Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa
Nội dung Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, giúp các em nắm được các yếu tố liên quan đến hàm số lũy thừa như khái niệm. tập xác định, tính đơn điệu, cách tính đạo hàm, các dạng đồ thị của hàm số lũy thừa qua đó sẽ tạo cho các em một nền tảng kiến thức phục vụ cho việc giải bài tập liên quan đến hàm số luỹ thừa.
I. Khái Niệm
Ta đã biết các hàm số \(\)\(y = x^n (n ∈ N^*), y = \frac{1}{x} = x^{-1}, y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\)
Bây giờ, ta xét hàm số \(y = x^α\) với α là số thực cho trước.
Hàm số \(y = x^α\), với α ∈ R, được gọi là hàm số lũy thừa.
Chẳng hạn, các hàm số \(y = x, y = x^2, y = \frac{1}{4}, y = x^{\frac{1}{3}}, y = x^{\sqrt{2}}, y = x^π\) là những hàm số lũy thừa.
Câu hỏi 1 bài 2 trang 58 SGK giải tích lớp 12: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau và nêu nhận xét về tập xác định của chúng: \(y = x^2, y = x^{\frac{1}{2}}, y = x^{-1}\).
Giải:
Đồ thị của hàm số \(y = x^2\): đường màu đỏ
Đồ thị của hàm số \(y = x^{\frac{1}{2}}\): đường màu xanh
Đồ thị của hàm số \(y = x^{-1}\): đường màu tím
Ta có
Tâp xác định của hàm số \(y = x^2\) là R.
Tập xác định của hàm số \(y = x^{\frac{1}{2}}\) là (0, +∞).
Tập xác định của hàm số \(y = x^{-1}\) là R\{0}.
Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa \(y = x^α\) tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể:
Với α nguyên dương, tập xác định là R.
Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là R\{0}.
Với α không nguyên, tập xác định là (0; +∞)
II. Đạo Hàm Của Hàm Số Lũy Thừa
Ở lớp 11, ta đã biết đạo hàm của các hàm số \(y = x^n (n ∈ N, n ≥ 1)\) và \(y = \sqrt{x}\) là
\((x^n)’ = nx^{n – 1} (x ∈ R)\)
\((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) hay \((x^{\frac{1}{2}})’ = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} – 1} (x > 0)\)
Một cách tổng quát, người ta chứng minh được hàm số lũy thừa \(y = x^α (α ∈ R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \((x^α)’ = αx^{α – 1}\).
Ví dụ 1:
a. \((x^{\frac{3}{4}}) = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}} (x > 0)\)
b. \((x^{\sqrt{3}})’ = \sqrt{3x}^{\sqrt{3} – 1}(x > 0)\)
Câu hỏi 2 bài 2 trang 58 SGK giải tích lớp 12: Tính đạo hàm của các hàm số: \(y = x^{-\frac{2}{3}}, y^π, y = x^{\sqrt{2}}\).
Giải: Sử dụng công thức đạo hàm \((x^α)’ = αx^{α – 1}\)
\(Y’ = (x^{-\frac{2}{3}})’ = -\frac{2}{3}.x^{-\frac{2}{3} – 1} = -\frac{2}{3}.x^{-\frac{5}{3}}\)
\(y’ = (x^π)’ = π.x^{π – 1}\)
\(y’ = (x^{\sqrt{2}})’ = \sqrt{2}.x^{\sqrt{2} – 1}\)
Chú ý: công thức tính đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số lũy thừa có dạng \((u^α)’ = αu^{α – 1}.u’\).
Ví dụ 2: \(((2x^2 + x – 1)^{\frac{2}{3}})’\)
\(= \frac{2}{3}(2x^2 + x – 1)^{-\frac{1}{3}}(2x^2 + x – 1)’\)
\(= \frac{2(4x + 1)}{3\sqrt[3]{2x^2 + x – 1}}\)
Câu hỏi 3 bài 2 trang 59 SGK giải tích lớp 12: Tính đạo hàm của hàm số \(y = (3x^2 – 1)^{-\sqrt{2}}\).
Giải: Sử dụng công thức đạo hàm \((u^α)’ = αu^{α – 1}.u’\)
\(y’ = [(3x^2 – 1)^{(-\sqrt{2})}]’\)
\(= -\sqrt{2}(3x^2 – 1)^{(-\sqrt{2} – 1)}.(3x^2 – 1)’\)
\(= -\sqrt{2}(3x^2 – 1)^{(-\sqrt{2} – 1)}.6x\)
\(= -6\sqrt{2}x(3x^2 – 1)^{(-\sqrt{2} – 1)}\)
III. Khảo Sát Hàm Số Lũy Thừa \(y = x^α\)
Tập xác định của hàm số lũy thừa \(y = x^α\) luôn chứa khoảng (0; +∞) với moi α ∈ R. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số \(y = x^α\) trên khoảng nay (gọi là tập khảo sát).
\(y = x^α, α > 0\) | \(y = x^α, α < 0\) |
1. Tập khảo sát: (0; +∞)
2. Sự biến thiên \(y’ = αx^{α – 1} > 0; ∀x > 0\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+}x^α = 0, \lim_{x → +∞}x^α = +∞\) Tiệm cận: Không có 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (Hình 28 với α > 0) |
1. Tập khảo sát: (0; +∞)
2. Sự biến thiên \(y’ = αx^{α – 1} < 0; ∀x > 0\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+} x^α = +∞, \lim_{x → +∞}x^α = 0\) Tiệm cận:
3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (Hình 28 với α < 0) |
Đồ thị của hàm số lũy thừa \(y = x^α\) luôn đi qua điểm (1; 1).
Trên hình 28 là độ thị của hàm số lũy thừa trên khoảng (0; +∞) ứng với các giá trị khác nhau của α.
Chú ý: Khi khảo sát hàm lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.
Dưới đây là dạng đồ thị của ba hàm số: \(y = x^3\) (Hình 29a), \(y = x^{-2}\) (Hình 29b), \(y = x^π\) (Hình 29c).
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x^{-\frac{3}{4}}\).
1. Tập xác định: D = (0; +∞)
2. Sự biến thiên
Chiều biến thiên: \(y’ = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}}\)
Ta có y’ < 0 trên khoảng (0; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến.
Tiệm cận: \(\lim_{x → 0^+}y = +∞, \lim_{x → +∞}y = 0\)
Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành và có tiệm cận đứng là trục tung.
Bảng biến thiên
3. Đồ thị (Hình 30)
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lũy thừa \(y = x^α\) trên khoảng (0; +∞)
α > 0 | α < 0 | |
Đạo hàm | \(y’ = αx^{α – 1}\) | \(y’ = αx^{α – 1}\) |
Chiều biến thiên | Hàm số luôn đồng biến | Hàm số luôn nghịch biến |
Tiệm cận | Không có | Tiệm cận ngang là Ox, tiệm cận đứng là Oy |
Đồ thị | Đồ thị luôn đi qua điểm (1; 1) |
Bài Tập Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa
Hướng dẫn giải Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn biết cách tìm tập xác định của hàm số luỹ thừa, biết tính đạo hàm của hàm số luỹ thừa, biết khảo sát các hàm số luỹ thừa đơn giản.
Bài Tập 1 Trang 60 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a. \(y = (1 – x)^{-\frac{1}{3}}\)
b. \(y = (2 – x^2)^{\frac{3}{5}}\)
c. \(y = (x^2 – 1)^{-2}\)
d. \(y = (y^2 – x – 2)^{\sqrt{2}}\)
Bài Tập 2 Trang 61 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a. \(y = (2x^2 – x + 1)^{\frac{1}{3}}\)
b. \(y = (4 – x – x^2)^{\frac{1}{4}}\)
c. \(y = (3x + 1)^{\frac{π}{2}}\)
d. \(y = (5 – x)^{\sqrt{3}}\)
Bài Tập 3 Trang 61 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a. \(y = x^{\frac{4}{3}}\)
b. \(y = x^{-3}\)
Bài Tập 4 Trang 61 SGK Giải Tích Lớp 12
Hãy so sánh các số sau với 1:
Hãy so sánh các số sau với 1:
a. \((4,1)^{2,7}\)
b. \((0,2)^{0,3}\)
c. \((0,7)^{3,2}\)
d. \((\sqrt{3})^{0,4}\)
Bài Tập 5 Trang 61 SGK Giải Tích Lớp 12
Hãy so sánh các cặp số sau:
a. \(\)\((3,1)^{7,2}\) và \((4,3)^{7,2}\)
b. \((\frac{10}{11})^{2,3}\) và \((\frac{12}{11})^{2,3}\)
c. \((0,3)^{0,3}\) và \((0,2)^{0,3}\)
Ở trên là nội dung Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn nắm khái niệm hàm số luỹ thừa, đạo hàm của hàm số luỹ thừa, khảo sát hàm số luỹ thừa \(y = x^α\). Bạn thấy nội dung bài học này thế nào? Để lại ý kiến đóng góp ngay dưới đây nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập Trắc Nghiệm Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Ôn Tập Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit
- Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
- Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit
- Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit
- Bài 3: Lôgarit
- Bài 1: Lũy Thừa
Trả lời