Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Cấp Số Cộng
BNội dung Bài 3: Cấp Số Cộng thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Giúp các bạn nắm được khái niệm cấp số cộng, nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên. Về kỹ năng, biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng. Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu. Mời các bạn theo dõi ngay sau đây.
I. Định Nghĩa
Câu hỏi 1 bài 3 trang 93 SGK đại số & giải tích lớp 11: Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là \(\)\(-1, 3, 7, 11\).
Từ đó hãy chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy theo quy luật đó.
Giải:
Quan sát dãy số đã cho, lấy số sau trừ cho số trước và tìm quy luật.
Ta có:
\(3 = -1 + 4\)
\(7 = 3 + 4\)
\(11 = 7 + 4\)
Quy luật: kể từ số thứ 2, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.
Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó là: \(15; 19; 23; 27; 31\).
Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
\(u_{n + 1} = u_n + d\) với \(n ∈ N^*. (1)\)
Đặc biệt khi \(d = 0\) thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: \(1, -3, -7, -11, -15\).
Giải: Vì \(-3 = 1 + (-4); -11 = -7 + (-4); -7 = -3 + (-4); -15 = -11 + (-4)\) nên theo định nghĩa, dãy số \(1, -3, -7, -11, -15\) là một cấp số cộng với công sai \(d = -4\).
Câu hỏi 2 bài 3 trang 93 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho \((u_n)\) là một cấp số cộng có sáu số hạng với \(u_1 = -\frac{1}{3}, d = 3\). Viết dạng khai triển của nó.
Giải:
Tính từ số hạng của cấp số cộng và kết luận.
Sử dụng công thức \(u_{n + 1} = u_n + d\).
Ta có:
\(u_2 = u_1 + d = \frac{-1}{3} + 3 = \frac{8}{3}\)
\(u_3 = u_2 + d = \frac{8}{3} + 3 = \frac{17}{3}\)
\(u_4 = u_3 + d = \frac{17}{3} + 3 = \frac{26}{3}\)
\(u_5 = u_4 + d = \frac{26}{3} + 3 = \frac{35}{3}\)
\(u_6 = u_5 + d = u_5 + 3 = \frac{35}{3} + 3 = \frac{44}{3}\)
Dạng khai triển của cấp số cộng đó là: \(\frac{-1}{3}; \frac{8}{3}; \frac{17}{3}; \frac{26}{3}; \frac{35}{3}; \frac{44}{3}\)
II. Số Hạng Tổng Quát
Câu hỏi 3 bài 3 trang 94 SGK đại số & giải tích lớp 11: Mai và Hùng chơi trò xếp các que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện trên hình 42.
Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?
Giải:
Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế
Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2)
Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế ( 6 = 2 + 2.2)
Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)
Định lí 1:
Nếu câp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức: \(u_n = u_1 + (n – 1)d\) với \(n ≥ 2\). (2)
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh công thức (2) bằng quy nạp.
Khi \(n = 2\) thì \(u_2 = u_1 + d\), vậy công thức (2) đúng.
Giả sử công thức (2) đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là \(u_k = u_1 + (k – 1)d\).
Ta phải chứng minh rằng (2) cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là \(u_{k + 1} = u_1 + kd\).
Thật vậy, theo định nghĩa cấp số cộng và giả thiết quy nạp ta có \(u_{k + 1} = u_k + d = [u_1 + (k – 1)d] + d = u_1 + kd\).
Vậy \(u_n = u_1 + (n – 1)d\) với \(n ≥ 2\).
Ví dụ 2. Cho cấp số cộng \((u_n)\), biết \(u_1 = -5, d = 3\).
a. Tìm \(u_{15}\).
b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
c. Biểu diễn các số hạng \(u_1, u_1, u_3, u_4, u_5\) trên trục số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm \(u_2, u_3, u_4\) so với hai điểm liền kề.
Giải: Cấp số cộng có \(u_1 = -5, d = 3\).
a. Theo công thức (2) ta có \(u_{15} = -5 + (15 – 1).3 = 37\).
b. Theo công thức (2) ta có \(u_n = -5 + (n – 1).3\). Vì \(u_n = 100\) nên \(- 5 + (n – 1).3 = 100\), từ đó \(n = 36\).
c. Năm số hạng của cấp số cộng là \(-5, -2, 1, 4, 7\) được biểu diễn bởi các điểm \(u_1, u_2, u_3, u_4, u_5\) tương ứng trên hình 43.
Điểm \(u_3\) là trung điểm của đoạn \(u_2u_4\), hay \(u_3 = \frac{u_2 + u_4}{2}\).
Ta cũng có kết quả tương tự đối với \(u_2\) và \(u_4\).
Đây là một tính chất đặc trưng của cấp số cộng mà ta sẽ xét dưới đây.
III. Tính Chất Các Số Hạng Của Cấp Số Cộng
Định lí 2:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó, nghĩa là \(u_k = \frac{u_{k – 1} + u_{k + 1}}{2}\) với \(k ≥ 2\). (3)
Chứng minh. Giả sử \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai d. Sử dụng công thức (1) với \(k ≥ 2\), ta có \(u_{k – 1} = u_k – d; u_{k + 1} = u_k + d\).
Suy ra \(u_{k – 1} + u_{k + 1} = 2u_k\) hay \(u_k = \frac{u_{k – 1} + u_{k + 1}}{2}\).
IV. Tổng n Số Hạng Đầu Của Một Cấp Số Cộng
Câu hỏi 4 bài 3 trang 96 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cấp số cộng gồm tám số hạng -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:
-1 | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 | 23 | 27 |
a. Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.
b. Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.
Giải:
Câu a: Hãy chép lại bảng trên và viết các số hạng của cấp số đó vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng của các số hạng ở mỗi cột.
-1 | 3 | 7 | 11 | 15 | 19 | 23 | 27 |
27 | 23 | 19 | 15 | 11 | 7 | 3 | -1 |
Tổng các số hạng từng cột bằng nhau và bằng 26.
Câu b: Tính tổng các số hạng của cấp số cộng.
Tổng các số hạng của cấp số cộng là: \(\frac{26.8}{2} = 104\)
Ta công nhận định lí sau đây.
Định lí 3:
Cho cấp số cộng \((u_n)\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n.\)
Khi đó
\(S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\). (4)
Chú ý
Vì \(u_n = u_1 + (n – 1)d\) nên công thức (4) có thể viết \(S_n = nu_1 + \frac{n(n – 1)}{2}d\). (4′)
Ví dụ 3. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 3n – 1\).
a. Chứng minh dãy \((u_n)\) là cấp số cộng. Tìm \(u_1\) và \(d\).
b. Tính tổng của 50 số hạng đầu.
c. Biết \(S_n = 260\), tìm n.
Giải:
a. Vì \(u_n = 3n – 1\) nên \(u_1 = 2\).
Với \(n ≥ 1\), xét hiệu \(u_{n + 1} – u_n = 3(n + 1) – 1 – (3n – 1) = 3\), suy ra \(u_{n + 1} = u_n + 3\). Vậy \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 3\).
b. Vì \(u_1 = 2, d = 3, n = 50\) nên theo công thức (4′) ta có \(S_{50} = 50.2 + \frac{50.49}{2}.3 = 3775\).
c. Vì \(u_1 = 2, d = 3, S_n = 260\) nên theo công thức (4′) ta có \(S_n = n.2 + \frac{n(n – 1)}{2}.3 = 260\) hay \(3n^2 + n – 520 = 0\).
Giải phương trình bậc hai trên với \(n ∈ N^*\), ta tìm được \(n = 13\).
Bài Tập SGK Bài 3: Cấp Số Cộng
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 3: Cấp Số Cộng thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 97 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trong các dãy số \((u_n)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.
a. \(u_n = 5 – 2n\)
b. \(u_n = \frac{n}{2} – 1\)
c. \(u_n = 3^n\)
d. \(u_n = \frac{7 – 3n}{2}\)
Bài Tập 2 Trang 97 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
a. \(\begin{cases}u_1 – u_3 + u_5 = 10\\u_1 + u_6 = 17\end{cases}\)
b. \(\begin{cases}u_7 – u_3 = 8\\u_2.u_7 = 75\end{cases}\)
Bài Tập 3 Trang 97 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, d, n, u_n, S_n\).
a. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b. Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:
\(u_1\) | \(d\) | \(u_n\) | \(n\) | \(S_n\) |
-2 | 55 | 20 | ||
-4 | 15 | 120 | ||
3 | \(\frac{4}{27}\) | 7 | ||
17 | 12 | 72 | ||
2 | -5 | -205 |
Bài Tập 4 Trang 98 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm.
a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tuỳ ý so với mặt sân.
b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Bài Tập 5 Trang 98 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Ở trên là nội dung Bài 3: Cấp Số Cộng thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Qua bài học này cung cấp cho các bạn khái niệm cấp số cộng và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn dễ dàng làm chủ nội dung phần này. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời