Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng – Hình Học Lớp 10
Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
Nội dung Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng môn Hình Học Lớp 10. Giúp các bạn hiểu khái niệm góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ, các tính chất của tích vô hướng, biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Xác định được góc giữa hai vectơ; tích vô hướng của hai vectơ. Mời các bạn theo dõi nội dung ngay dưới đây.
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực \(\)\(\vec{F}\) tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường \(s = OO’\) thì công A của lực \(\vec{F}\) được tính theo công thức: \(A= |\vec{F}|.|\overrightarrow{OO’}|cosφ\) (hình 2.8) trong đó \(|\vec{F}|\) là cường độ của lực \(\vec{F}\) tính bằng Niutơn (viết tắt là N), \(|\overrightarrow{OO’}|\) là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OO’}\) tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{OO’}\) và \(\vec{F}\), còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J).
Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được gọi là tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{F}\) và \(\overrightarrow{OO’}\).
1. Định nghĩa
Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác vectơ \(\vec{0}\). Tích vô hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một số, kí hiệu là \(\vec{a}.\vec{b}\), được xác định bởi công thức sau: \(\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|cos(\vec{a}, \vec{b})\).
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng vectơ \(\vec{0}\) ta quy ước \(\vec{a}.\vec{b} = 0\).
Chú ý:
a. Với \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) khác vectơ \(\vec{0}\) ta có \(\vec{a}.\vec{b} = 0 ⇔ \vec{a} ⊥ \vec{b}\).
b. Khi \(\vec{a} = \vec{b}\) tích vô hướng \(\vec{a}.\vec{a}\) được kí hiệu là \(\vec{a}^2\) và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\vec{a}\).
Ta có \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|.|\vec{a}|cos0^0 = |\vec{a}|^2\).
Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH. Khi đó ta có (hình 2.9).
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = a.a.cos60^0 = \frac{1}{2}a^2\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB} = a.a.cos120^0 = -\frac{1}{2}a^2\)
\(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.a.cos90^0 = 0\)
2. Các tính chất của tích vô hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
Với ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) bất kì và mọi số k ta có:
\(\vec{a}.\vec{b} = \vec{b}.\vec{a}\) (tính chất giao hoán)
\(\vec{a}.(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}.\vec{b} + \vec{a}.\vec{c}\) (tính chất phân phối)
\((k\vec{a}).\vec{b} = k(\vec{a}.\vec{b}) = \vec{a}.(k\vec{b})\)
\(\vec{a}^2 ≥ 0, \vec{a}^2 = 0 ⇔ \vec{a} = \vec{0}\)
Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
\((\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2\vec{a}.\vec{b} + \vec{b}^2\)
\((\vec{a} – \vec{b})^2 = \vec{a}^2 – 2\vec{a}.\vec{b} + \vec{b}^2\)
\((\vec{a} + \vec{b}).(\vec{a} – \vec{b}) = \vec{a}^2 – \vec{b}^2\)
Câu hỏi 1 bài 2 trang 42 SGK hình học lớp 10: Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) đều khác vectơ \(\vec{0}\). Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ đó là số dương? Là số âm? Bằng 0?
Sử dụng công thức \(\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|.cos(\vec{a}, \vec{b})\)
Ta có:
\(\vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}|.|\vec{b}|.cos(\vec{a}, \vec{b})\)
\(|\vec{a}| > 0, |\vec{b}| > 0\)
\(- \vec{a}.\vec{b} > 0 ⇔ cos(\vec{a}, \vec{b}) > 0\)
\(⇔ (\vec{a}, \vec{b}) < 90^0\)
\(- \vec{a}.\vec{b} < 0 ⇔ cos(\vec{a}, \vec{b}) < 0\)
\(⇔ (\vec{a}, \vec{b}) > 90^0\)
\(\vec{a}.\vec{b} = 0 ⇔ cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0\)
\(⇔ (\vec{a}, \vec{b}) = 90^0\)
Vậy,
Tích vô hướng của hai vectơ là số dương khi góc giữa hai vectơ nhỏ hơn \(90^0\).
Tích vô hướng của hai vectơ là số âm khi góc giữa hai vectơ lớn hơn \(90^0\).
Tích vô hướng của hai vectơ bằng 0 khi góc giữa hai vectơ bằng \(90^0\).
Ứng dụng. Một xe goòng chuyển động từ A đến B dưới tác dụng của lực \(\vec{F}\). Lực \(\vec{F}\) tạo với hướng chuyển động một góc α, tức là \((\vec{F}, \overrightarrow{AB}) = α\) (hình 2.10).
Lực \(\vec{F}\) được phân tích thành hai thành phần \(\vec{F_1}\) và \(\vec{F_2}\) trong đó \(\vec{F_1}\) vuông góc với \(\overrightarrow{AB}\), còn \(\vec{F_2}\) là hình chiếu của \(\vec{F}\) lên đường thẳng AB. Ta có \(\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}\). Công A của lực \(\vec{F}\) là \(A = \vec{F}.\overrightarrow{AB} = (\vec{F_1} + \vec{F_2}).\overrightarrow{AB} = \vec{F_1}.\overrightarrow{AB} + \vec{F_2}.\overrightarrow{AB} = \vec{F_2}.\overrightarrow{AB}\).
Như vậy lực thành phần \(\vec{F_1}\) không làm cho xe goòng chuyển động nên không sinh công. Chỉ có thành phần \(\vec{F_2}\) của lực \(\vec{F}\) sinh công làm cho xe goòng chuyển động từ A đến B.
Công thức \(A = \vec{F}.\overrightarrow{AB}\) là công thức tính công của lực \(\vec{F}\) làm vật di chuyển từ A đến B mà ta đã biết trong vật lí.
3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng tọa độ \((O; \vec{i}, \vec{j})\), cho hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2), \vec{b} = (b_1; b_2)\). Khi đó tích vô hướng \(\vec{a}.\vec{b}\) là:
\(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2.\)
Thật vậy \(\vec{a}.\vec{b} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j}).(b_1\vec{i} + b_2\vec{j})\)
\(= a_1b_1\vec{i}^2 + a_2b_2\vec{j}^2 + a_1b_2.\vec{i}.\vec{j} + a_2b_1.\vec{j}.\vec{i}\)
Vì \(\vec{i}^2 = \vec{j}^2 = 1\) và \(\vec{i}.\vec{j} = \vec{j}.\vec{i} = 0\) nên suy ra: \(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2.\)
Nhận xét. Hai vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2), \vec{b} = (b_1; b_2)\) đều khác vectơ \(\vec{0}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a_1b_1 + a_2b_2 = 0\).
Câu hỏi 2 bài 2 trang 44 SGK hình học lớp 10: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm \(A(2; 4), B(1; 2), C(6; 2)\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB} ⊥ \overrightarrow{AC}\).
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\) theo công thức:
\(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\)
Kiểm tra tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0\), sử dụng công thức tính tích vô hướng: \(\vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\)
Giải:
\(\overrightarrow{AB} = (1 – 2; 2 – 4) = (-1; 2)\)
\(\overrightarrow{AC} = (6 – 2; 2 – 4) = (4; -2)\)
\(⇒ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(= (-1).4 + (-2).(-2)\)
\(= -4 + 4 = 0\)
\(⇒ \overrightarrow{AB} ⊥ \overrightarrow{AC}\)
4. Ứng dụng
a. Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ \(\vec{a} = (a_1; a_2)\) được tính theo công thức:
\(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)
Thật vậy, ta có \(|\vec{a}|^2 = \vec{a}^2 = \vec{a}.\vec{a} = a_1a_1 + a_2a_2 = a_1^2 + a_2^2.\)
Do đó \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)
b. Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu \(\vec{a} = (a_1; a_2)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2)\) đều khác \(\vec{0}\) thì ta có:
\(cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \frac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}.\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\)
Ví dụ. Cho \(\overrightarrow{OM} = (-2; -1), \overrightarrow{ON} = (3; -1)\)
Ta có \(cos\overrightarrow{MON} = cos(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}}{|\overrightarrow{OM}|.|\overrightarrow{ON}|} = \frac{-6 + 1}{\sqrt{5}.\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \((\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = 135^0\)
c. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\) được tính theo công thức:
\(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Thật vậy, vì \(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\) nên ta có
\(AB = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Ví dụ. Cho hai điểm \(M(-2; 2)\) và \(N(1; 1)\). Khi đó \(\overrightarrow{MN} = (3; -1)\) và khoảng cách MN là: \(|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}\).
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 2: Tích vô hướng của hai Vectơ thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng môn Hình Học Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\).
Bài Tập 2 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và biết \(OA = a, OB = b\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\) trong hai trường hợp:
a. Điểm O nằm ngoài đoạn AB
b. Điểm O nằm trong đoạn AB
Bài Tập 3 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính \(AB = 2R\). Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I.
a. Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
b. Hãy chứng minh kết quả câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R.
Bài Tập 4 Trang 45 SGK Hình Học Lớp 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \(A(1; 3), B(4; 2)\).
a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB.
b. Tính chu vi tam giác OAB.
c. Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.
Bài Tập 5 Trang 46 SGK Hình Học Lớp 10
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) trong các trường hợp sau:
a. \(\vec{a} = (2; -3), \vec{b} = (6; 4)\)
b. \(\vec{a} = (3; 2), \vec{b} = (5; -1)\)
c. \(\vec{a} = (-2; -2\sqrt{3}), \vec{b} = (3; \sqrt{3})\)
Bài Tập 6 Trang 46 SGK Hình Học Lớp 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm \(A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2)\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài Tập 7 Trang 46 SGK Hình Học Lớp 10
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm \(A(-2; 1)\). Gọi B là điểm đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.
Ở trên là nội dung Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ thuộc Chương II: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Và Ứng Dụng môn Hình Học Lớp 10. Qua bài học các bạn được biết đến khái niệm tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số. Chúc các bạn học tốt Hình Học Lớp 10.
Trả lời