Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm
Nội dung Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Mục tiêu của bài học giúp bạn hiểu được quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp. Hiểu được các tính chất của đạo hàm: Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số. Về kỹ năng giúp tính được đạo hàm của các hàm số đơn giản, nhơ và vận dụng nhanh các quy tắc tính đạo hàm. Phát triển kĩ năng hợp tác nhóm, kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, kĩ năng tính toán. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Đạo Hàm Của Một Số Hàm Số Thường Gặp
Câu hỏi 1 bài 2 trang 157 SGK đại số & giải tích lớp 11: Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \(y = x^3\) tại điểm x tùy ý.
Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = x^{100}\) tại điểm x.
Phương pháp giải:
– Tính Δy.
– Tính \(\mathop {\lim}\limits_{Δx→ 0}\frac{Δy}{Δx}\) suy ra đạo hàm.
Giải:
– Giả sử Δx là số gia của đối số tại \(x_0\) bất kì. Ta có:
\(Δy = f(x_0 + Δx) – f(x_0)\)
\(= (x_0 + Δx)^3 – x_0^3 = 3x_0^2Δx + 3x_0(Δx)^2 + (Δx)^3\)
\(⇒ y'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}(3x_0^2 + 3x_0Δx + (Δx)^2) = 3x_0^2\)
– Dự đoán đạo hàm của \(y = x^{100}\) tại điểm x là \(y = 100x^{99}\)
Việc tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa nói chung phức tạp. Đối với một số hàm số thường gặp, ta có những công thức cho phép tính một cách nhanh chóng đạo hàm của chúng tại một điểm.
Định lí 1: Hàm số \(y = x^n (n ∈ N, n > 1)\) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và \((x^n)’ = nx^{n – 1}\).
Chứng minh. Giả sử Δx là số gia của x, ta có:
\(Δy = (x + Δx)^n – x^n\)
\(= (x + Δx – x)[(x + Δx)^{n – 1} + (x + Δx)^{n – 2}x + … + (x + Δx)x^{n – 2} + x^{n – 1}]\)
\(= Δx[(x + Δx)^{n – 1} + (x + Δx)^{n – 2}x + … + (x + Δx)x^{n – 2} + x^{n – 1}]\)
\(\frac{Δy}{Δx} = (x + Δx)^{n – 1} + (x + Δx)^{n – 2}x + … + (x + Δx)x^{n – 2} + x^{n – 1}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = a^n = \underbrace{x^{n – 1} + x^{n – 1} + … + x^{n – 1}}_{n\,\,số\,\,hạng} = nx^{n – 1}\)
Vậy \((x^n)’ = nx^{n – 1}\)
Nhận xét
a. Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: \((c)’ = 0\)
b. Đạo hàm của hàm số \(y = x\) bằng 1: \((x)’ = 1\)
Câu hỏi 2 bài 2 trang 158 SGK đại số & giải tích lớp 11: Chứng minh các khẳng định trong nhận xét trên.
Giải:
a. Đạo hàm của hàm hằng bằng 0: \((c)’ = 0\).
Hàm hằng \(⇒ Δy = 0\)
\(⇒ \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = 0\)
b. Đạo hàm của hàm số \(y = x\) bằng 1: \((x)’ = 1\).
Theo định lí 1
\(y = x\) hay \(y = x^1 ⇒ y’ = (x^1)’ = 1.x^{1 – 1} = 1.x^0 = 1.1 = 1\)
Định lí 2: Hàm số \(y = \sqrt{x}\) có đạo hàm tại mọi x dương và \((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Chứng minh. Giải sử Δx là số gia của x dương sao cho \(x + Δx > 0\). Ta có
\(Δy = \sqrt{x + Δx} – \sqrt{x}\)
\(\frac{Δy}{Δx} = \frac{\sqrt{x + Δx} – \sqrt{x}}{Δx} = \frac{(\sqrt{x + Δx} – \sqrt{x})(\sqrt{x + Δx} + \sqrt{x})}{Δx(\sqrt{x + Δx} + \sqrt{x})}\)
\(= \frac{x + Δx – x}{Δx(\sqrt{x + Δx} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + Δx} + \sqrt{x}}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{1}{\sqrt{x + Δx} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt{x}\) là \(y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Câu hỏi 3 bài 2 trang 158 SGK đại số & giải tích lớp 11: Có thể trả lời ngay được không, nếu yêu cầu tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt{x}\) tại \(x = -3; x = 4\)?
Giải:
\(x = -3 < 0\) nên f(x) không có đạo hàm tại \(x = -3\)
x = 4, đạo hàm của f(x) là:
\(\frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)
II. Đạo Hàm Của Tổng, Hiệu, Tích, Thương
1. Định lí
Định lí 3: Giả sử \(u = u(x), v = v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
\((u + v)’ = u’ + v’ (1)\)
\((u – v)’ = u’ – v’ (2)\)
\((uv)’ = u’v + uv’ (3)\)
\((\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} (v = v(x) ≠ 0) (4)\)
Chứng minh. Ta chứng minh các công thức (1) và (2).
Xét hàm \(y = u + v\). Giả sử Δx là số gia của x. Ta có số gia tương ứng của u là Δu, của v là Δv và của \(y = u + v\) là \(Δy = [(u + Δu) + (v + Δv)] – (u + v) = Δu + Δv\).
Từ đó \(\frac{Δy}{Δx} = \frac{Δu + Δv}{Δx}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δu}{Δx} + \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δv}{Δx} = u’ + v’\)
Vậy \((u + v)’ = u’ + v’\)
Chứng minh tương tự, ta có \((u – v)’ = u’ – v’.\)
Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được
\((u_1 ± u_2 ± … ± u_n)’ = u’_1 ± u’_2 ± … ± u’_n.\)
Các công thức khác được chứng minh tương tự.
Câu hỏi 4 bài 2 trang 159 SGK đại số & giải tích lớp 11: Áp dụng các công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số \(y = 5x^3 – 2x^5; y = -x^3\sqrt{x}\)
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tính đạo hàm hàm \(y = x^n\) và hàm \(y = \sqrt{x}\)
Giải:
\((1) y’ = (5x^3 – 2x^5)’ = (5x^3)’ – (2x^5)’\)
\(= (5′.3x + 5(x^3)’) – (2′.5x^5 + 2.(x^5)’)\)
\(= (0.x^3 + 5.3x^2) – (0.x^5 + 2.5x^4)\)
\(= (0 + 15x^2) – (0 + 10x^4)\)
\(= 15x^2 – 10x^4\)
\((2) y’ = (-x^3\sqrt{x})’\)
\(= (-x^3)’.\sqrt{x} + (-x^3).(\sqrt{x})’\)
\(= -3x^2.\sqrt{x} – x^3.\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của hàm số \(y = x^2 – x^4 + \sqrt{x}\)
Giải: \((x^2 – x^4 + \sqrt{x})’ = 2x – 4x^3 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số \(y = x^3(\sqrt{x} – x^5)\)
Giải: Ta có:
\([x^3(\sqrt{x} – x^5)]’ = (x^3)'(\sqrt{x} – x^5) + x^3(\sqrt{x} – x^5)\)
\(= 3x^2(\sqrt{x} – x^5) + x^3(\frac{1}{2\sqrt{x}} – 5x^4)\)
\(= 3x^2\sqrt{x} + x^3(\frac{1}{2\sqrt{x}} – 8x^4)\)
2. Hệ quả
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì \((ku)’ = ku’\)
Hệ quả 2: \(\frac{1}{v}’ = -\frac{v’}{v^2} (v = v(x) ≠ 0)\)
Câu hỏi 5 bài 2 trang 160 SGK đại số & giải tích lớp 11: Hãy chứng minh các hệ quả trên và lấy ví dụ minh họa.
Giải:
Nếu k là một hằng số thì \((ku)’ = ku’\)
Thật vậy, ta có: \((ku)’ = k’u + ku’ = 0.u + ku’ = ku’\) (do đạo hàm của hàm hằng bằng 0)
Ví dụ: \((3x^2)’ = 3.(x^2)’ = 3.2x = 6x\)
\((\frac{1}{v})’ = -\frac{v’}{v^2} (v = v(x) ≠ 0)\)
Thật vậy, ta có:
\((\frac{1}{v})’ = \frac{1’v – 1.v’}{v^2} = \frac{0.v – v’}{v^2} = -\frac{v’}{v^2}\)
Ví dụ: \((\frac{1}{2x + 1})’ = -\frac{(2x + 1)’}{(2x + 1)^2} = -\frac{2}{(2x + 1)^2}\)
III. Đạo Hàm Của Hàm Hợp
1. Hàm hợp
Giả sử \(u = g(x)\) là hàm số của x, xác định trên khoảng (a; b) và lấy giá trị trên khoảng (c; d); y = f(u) là hàm số của u, xác định trên (c; d) và lấy giá trị trên R. Khi đó, ta lập một hàm số xác định trên (a; b) và lấy giá trị trên R theo quy tắc sau (hính 65):
\(x ↣ f(g(x))\)
Ta gọi hàm \(y = f(g(x))\) là hàm hợp của hàm \(y = f(u)\) với \(u = g(x)\).
Ví dụ 4. Hàm số \(y = (1 – x^3)^{10}\) là hàm hợp của hàm số \(y = u^{10}\) với \(u = 1 – x^3\).
Ví dụ 5. Hàm số \(y = sin(ωt + γ)\) là hàm hợp của hàm số \(y = sinu\) với \(u = ωt + γ; ω, γ\) là những hằng số.
Câu hỏi 6 bài 2 trang 161 SGK đại số & giải tích lớp 11: Hàm số \(y = \sqrt{x^2 + x + 1}\) là hàm hợp của các hàm số nào?
Giải:
Hàm số \(y = \sqrt{x^2 + x + 1}\) là hàm hợp của hàm số \(y = \sqrt{u}(u = x^2 + x + 1)\)
2. Đạo hàm của hàm hợp
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 4: Nếu hàm số \(u = g(x)\) có đạo hàm tại x là \(u’_x\) và hàm số \(y = f(u)\) có đạo hàm tại u là \(y’_u\) thì hàm hợp \(y = f(g(x))\) có đạo hàm tại x là \(y’_x = y’_u.u’_x\).
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của hàm số \(y = (1 – 2x)^3\)
Giải. Đặt \(u = 1 – 2x\) thì \(y = u^3, y’_u = 3u^2, u’_x = -2\)
theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:
\(y’_x = y’_u.u’_x = 3u^2.(-2) = -6u^2\)
Vậy \(y’_x = -6(1 – 2x)^2\)
Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{5}{3x – 4}\)
Giải: Đặt \(u = 3x – 4\) thì \(y = \frac{5}{u}\).
Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có
\(y’_x = y’_u.u’_x = -\frac{5}{u^2}.3 = \frac{-15}{(3x – 4)^2}\)
Bảng tóm tắt
\((u + v – w)’ = u’ + v’ – w’\)
\((ku)’ = ku’\) (k là hằng số) \((uv)’ = u’v + uv’\) \((\frac{u}{v})’ = \frac{u’v – uv’}{v^2}\) \((\frac{1}{v})’ = \frac{-v’}{v^2}\) \(y’_x = y’_u.u’_x\) |
Bài Tập SGK Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 162 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(\)\(y = 7 + x – x^2\) tại \(x_0 = 1\)
b. \(y = x^3 – 2x + 1\) tại \(x_0 = 2\)
Bài Tập 2 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y = 5x^2 – 4x^3 + 2x – 3\)
b. \(y = \frac{1}{4} – \frac{1}{3}x + x^2 – 0,5x^4\)
c. \(y = \frac{x^4}{2} – \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{5} – 1\)
d. \(y = 3x^5(8 – 3x^2)\)
Bài Tập 3 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y = (x^7 – 5x^2)^3\)
b. \(y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2)\)
c. \(y = \frac{2x}{x^2 – 1}\)
d. \(y = \frac{3 – 5x}{x^2 – x + 1}\)
e. \(y = (m + \frac{n}{x^2})^3\) (m, n là các hằng số)
Bài Tập 4 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y = x^2 – x\sqrt{x} + 1\)
b. \(y = \sqrt{2 – 5x – x^2}\)
c. \(y = \frac{x^3}{\sqrt{a^2 – x^2}}\) (a là hằng số)
d. \(y = \frac{1 + x}{\sqrt{1 – x}}\)
Bài Tập 5 Trang 163 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho \(y = x^3 – 3x^2 + 2\). Tìm x để:
a. \(y’ > 0\)
b. \(y’ < 3\)
Ở trên là nội dung Bài 2: Quy Tắc Tính Đạo Hàm thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài học ở trên giới thiệu đến các bạn công thức tính đạo hàm của các hàm số thường gặp và hàm hợp của chúng, các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời