2. Cho \(tanα = -\frac{4}{5}\), với \(\frac{3π}{2} < α < 2π\). Tính sinα và cosα.
Giải: Ta có
\(cos^2α = \frac{1}{1 + tan^2α} = \frac{1}{1 + \frac{16}{25}} = \frac{25}{41}\)
suy ra \(cosα = \frac{±5}{\sqrt{41}}\)
Vì \(\frac{3π}{2} < α < 2π\) nên điểm cuối của cung α nằm ở cung phần tư thứ IV, do đó \(cosα > 0\). Vậy \(cosα = \frac{5}{\sqrt{41}}.\)
Từ đó \(sinα = tanα.cosα = -\frac{4}{5}.\frac{5}{\sqrt{41}} = -\frac{4}{\sqrt{41}}\)
Ví dụ 3. Cho \(α ≠ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\)
Chứng minh rằng \(\frac{cosα + sinα}{cos^3α} = tan^3α + tan^2α + tanα + 1\).
Giải: Vì \(α ≠ \frac{π}{2} + kπ\) nên \(cosα ≠ 0\), do đó cả hai vế của đẳng thức cần chứng minh đều có nghĩa. Ta có \(\frac{cosα + sinα}{cos^3α} = \frac{1}{cos^2α}.\frac{cosα + sinα}{cosα}\)
\(= (1 + tan^2α)(1 + tanα)\)
\(= tan^3α + tan^2α + tanα + 1\)
3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1. Cung đối nhau: α và -α
Các điểm cuối của hai cung \(α = \widehat{AM}\) và \(-α = \widehat{AM}\) đối xứng nhau qua trục hoành (hình 52), nên ta có
\(cos(-α) = cosα\)
\(sin(-α) = -sinα\)
\(tan(-α) = -tanα\)
\(cot(-α) = -cotα\)
2. Cung bù nhau: α và \(π – α\)
Các điểm cuối của hai cung \(α = \widehat{AM}\) và \(π – α = \widehat{AM’}\) đối xứng nhau qua trục tung (hình 53), nên ta có
\(sin(π – α) = sinα\)
\(cos(π – α) = -cosα\)
\(tan(π – α) = -tanα\)
\(cot(π – α) = -cotα\)
3. Cung hơn kém π: α và \((α + π)\)
Các điểm cuối của hai cung α và \((α + π)\) đối xứng nhau qua gốc tọa độ O (hình 54), nên ta có
\(sin(α + π) = -sinα\)
\(cos(α + π) = -cosα\)
\(tan(α + π) = tanα\)
\(cot(α + π) = cotα\)
4. Cung phụ nhau: α và \((\frac{π}{2} – α)\)
Các điểm cuối của hai cung α và \((\frac{π}{2} – α)\) đối xứng nhau qua phân giác d của góc \(xOy\) (hình 55), nên ta có
\(sin(\frac{π}{2} – α) = cosα\)
\(cos(\frac{π}{2} – α) = sinα\)
\(tan(\frac{π}{2} – α) = cotα\)
\(cot(\frac{π}{2} – α) = tanα\)
Câu hỏi 6 bài 2 trang 148 SGK đại số lớp 10: Tính \(cos(-\frac{11π}{4}), tan\frac{31π}{6}, sin(-1380^0)\).
Giải:
\(cos(-\frac{11π}{4}) = cos\frac{11π}{4}\)
\(= cos(2π + \frac{3π}{4}) = cos\frac{3π}{4}\)
\(= cos(π – \frac{π}{4}) = -cos\frac{π}{4}\)
\(= -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(tan\frac{31π}{6} = tan(5π + \frac{π}{6}) = tan\frac{π}{6}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(sin(-1380^0) = -sin1380^0\)
\(= -sin(4.360^0 – 60^0)\)
\(= -sin(-60^0) = -(-sin60^0)\)
\(= sin60^0\)
\(= \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 2: Giá Trị Lương Giác Của Một Cung thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 148 SGK Đại Số Lớp 10
Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
a. \(\)\(-0,7\)
b. \(\frac{4}{3}\)
c. \(-\sqrt{2}\)
d. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Bài Tập 2 Trang 148 SGK Đại Số Lớp 10
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a. \(sinα = \frac{\sqrt{2}}{3}\) và \(cosα = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
b. \(sinα = -\frac{4}{5}\) và \(cosα = -\frac{3}{5}\)
c. \(sinα = 0,7\) và \(cosα = 0,3\)
Bài Tập 3 Trang 148 SGK Đại Số Lớp 10
Cho \(0 < α < \frac{π}{2}\). Xác định đấu của các giá trị lượng giác
a. \(sin(α – π)\)
b. \(cos(\frac{3π}{2} – α)\)
c. \(tan(α + π)\)
d. \(cot(α + \frac{π}{2})\)
Bài Tập 4 Trang 148 SGK Đại Số Lớp 10
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu
a. \(cosα = \frac{4}{13}\) và \(0 < α < \frac{π}{2}\)
b. \(sinα = -0,7\) và \(π < α < \frac{3π}{2}\)
c. \(tanα = -\frac{15}{7}\) và \(\frac{π}{2} < α < π\)
d. \(cotα = -3\) và \(\frac{3π}{2} < α < 2π\)
Bài Tập 5 Trang 148 SGK Đại Số Lớp 10
Tính α, biết
a. \(cosα = 1\)
b. \(cosα = -1\)
c. \(cosα = 0\)
d. \(sinα = 1\)
e. \(sinα = -1\)
f. \(sinα = 0\)
Ở trên là nội dung Bài 2: Giá Trị Lương Giác Của Một Cung thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác môn Đại Số Lớp 10. Qua nội dung bài học các bạn được giới thiệu đến các khái niệm cơ bản về Giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung. Chúc các bạn học tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời