Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Nội dung Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Toán Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, thế nào là góc giữa hai đường thẳng trong không gian và cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong bài học có đi kèm theo một vài ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn thực hành kỹ năng giải các bài tập liên quan.
I. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Trong Không Gian
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa: Trong không gian, cho \(\)\(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là hai vectơ khác vectơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}, \overrightarrow{AC} = \vec{v}\). Khi đó ta gọi góc \(\widehat{BAC} (0^0 ≤ \widehat{BAC} ≤ 180^0)\) là góc giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) trong không gian, kí hiệu là \((\vec{u}, \vec{v})\) (Hình 3.11).
Câu hỏi 1 bài 2 trang 93 SGK hình học lớp 11: Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\)
b. \(\overrightarrow{CH}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
Giải:
Tứ diện ABCD đều có các mặt là tam giác đều.
Câu a: \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\)
Góc giữa \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là góc α và \(α = 180^0 – 60^0 = 120^0\)
Câu b: \(\overrightarrow{CH}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
Góc giữa \(\overrightarrow{CH}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là góc β
H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên CH ⊥ AB.
Xét tam giác vuông ACH tại H có \(\widehat{ACH} + \widehat{CAH} = 90^0 ⇒ \widehat{ACH} = 90^0 – 60^0 = 30^0\)
Nên \(β = 180^0 – 30^0 = 150^0\)
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) đều khác vectơ – không. Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) là một số, kí hiệu là \(\vec{u}.\vec{v}\), được xác định bởi công thức:
\(\vec{u}.\vec{v} = |\vec{u}|.|\vec{v}|.cos(\vec{u}, \vec{v})\)
Trường hợp \(\vec{u} = \vec{0}\) hoặc \(\vec{v} = \vec{0}\) ta quy ước \(\vec{u}.\vec{v} = 0\).
Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{BC}\).
Giải:
Ta có \(cos(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC}) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{BC}|}\)
\(= \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}\) (Hình 3.12)
Mặt khác \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}).(\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB})\)
\(= \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB}^2)\)
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = 0\) và \(\overrightarrow{OB}^2 = 1\)
Do đó \(cos(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC}) = -\frac{1}{2}\). Vậy \((\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC}) = 120^0\).
Câu hỏi 2 bài 2 trang 94 SGK hình học lớp 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
a. Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AC’}\) và \(\overrightarrow{BD}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}\).
b. Tính \(cos(\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD})\) từ đó suy ra \(\overrightarrow{AC’}\) và \(\overrightarrow{BD}\) vuông góc với nhau.
Giải:
Câu a: Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AC’}\) và \(\overrightarrow{BD}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}\).
\(\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}\)
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}\)
Câu b: Tính \(cos(\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD})\) từ đó suy ra \(\overrightarrow{AC’}\) và \(\overrightarrow{BD}\) vuông góc với nhau.
\(cos(\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}) = \frac{\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD}}{|AC’|.|BD|}\)
\(\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}).(\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB})\)
\(= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}).\overrightarrow{AD} – (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}).\overrightarrow{AB}\)
\(= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AB}\) (1)
Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau
(1) \(= \vec{0} + \overrightarrow{AD}^2 + \vec{0} – \overrightarrow{AB}^2 – \vec{0} – \vec{0} = 0 (AB = AD)\)
\(⇒ cos(\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}) = \frac{\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC’}|.|BD|} = 0\)
\(⇒ (\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}) = 90^0\)
Vậy hai vectơ trên vuông góc với nhau.
II. Vectơ Chỉ Phương Của Đường Thẳng
1. Định nghĩa: Vectơ \(\vec{a}\) khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \(\vec{a}\) song song hoặc trùng với đường thẳng d (Hình 3.13).
2. Nhận xét
a. Nếu \(\vec{a}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \(k\vec{a}\) với \(k ≠ 0\) cũng là vectơ chỉ phương của d.
b. Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \(\vec{a}\) của nó.
c. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.
III. Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian
Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm O nào đó ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa a’ và b’ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa:
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b (Hình 3.14).
2. Nhận xét
a. Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
b. Nếu \(\vec{u}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và \(\vec{v}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và \((\vec{u}, \vec{v}) = α\) thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu \(0^0 ≤ α ≤ 90^0\) và bằng \(180^0 – α\) nếu \(90^0 < α ≤ 180^0\). Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^0\).
Câu hỏi 3 bài 2 trang 95 SGK hình học lớp 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
a. AB và B’C’
b. AC và B’C’
c. A’C’ và B’C
Giải:
Câu a: AB và B’C’
Góc giữa AB và B’C’ bằng góc giữa AB và BC (vì B’C’ // BC)
⇒ Góc giữa AB và \(B’C’ = \widehat{ABC} = 90^0\)
Câu b: AC và B’C’
Góc giữa AC và B’C’ bằng góc giữa AC và BC (vì B’C’ // BC)
⇒ Góc giữa AC và \(B’C’ = \widehat{ACB} = 45^0\)
Câu c: A’C’ và B’C
Góc giữa A’C’ và B’C bằng góc giữa AC và B’C (vì A’C’ // AC)
ΔACB’ đều vì AC = B’C = AB’ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau)
⇒ Góc giữa A’C’ và \(B’C = \widehat{ACB’} = 60^0\)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và \(BC = a\sqrt{2}\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
Giải:
Ta có \(cos(\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB}) = \frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{SC}|.|AB|}\)
\(= \frac{(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AB}}{a.a}\) (Hình 3.15)
\(cos(\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB}) = \frac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^2}\)
Vì \(CB^2 = (a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 = AC^2 + AB^2\) nên \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = 0\). Tam giác SAB đều nên \((\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{AB}) = 120^0\) và do đó \(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} = a.a.cos120^0 = -\frac{a^2}{2}\). Vậy:
\(cos(\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB}) = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2} = -\frac{1}{2}\). Do đó \((\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB}) = 120^0\).
Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng \(180^0 – 120^0 = 60^0\).
IV. Hai Đường Thẳng Vuông Góc
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^0\).
Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b.
2. Nhận xét
a. Nếu \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: \(a ⊥ b ⇔ \vec{u}.\vec{v} = 0\).
b. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Giải:
Ta có \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ}\)
và \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DQ}\) (Hình 3.16)
Do đó \(2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\)
Vậy \(2\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}).\overrightarrow{AB}\)
\(= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB} = 0\)
hay \(\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB} = 0\) tức là PQ ⊥ AB
Câu hỏi 4 bài 2 trang 97 SGK hình học lớp 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:
a. Đường thẳng AB
b. Đường thẳng AC
Giải:
Câu a: Đường thẳng AB
Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB là AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’.
Câu b: Đường thẳng AC
Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AC là BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’.
Câu hỏi 5 bài 2 trang 97 SGK hình học lớp 11: Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau).
Giải:
Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số.
Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh.
Bài Tập Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:
a. \(\vec{AB}\) và \(\vec{EG}\)
b. \(\vec{AF}\) và \(\vec{EG}\)
c. \(\vec{AB}\) và \(\vec{DH}\)
Bài Tập 2 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD
a. Chứng minh rằng \(\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC} = 0.\)
b. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC.
Bài Tập 3 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11
a. Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?
b. Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?
Bài Tập 4 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng:
a. AB ⊥ CC’.
b. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Bài Tập 5 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và có \(\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}\). Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB.
Bài Tập 6 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng AB ⊥ Ô’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật.
Bài Tập 7 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2- (\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}.\)
Bài Tập 8 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^0\). Chứng minh rằng:
a. AB ⊥ CD
b. Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD.
Lời Kết: Nội dung bài học nhắc đến các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Cùng với đó là tích vô hướng của hai vectơ và hai đường thẳng vuông góc trong không gian.
Ở trên là nội dung Bài 2: Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Toán Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, thế nào là góc giữa hai đường thẳng trong không gian và cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong bài học có đi kèm theo một vài ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn thực hành kỹ năng giải các bài tập liên quan.
Trả lời