Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 2: Phép Tịnh Tiến
Nội dung Bài 2: Phép Tịnh Tiến thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Các bạn sẽ được học định nghĩa phép tịnh tiến. Phép tịnh tiến có các tính chất của phép dời hình. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến. Về kỹ năng, sẽ giúp các bạn dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua phép tịnh tiến. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
Khi đẩy một cánh cửa trượt sao cho chốt cửa dịch chuyển từ vị trí A đến vị trí B ta thấy từng điểm của cánh cửa cũng được dịch chuyển một đoạn bằng AB và theo hướng từ A đến B (hình 1.2). Khi đó ta nói cánh cửa được tình tiến theo vectơ \(\)\(\overrightarrow{AB}\).
I. Định Nghĩa
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ \(\vec{v}\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow{MM’} = \vec{v}\) được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\) (hình 1.3).
Phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\) thường được kí hiệu là \(T_{v}, \vec{v}\) được gọi là vectơ tịnh tiến.
Như vậy \(T_{\vec{v}}(M) = M’ ⇔ \overrightarrow{MM’} = \vec{v}\)
Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.
Ví dụ:
a. Phép tịnh tiến \(T_{\vec{u}}\) biến các điểm A, B, C tương ứng thành các điểm A’, B’, C’ (Hình 1.4a).
b. Phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\) biến hình H thành hình H’ (hình 1.4b).
Câu hỏi 1 bài 2 trang 5 SGK hình học lớp 11: Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình 1.5. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D.
Giải:
Phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D là phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\) như hình vẽ trên. Ở đó \(\vec{v} = \overrightarrow{AB}\).
Bạn Có Biết
Vẽ những hình giống nhau có thể lát kín mặt phẳng là hứng thú của nhiều hoạ sĩ. Một trong những người nổi tiếng theo khuynh hướng đó là Mô-rit Cooc-ne-li Et-se (Maurits Cornelis Escher), hoạ sĩ người Hà Lan (1898 – 1972). Những bức tranh của ông được hàng triệu người trên thế giới ưa chuộng vì chẳng những rất đẹp mà còn chứa đựng những nội dung toán học sâu sắc. Sau đây là một số tranh của ông.
II. Tính Chất
Tính chất 1: Nếu \(T_{\vec{v}}(M) = M’, T_{\vec{v}}(N) = N’\) thì \(\overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{MN}\) và từ đó suy ra \(M’N’ = MN\).
Thật vậy, để ý rằng \(\overrightarrow{MM’} = \overrightarrow{NN’} = \vec{v}\) và \(\overrightarrow{M’M} = -\vec{v}\) (hình 1.6), ta có
\(\overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{M’M} + \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NN’}
= -\vec{v} + \overrightarrow{MN} + \vec{v} = \overrightarrow{MN}\)
Từ đó suy ra M’N’ = MN.
Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Từ tính chất 1 ta chứng minh được tính chất sau.
Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (hình 1.7).
Câu hỏi 2 bài 2 trang 7 SGK hình học lớp 11: Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\).
Giải: Ảnh của đường thẳng d là đường thẳng đi qua ảnh của 2 điểm bất kì của d qua phép tịnh tiến.
Lấy 2 điểm A và B bất kì thuộc đường thẳng d.
Lần lượt tịnh tiến A, B theo vectơ \(\vec{v}\) ta được 2 điểm A’ và B’.
Đường thẳng d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ chính là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\).
Cách khác:
Do ảnh của đường thẳng qua phép tịnh tiến là đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên ta có thể xác định ảnh như sau:
– Lấy một điểm A bất kì thuộc d.
– Tìm ảnh A’ của A qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
– Nếu A’ không thuộc d thì qua A’ kẻ đường thẳng song song với d ta được đường thẳng cần tìm.
– Nếu A’ thuộc d thì ảnh cần tìm chính là đường thẳng d.
III. Biểu Thức Tọa Độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(\vec{v} = (a; b)\) (Hình 1.8). Với mỗi điểm M(x; y) ta có M'(x’; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\). Khi đó \(\overrightarrow{MM’} = \vec{v} ⇔ \begin{cases}x’ – x = a\\y’ – y = b\end{cases}\) Từ đó suy ra \(\begin{cases}x’ = x + a\\y’ = y + b\end{cases}\)
Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).
Câu hỏi 3 bài 2 trang 7 SGK hình học lớp 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(\vec{v} = (1; 2)\). Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến \(T_{\vec{v}}\).
Giải:
Gọi M(x’, y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\).
Ta có: \(M(3; -1)\) và \(\vec{v} = (1; 2)\)
\(⇒ \begin{cases}x’ = 3 + 1\\y’ = -1 + 2\end{cases}\)
\(⇒ \begin{cases}x’ = 4\\y’ = 1\end{cases}\)
Vậy M'(4; 1) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Bài Tập SGK Bài 2: Phép Tịnh Tiến
Hướng dẫn giải bài tập sach giáo khoa Bài 2: Phép Tịnh Tiến thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 7 SGK Hình Học Lớp 11
Chứng minh rằng: \(M’ = T_{\vec{v}}(M) ⇔ M = T_{-\vec{v}}(M’)\).
Bài Tập 2 Trang 7 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\). Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) biến D thành A.
Bài Tập 3 Trang 7 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho vectơ \(\vec{v} = (-1; 2)\), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình \(x – 2y + 3 = 0\).
a. Tìm toạ độ của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
b. Tìm toạ độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
c. Tìm phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\vec{v}\).
Bài Tập 4 Trang 8 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
Ở trên là nội dung Bài 2: Phép Tịnh Tiến thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán của Phép tịnh tiến. Thông qua các ví dụ minh họa các bạn sẽ nắm được các phương pháp giải bài tập. Để học tốt hơn, các bạn cần ôn lại khái niệm vectơ đã học ở Hình Học 10. Chúc các bạn học tốt Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài Tập Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài 8: Phép Đồng Dạng
- Bài 7: Phép Vị Tự
- Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
- Bài 5: Phép Quay
- Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
- Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
- Bài 1: Phép Biến Hình
Trả lời