Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Nội dung Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Giúp các bạn biết phương trình lượng giác cơ bản: và công thức tính nghiệm. Về kỹ năng giúp giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản. Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
Câu hỏi 1 bài 2 trang 18 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tìm một giá trị của x sao cho \(2sinx – 1 = 0\).
Giải:
Ta có: \(\)\(2sinx – 1 = 0 ⇒ sinx = \frac{1}{2}\)
Do \(sin\frac{π}{6} = \frac{1}{2}\)
\(⇒ \frac{π}{6}\) là một giá trị của x thỏa mãn \(2sinx – 1 = 0\).
Trong thực tế, ta gặp những bài toán dẫn đến việc tìm tất cả các giá trị của x nghiệm đúng những phương trình nào đó, như
\(3sin2x + 2 = 0\)
hoặc \(2cosx + tan2x – 1 = 0\), mà ta gọi là các phương trình lượng giác.
Giải phương trình lượng giác là tìm tất cả các giá trị của ẩn số thoả mãn phương trình đã cho. Các giá trị này là số đo của các cung (góc) tính bằng radian hoặc bằng độ.
Việc giải các phương trình lượng giác thường đưa về việc giải các phương trình sau, gọi là các phương trình lượng giác cơ bản:
\(sinx = a, cosx = a, tanx = a, cot x = a\), trong đó a là một hằng số.
1. Phương trình sinx = a
Câu hỏi 2 bài 2 trang 19 SGK đại số & giải tích lớp 11: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình \(sinx = -2\) không?
Giải:
Không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình \(sinx = -2\).
Xét phương trình \(sinx = a\). (1)
Trường hợp |a| > 1
Phương trình (1) vô nghiệm, vì \(|sinx| ≤ 1\) với mọi x.
Trường hợp |a| ≤ 1
Vẽ đường tròn lượng giác tâm ), trục hoành là trục côsin, trục tung là trục sin. Trên trục sin lấy điểm K sao cho \(\overline{OK} = a\). Từ K kẻ đường vông góc với trục sin, cắt đường trọn lượng giác tại M và M’ đối xứng với nhau qua trục sin (nếu \(|a| = 1\) thì M trùng với M’) (Hình 14).
Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và AM’ là tất cả các nghiệm của phương trình (1).
Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM, ta có \(sđAM = α + K2π, k ∈ Z; sđAM’ = π – α + k2π, k ∈ Z\).
Vậy phương trình \(sinx = a\) có các nghiệm là
\(x = α + K2π, k ∈ Z\)
\(x = π – α + k2π, k ∈ Z\)
Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện \(\begin{cases}-\frac{π}{2} ≤ α \frac{π}{2}\\sinα = a\end{cases}\) thì ta viết \(α = arcsina\) (đọc là ac-sin-a, nghĩa là cung có sin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình \(sinx = a\) được viết là \(x = arcsina + k2π, k ∈ Z\) và \(x = π – arcsina + k2π, k ∈ Z\).
Chú ý:
a. Phương trình \(sinx = sinα\), với α là một số cho trước, có các nghiệm là
\(x = α + k2π, k ∈ Z\) và \(x = π – α + k2π, k ∈ Z\)
Tổng quát, \(sinf(x) = sing(x) ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}f(x) = g(x) + k2π, k ∈ Z\\ f(x) = π – g(x) + k2π, k ∈ Z \end{matrix}\)
b. Phương trình \(sinx = sinβ^0\) có các nghiệm là \(x = β^0 + k360^0, k ∈ Z\) và \(x = 180^0 – β^0 + k360^0, k ∈ Z.\)
c. Trong một công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
d. Các trường hợp đặc biệt:
- \(a = 1:\) Phương trình \(sinx = 1\) có các nghiệm là \(x = \frac{π}{2} + k2π, k ∈ Z\)
- \(a = -1:\) Phương trình \(sinx = -1\) có các nghiệm là \(x = -\frac{π}{2} + k2π, k ∈ Z\)
- \(a = 0:\) Phương trình \(sinx = 0\) có các nghiệm là \(x = kπ, k ∈ Z\)
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a. \(sinx = \frac{1}{2}\)
b. \(sinx = \frac{1}{5}\)
Giải:
Câu a: Vì \(\frac{1}{2} = sin\frac{π}{6}\) nên \(sinx = \frac{1}{2} ⇔ sinx = sin\frac{π}{6}.\)
Vậy phương trình có các nghiệm là
\(x = \frac{π}{6} + k2π, k ∈ Z và x = π – \frac{π}{6} + k2π = \frac{5π}{6} + k2π, k ∈ Z\)
Câu b: Ta có \(sinx = \frac{1}{5}\) khi \(x = arcsin\frac{1}{5}\). Vậy phương trình \(sinx = \frac{1}{5}\) có các nghiệm là \(x = arcsin\frac{1}{5} + k2π, k ∈ Z\) và \(x = π – arcsin\frac{1}{5} + k2π, k ∈ Z.\)
Câu hỏi 3 bài 2 trang 21 SGK đại số & giải tích lớp 11: Giải các phương trình sau:
a. \(sinx = \frac{1}{3}\)
b. \(sin(x + 45^0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Giải:
Câu a: \(sinx = \frac{1}{3}\)
\(sinx = \frac{1}{3} ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x = arcsin\frac{1}{3} + k2π\\x = π – arcsin\frac{1}{3} +k2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Vậy phương trình \(sinx = \frac{1}{3}\) có các nghiệm là:
\(\bigg \lbrack \begin{matrix} x = arcsin\frac{1}{3} + k2π\\ x = π – arcsin\frac{1}{3} + k2π \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Câu b: \(sin(x + 45^0) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(⇔ sin(x + 45^0) = sin(-45^0)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x + 45^0 = -45^0 + k360^0\\ x + 45^0 = 180^0 – (-45^0) + k360^0 \end{matrix} (k ∈ Z)\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -90^0 + k360^0\\ x = 180^0 + k360^0 \end{matrix} (k ∈ Z)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\bigg \lbrack \begin{matrix} x = -90^0 + k360^0\\ x = 180^0 + k360^0 \end{matrix} (k ∈ Z)\)
2. Phương trình cosx = a
Trường hợp |a| > 1
Phương trình \(cosx = a\) vô nghiệm vì \(|cosx| ≤ 1\) với mọi x.
Trường hợp |a| ≤ 1
Tương tự trường hợp phương trình \(sinx = a\), ta lấy điểm H trên tục côsin sao cho \(\overline{OH} = a\). Từ H kẻ đường vuông góc với trục côsin, cắt đường tròn lượng giác tại M và M’ đối xứng với nhau qua trục côsin (nếu |a| = 1 thì M ≡ M’) (Hình 15)
Từ đó ta thấy số đo của các cung lượng giác AM và Am’ là tất cả các nghiệm của phương trình \(cosx = a\).
Gọi α là số đo bằng radian của một cung lượng giác AM, ta có
\(sđAM = α + k2π, k ∈ Z\)
\(sđAM’ = -α + k2π, k ∈ Z\)
Vậy phương trình \(cosx = a\) có nghiệm là \(x = ±α + k2π, k ∈ Z\)
Chú ý:
a. Phương trình \(cosx = cosα\), với α là một số cho trước, có các nghiệm là \(x = ±α + k2π, k ∈ Z\)
Tổng quát, \(cosf(x) = cosg(x) ⇔ f(x) = ±g(x) + k2π, k ∈ Z\)
b. Phương trình \(cosx = cosβ^0\) có các nghiệm là \(x = ±β^0 + k360^0, k ∈ Z\)
c. Nếu số thực α thỏa mãn các điều kiện
\(\begin{cases}0 ≤ α ≤ π\\cosα = a\end{cases}\)
thì ta viết \(α = arccosa\) (đọc là ac-côsin-a, có nghĩa là cung có côsin bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình \(cosx = a\) còn được viết là \(x = ±arccosa + k2π, k ∈ Z\).
d. Các trường hợp đặc biệt:
- \(a = 1:\) Phương trình \(cosx = 1\) có các nghiệm là \(x = k2π, k ∈ Z\)
- \(a = -1:\) Phương trình \(cosx = -1\) có các nghiệm là \(x = π + k2π, k ∈ Z\)
- \(a = 0:\) Phương trình \(cosx = 0\) có các nghiệm là \(x = \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\)
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a. \(cosx = cos\frac{π}{6}\)
b. \(cos3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
c. \(cosx = \frac{1}{3}\)
d. \(cos(x + 60^0) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Giải:
Câu a: \(cosx = cos\frac{π}{6} ⇔ x = ±\frac{π}{6} + k2π, k ∈ Z\)
Câu b: \(cos3x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vì \(-\frac{\sqrt{2}}{2} = cos\frac{3π}{4}\) nên \(cos3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} ⇔ cos3x = cos\frac{3π}{4} ⇔ 3x = ±\frac{3π}{4} + k2π\)
\(⇔ x = ±\frac{π}{4} + k\frac{2π}{3}, k ∈ Z\)
Câu c: \(cosx = \frac{1}{3} ⇔ x = ±arccos\frac{1}{3} + k2π, k ∈ Z\)
Câu d: Vì \(\frac{\sqrt{2}}{2} = cos45^0\) nên \(cos(x + 60^0) = \frac{\sqrt{2}}{2} ⇔ cos(x + 60^0) = cos45^0 ⇔ x + 60^0 = ±45^0 + k360^0\)
\(⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -15^0 + k360^0\\ x = -105^0 + k360^0 \end{matrix} k ∈ Z\)
Câu hỏi 4 bài 2 trang 21 SGK đại số & giải tích lớp 11: Giải các phương trình sau:
a. \(cosx = -\frac{1}{2}\)
b. \(cosx = \frac{2}{3}\)
c. \(cos(x + 30^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Giải:
Câu a: \(cosx = -\frac{1}{2}\)
Vì \(\frac{-1}{2} = cos30^0\) nên \(cosx = \frac{-1}{2} ⇔ cos x = cos\frac{2π}{3}\)
\(⇔ x = ±\frac{2π}{3} + k2π, k ∈ Z\)
Câu b: \(cosx = \frac{2}{3}\)
\(cosx = \frac{2}{3} ⇒ x = ±arccos\frac{2}{3} + k2π, k ∈ Z\)
Câu c: \(cos(x + 30^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = cos30^0\) nên \(cos(x + 30^0) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(⇔ cos(x + 30^0) = cos30^0\)
\(⇔ x + 30^0 = ±30^0 + k.360^0, k ∈ Z\)
\(⇔ x = k.360^0, k ∈ Z\) và \(x = -60^0 + k.360^0, k ∈ Z\)
3. Phương trình tanx = a
Điều kiện của phương trình là \(x ≠ \frac{π}{2} + kπ (k ∈ Z)\)
Căn cứ vào đồ thị hàm số \(y = tanx\), ta thấy với mỗi số a, đồ thị hàm số \(y = tanx\) cắt đường thẳng \(y = a\) tại các điểm có hoành độ sai khác nhau một bội của π (Hình 16).
Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình \(tan x = a\).
Gọi \(x_1\) là hoành độ giao điểm \((tanx_1 = a)\) thỏa mãn điều kiện \(-\frac{π}{2} < x_1 < \frac{π}{2}.\)
Kí hiệu \(x_1 = arctana\) (đọc là ac-tang-a, nghĩa là cung có tang bằng a). Khi đó, nghiệm của phương trình \(tanx = a\) là \(x = arctana + kπ, k ∈ Z\).
Chú ý:
a. Phương trình \(tanx = tanα\), với α là một số cho trước, có các nghiệm là \(x = α + kπ, k ∈ Z\).
Tổng quát, \(tanf(x) = tang(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.\)
b. Phương trình \(tanx = tanβ^0\) có các nghiệm là \(x = β^0 + k180^0, k ∈ Z\).
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a. \(tanx = tan\frac{π}{5}\)
b. \(tan2x = -\frac{1}{3}\)
c. \(tan(3x + 15^0) = \sqrt{3}\)
Giải:
Câu a: \(tanx = tan\frac{π}{5} ⇔ x = \frac{π}{5} + kπ, k ∈ Z.\)
Câu b: \(tan2x = -\frac{1}{3} ⇔ 2x = arctan(-\frac{1}{3}) + kπ\)
\(⇔ x = \frac{1}{2}arctan(-\frac{1}{3}) + k\frac{π}{2}, k ∈ Z\)
Câu c: Vì \(\sqrt{3} = tan60^0\) nên \(tan(3x + 15^0) = \sqrt{3} ⇔ tan(3x + 15^0) = tan60^0\)
\(⇔ 3x + 15^0 = 60^0 + k180^0 ⇔ 3x = 45^0 + k180^0\)
\(⇔ x = 15^0 + k60^0, k ∈ Z.\)
Câu hỏi 5 bài 2 trang 24 SGK đại số & giải tích lớp 11: Giải các phương trình sau:
a. \(tanx = 1\)
b. \(tanx = -1\)
c. \(tanx = 0\)
Giải:
Câu a: \(tanx = 1\)
\(tanx = 1 ⇔ tan x = tan\frac{π}{4} ⇔ x = \frac{π}{4} + kπ, k ∈ Z\)
Câu b: \(tanx = -1\)
\(tan x = -1 ⇔ tan x = tan(-\frac{π}{4}) ⇔ x = -\frac{⇔}{4} + kπ, k ∈ Z\)
Câu c: \(tanx = 0\)
\(tan x = 0 ⇔ tan x = tan0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z\)
4. Phương trình cotx = a
Điều kiện của phương trình là \(x ≠ kπ, k ∈ Z.\)
Căn cứ vào đồ thị hàm số \(y = cotx\), ta thấy với mỗi số a, đường thẳng \(y = a\) cắt đồ thị hàm số \(y = cotx\) tại các điểm có hoặc độ sai khác nhau một bội của π (hình 17).
Hoành độ của mỗi giao điểm là một nghiệm của phương trình \(cotx = a\). Gọi \(x_1\) là hoành độ giao điểm \((cotx_1 = a)\) thỏa mãn điều kiện \(0 < x_1 < π\).
Kí hiệu \(x_1 = arccota\) (đọc là ac-côtang-a, nghĩa là cung có côtang bằng a). Khi đó, các nghiệm của phương trình \(cotx = a\) là \(x = arccota + kπ, k ∈ Z\).
Chú ý:
a. Phương trình \(cotx = cotα\), với α là một số cho trước, có các nghiệm là \(x = α + kπ, k ∈ Z\).
b. Phương trình \(cotx = cotβ^0\) có các nghiệm là \(x = β^0 + k180^0, k ∈ Z\).
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a. \(cot4x = cot\frac{2π}{7}\)
b. \(cot3x = -2\)
c. \(cot(2x – 10^0) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Giải:
a. \(cot4x = cot\frac{2π}{7} ⇔ 4x = \frac{2π}{7} + kπ ⇔ x = \frac{π}{14} + k\frac{π}{4}, k ∈ Z.\)
b. \(cot3x = -2 ⇔ 3x = arccot(-2) + kπ ⇔ x = \frac{1}{3}arccot(-2) + k\frac{π}{3}, k ∈ Z.\)
c. Vì \(\frac{1}{\sqrt{3}} = cot60^0\) nên
\(cot(2x – 10^0) = \frac{1}{\sqrt{3}} ⇔ cot(2x – 10^0) = cot60^0\)
\(⇔ 2x – 10 = 60^0 + k180^0\)
\(⇔ x = 35^0 + k90^0, k ∈ Z.\)
Câu hỏi 6 bài 2 trang 26 SGK đại số & giải tích lớp 11: Giải các phương trình sau:
a. \(cotx = 1\)
b. \(cotx = -1\)
c. \(cotx = 0\)
Giải:
Câu a: \(cotx = 1\)
\(cot x = 1 ⇔ cot x = cot\frac{π}{4} ⇔ x = \frac{π}{4} + kπ, k ∈ Z\)
Câu b: \(cotx = -1\)
\(cot x = -1 ⇔ cot x = cot(-\frac{π}{4}) ⇔ x = -\frac{π}{4} + kπ, k ∈ Z\)
Câu c: \(cotx = 0\)
\(cot x = 0 ⇔ cot x = cot\frac{π}{2} ⇔ x = \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\)
Ghi nhớ:
Mỗi phương trình
\(sinx = a (|a| ≤ 1); cosx = a (|a| ≤ 1); tanx = a; cotx = a\) có vô số nghiệm,
Giải các phương trình trên là tìm tất cả các nghiệm của chúng.
Bài Tập SGK Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản thuộc Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 28 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(sin(x + 2) = \frac{1}{3}\)
b. \(sin3x = 1\)
c. \(sin(\frac{2x}{3} – \frac{π}{3}) = 0\)
d. \(sin(2x + 20^0) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Bài Tập 2 Trang 28 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(y = sin3x\) và \(y = sinx\) bằng nhau?
Bài Tập 3 Trang 28 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(cos(x – 1) = \frac{2}{3}\)
b. \(cos3x = cos12^0\)
c. \(cos(\frac{3x}{2} – \frac{π}{4}) = -\frac{1}{2}\)
d. \(cos^22x = \frac{1}{4}\)
Bài Tập 4 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải phương trình \(\frac{2cos2x}{1 – sin2x} = 0\).
Bài Tập 5 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \((tanx – 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
b. \(cot(3x – 1) = -\sqrt{3}\)
c. \(cos2xtanx = 0\)
d. \(sin3xcotx = 0\)
Bài Tập 6 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số \(y = tan(\frac{π}{4} – x)\) và \(y = tan2x\) bằng nhau?
Bài Tập 7 Trang 29 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các phương trình sau:
a. \(sin3x – cos5x = 0\)
b. \(tan3xtanx = 1\)
Ở trên là nội dung Bài 2: Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Chương I: Hàm Số Lượng Giác Và Phương Trình Lượng Giác môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Qua bài học các bạn sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng gác cơ bản và công thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các bạn nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các bạn học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác. Chúc các bạn học tốt Toán Đại Số Vài Giải Tích Lớp 11.
Trả lời