Chương I: Khối Đa Diện – Hình Học Lớp 12
Bài 2: Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều
Ngay sau khi tìm hiểu về khối đa diện ở bài trước, thì trong bài học này sẽ tiếp tục giới thiệu cho các bạn học sinh thế nào là đa diện lồi, những bài tập tính toán trong chương trình học phổ thông đều xây dựng trên loại đa diện này. Ngoài ra, bài này có trình bày về khái niệm khối đa diện đều.
I. Khối Đa Diện Lồi
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi (hình 1.17).
Ví dụ. Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi.
Người ta chứng minh được rằng một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó (hình 1.18).
Câu hỏi 1 bài 2 trang 15 sgk hình học lớp 12: Tìm ví dụ về khối đa diện lồi và khối đa diện không lồi trong thực tế.
Giải:
Khối đa diện lồi trong thực tế: kim tự tháp Ai Cập, viên kim cương, rubic
Khối đa diện không lồi trong thực tế: cái bàn
II. Khối Đa Diện Đều
Quan sát khối từ diện đều (hình 1.19a) ta thấy các mặt của nó là những tam giác đều, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng ba mặt. Đối với khối lập phương (Hình 1.19b) ta thấy các mặt của nó là những hình vuông, mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng ba mặt. Những khối đa diện nói trên được gọi là những khối đa diện đều.
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
a. Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b. Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.
Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.
Người ta chứng minh được định lí sau:
Định lí: Chỉ có năm loại khới đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3} và loại {3; 5}.
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự được gọi là các khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều (hình 1.20).
Câu hỏi 2 bài 2 trang 16 sgk hình học lớp 12: Đếm số đỉnh, số cạnh của khối bát diện đều.
Giải:
Khối bát diện đều có 6 đỉnh và 12 cạnh.
Các hình đa diện đều là những hình có vẻ đẹp cân đối, hài hoà. Các nhà toán học cổ đại xem chúng là những hình lý tưởng. Vẻ đẹp của chúng cũng làm nhiều hoạ sĩ quan tâm. Lê-ô-na-đô Đa Vin-xi (Leonardo da Vinci) hoạ sĩ thiên tài người I-ta-li-a đã từng vẽ khá nhiều hình đa diện trong đó có các hình đa diện đều. Dưới đây là hình mười hai mặt đều và hình hai mươi mặt đều do ông vẽ (hình 1.21).
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Loại | Tên gọi | Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt |
{3; 3} {4; 3} {3; 4} {5; 3} {3; 5} |
Tứ diện đều Lập phương Bát diện đều Mười hai mặt đều Hai mươi mặt đều |
4 8 6 20 12 |
6 12 12 30 30 |
4 6 8 12 20 |
Ví dụ. Chứng minh rằng:
a. Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều.
b. Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình bát diện đều.
Giải:
a. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA (hình 1.22a).
Câu hỏi 3 bài 2 trang 17 sgk hình học lớp 12: Chứng minh rằng tám tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng \(\)\(\frac{a}{2}\).
Giải:
ABCD là tứ diện đều ⇒ tam giác ABC đều ⇒ AB = BC = CA = a
I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC nên ta có IE, IF, EF là các đường trung bình của tam giác ABC
\(⇒ IE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a\)
\(IF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a\)
\(EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a\)
Nên tam giác IEF là tam giác đều cạnh bằng \(\frac{a}{2}\)
Chứng minh tương tự ta có: IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN và JNE là những tam giác đều cạnh bằng \(\frac{a}{2}\).
Tám tam giác đều nói trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng bốn tam giác đều. Do đó đa diện ấy là đa diện đều loại {3; 4}, tức là hình bát diện đều.
b. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a (hình 1.22b).
Câu hỏi 4 bài 2 trang 18 sgk hình học lớp 12: Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a.
Giải:
ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên các mặt là các hình vuông cạnh a.
Tứ diện AB’CD’ có các cạnh là các đường chéo của các mặt bên hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên tứ diện AB’CD’ có các cạnh bằng nhau.
⇒ AB’CD’ là tứ diện đều.
Cạnh của tứ diện đều AB’CD’ bằng độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a và bằng \(a\sqrt{2}\).
Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là tâm của các mặt ABCD, A’B’C’D, ABB’A’, BCC’B’, CDDC và DAA’D’ của hình lập phương. Để ý rằng sáu điểm trên cũng lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB, BC, CD’ và D’A của tứ diện đều ABCD nên theo câu a) sáu điểm đó là các đỉnh của hình bát diện đều.
Bài Tập SGK Bài 2 Khối Đa Diện Lồi Và Khối Đa Diện Đều
Mời các bạn xem các bài giải bài tập trong sách giáo khoa của bài 2 khối đa diện lồi và khối đa diện đều ngay bên duới đây nhé. Sẽ giúp các bạn nắm bắt được kiến thức sgk.
Bài Tập 1 Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12
Cắt bìa theo mẫu dưới đây (hình 1.23), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện điều.
Bài Tập 2 Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).
Bài Tập 3 Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Bài Tập 4 Trang 18 SGK Hình Học Lớp 12
Cho hình bát diện đều ABCDEF (hình 1.24). Chứng minh rằng:
a. Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b. ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.
Bài Đọc Thêm
Hình Đa Diện Đều
Câu chuyện về các hình đa diện đều mang nhiều tính huyền thoại. Người ta không biết được ai là người đầu tiên đã tìm ra chúng. Trong một cuộc khai quật người ta đã tìm thấy một thứ đồ chơi của trẻ con hình hai mươi mất đều có niên đại cách chúng ta khoảng 2500 năm. Các nhà toán học cổ đại Hi Lạp thuộc trường phái Pla-tông và trước đó nữa là trường phái Py-ta-go (thế kỉ IV trước Công nguyên) đã từng nghiên cứu về các hình đa diện nói chung và các hình đa diện đều nói riêng. Các nhà toán học thời bấy giờ coi năm loại hình đa diện đều là những hình lý tưởng. Người ta coi bốn loại đa diện đều dễ dàng là tứ diện, hình lập phương, hình bát diện đều và hình hai mươi mặt đều, theo thứ tự tượng trưng cho lửa, đất, không khí và nước, đó là bốn yếu tố cơ bản (theo quan niệm của thời bấy giờ) tạo nên mọi vật. Còn hình mười hai mặt đểu tượng trưng cho toàn thể vũ trụ.
Sau này người ta còn tìm thấy các hình đa diện đều xuất hiện trong tự nhiên dưới dạng tinh thể của nhiều hợp chất. Chẳng hạn tinh thể của các chất sodium sulphantimoniate, muối ăn, chrome alum có dạng tương ứng là khối tứ diện, khối lập phương, khối bát diện đều. Còn hai loại hình đa diện đều phức tạp hơn là hình mười hai mặt đều và hình hai mươi mặt đều, xuất hiện trong khung xương của một số vi sinh vật biển ví dụ: circogonia icosahedra và circorrhegma dodecahedra.
Các hình đa diện đều là những hình có tâm, trục hoặc mặt phẳng đối xứng. Việc nghiên cứu các phép biến hình biến mỗi hình đa diện đều thành chính nó đã đặt nền móng cho lí thuyết về các nhóm hữu hạn, một hướng nghiên cứu quan trọng của đại số. Lí thuyết này có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các dạng tinh thể của các hợp chất hoá học.
Trên là toàn bộ lý thuyết bài 2 khối đa diện lồi và khối đa diện đều chương 1 hình học lớp 12. Qua bài học các bạn sẽ tìm hiểu về khối đa diện đều và khối đa diện lồi như thế nào. Bạn thấy bài học này thế nào? để lại ý kiến đóng góp ngay bên dưới nhé.
Trả lời