Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10

Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Nội dung Bài 2: Phương Trình Đường Tròn chương Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 10. Qua bài học, các bạn nắm vững hai cách viết phương trình đường tròn, biết xác định tâm và bán kính của đường tròn, biết dựa vào điều kiện cho trước để lập phương trình đường tròn. Hiểu được cách viết phương trình đường tròn, nhận dạng được phương trình đường tròn. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\), bán kính R (hình 3.16).

Ta có \(M(x; y) ∈ (C) ⇔ IM = R\)

\(⇔ \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2} = R\)

\(⇔ (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2\)

Phương trình \((x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R.

Chẳng hạn, phương trình đường tròn tâm \(I(2; -3)\) bán kính \(R = 5\) là: \((x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25\).

Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ \(O\) và có bán kính R là: \(x^2 + y^2 = R^2\).

Câu hỏi 1 bài 2 trang 82 SGK hình học lớp 10: Cho hai điểm \(A(3; -4)\) và \(B(-3; 4)\). Viết phương trình đường tròn \((C)\) nhận \(AB\) làm đường kính.

Giải:

Gọi \(I\) là đường tròn nhận \(AB\) là đường kính

\(⇒ I\) là trung điểm của \(AB ⇒ I (0; 0)\)

\(AB = \sqrt{(-3 – 3)^2 + (4 + 4)^2} = 10\)

\(⇒ R = \frac{AB}{2} = 5\)

Phương trình đường tròn \((C)\) nhận \(AB\) là đường kính là: \(x^2 + y^2 = 25\).

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn \((x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2\) có thể được viết dưới dạng \(x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0\), trong đó \(c = a^2 + b^2 – R^2\).

Ngược lại, phương trình \(x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi \(a^2 + b^2 – c > 0\). Khi đó đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 – c}\).

Câu hỏi 2 bài 2 trang 82 SGK hình học lớp 10: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:

\(2x^2 + y^2 – 8x + 2y – 1 = 0\)

\(x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0\)

\(x^2 + y^2 – 2x – 6y + 20 = 0\)

\(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = 0\)

Giải:

\(2×2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0.\)

Phương trình trên không là phương trình đường tròn vì hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) khác nhau.

\(x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0;\)

\(a = -1; b = 2; c = -4 ⇒ a^2 + b^2 – c = 9 > 0\)

⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.

\(x^2 + y^2 – 2x – 6y + 20 = 0;\)

\(a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a^2 + b^2 – c = -10 < 0\)

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

\(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = 0.\)

\(a = -3; b = -1; c = 10 ⇒ a^2 + b^2 – c = 0\)

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm \(M_0(x_0; y_0)\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\). Gọi Δ là tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M_0\).

Ta có \(M_0\) thuộc Δ và vectơ \(\overrightarrow{IM_0} = (x_0 – a; y_0 – b)\) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó Δ có phương trình là:

\((x_0 – a)(x – x_0) + (y_0 – b)(y – y_0) = 0 (2)\)

Phương trình (2) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2\) tại điểm \(M_0\) nằm trên đường tròn.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(3; 4)\) thuộc đường tròn \((C): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 8.\)

Giải:

\((C)\) có tâm \(I(1; 2)\), vậy phương trình tiếp tuyến với \((C)\) tại \(M(3; 4)\) là: \((3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0.\)

\(⇔ 2x + 2y – 14 = 0\)

\(⇔ x + y – 7 = 0.\)

Bài Tập SGK Bài 2: Phương Trình Đường Tròn

Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 2: Phương Trình Đường Tròn thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.

Bài Tập 1 Trang 83 SGK Hình Học Lớp 10

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a. \(\)\(x^2 + y^2 – 2x – 2y – 2 = 0\)

b. \(16x^2 + 16y^2 + 16x – 8y – 11 = 0\)

c. \(x^2 + y^2 – 4x + 6y – 3 = 0\)

Bài Tập 2 Trang 83 SGK Hình Học Lớp 10

Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:

a. \((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\)

b. \((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x – 2y + 7 = 0\)

c. \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A = (1; 1)\) và \(B = (7; 5)\)

Bài Tập 3 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm

a. \(A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)\)

b. \(M(-2; 4), N(5; 5), P(6; -2)\)

Bài Tập 4 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) và đi qua điểm \(M(2; 1)\).

Bài Tập 5 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng \(4x – 2y – 8 = 0.\)

Bài Tập 6 Trang 84 SGK Hình Học Lớp 10

Cho đương tròn \((C)\) có phương trình \(x^2 + y^2 – 4x + 8y – 5 = 0\).

a. Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\)

b. Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0)\)

c. Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\).

Ở trên là nội dung Bài 2: Phương Trình Đường Tròn thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 10. Với bài học này, các bạn sẽ hiểu khái niệm về phương trình đường tròn, phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn. Chúc các bạn học tốt môn Toán Hình Học Lớp 10.