Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Nội dung Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Ở bài học này các bạn cần nắm được đạo hàm của các hàm số lượng giác \(\)\(y = sinx; y = cosx; y = tanx\) và \(y = cotx\). Về kỹ năng giúp tính được đạo hàm của các hàm số lượng giác trong các trường hợp đơn giản. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
1. Giới hạn của \(\frac{sinx}{x}\)
Câu hỏi 1 bài 3 trang 163 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tính \(\frac{sin0,01}{0,01}, \frac{sin0,001}{0,001}\) bằng máy tính bỏ túi.
Giải:
\(\frac{sin0,01}{0,01} ≈ 0,999983\)
\(\frac{sin0,001}{0,001} ≈ 0,99999983\)
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 1:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{sinx}{x} = 1\)
Ví dụ 1: Tính \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{tanx}{x}\)
Giải: Ta có:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{tanx}{x} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0}(\frac{sinx}{x}.\frac{1}{cosx})
= \mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{sinx}{x}.\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{1}{cosx} = 1\)
Ví dụ 2: Tính \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{sin2x}{x}\)
Giải: \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{sin2x}{x} = \mathop {\lim}\limits_{x → 0}2(\frac{sin2x}{2x}) = 2\mathop {\lim}\limits_{x → 0}\frac{sin2x}{2x} = 2.1 = 2.\)
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Định lí 2
Hàm số \(y = sinx\) có đạo hàm tại mọi \(x ∈ R\) và \((sinx)’ = cosx\).
Chứng minh. Giả sử Δx là số gia của x. Ta có:
\(Δy = sin(x + Δx) – sinx = 2sin\frac{Δx}{2}.cos(x + \frac{Δx}{2})\)
\(\frac{Δy}{Δx} = 2cos(x + \frac{Δx}{2})\frac{sin\frac{Δx}{2}}{Δx} = cos(x + \frac{Δx}{2})\frac{sin\frac{Δx}{2}}{\frac{Δx}{2}}\)
\(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}cos(x + \frac{Δx}{2}).\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{sin\frac{Δx}{2}}{\frac{Δx}{2}}\)
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}(x + \frac{Δx}{2}) = cosx\) (do tính liên tục của hàm số \(y = cosx\)) và \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{sin\frac{Δx}{2}}{\frac{Δx}{2}} = 1\) nên \(\mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx} = 1.cosx = cosx\)
Vậy \(y’ = (sinx)’ = cosx\)
Chú ý: Nếu \(y = sinu\) và \(u = u(x)\) thì \((sinu)’ = u’.cosu\)
Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = sin(3x + \frac{π}{5})\)
Giải: Đặt \(u = 3x + \frac{π}{5}\) thì \(u’ = 3\) và \(y = sinu\).
Ta có \(y’ = u’cosu = 3cos(3x + \frac{π}{5})\)
3. Đạo hàm của hàm số y = cosx
Câu hỏi 2 bài 3 trang 165 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = sin(\frac{π}{2} – x)\)
Giải:
Cách 1: Chuyển \(sin(\frac{π}{2} – x)\) thành cosx rồi tính đạo hàm.
Ta có: \(sin(\frac{π}{2} – x) = cosx\) (do góc \(\frac{π}{2} – x\) và x phụ nhau)
\(⇒ y = sin(\frac{π}{2} – x) = cosx\)
\(⇒ y’ = cos’x = -sinx\)
Cách 2: Đặt \(u = \frac{π}{2}\) thì \(y = sinu\) và \(u’_x = -1; y’_u = sin’u = cosu\).
Áp dụng đạo hàm hàm hợp ta có:
\(y’ = y’_u.u’_x = cosu.(-1) = (-1).cos(\frac{π}{2} – x) = -sinx\)
(do \(cos(\frac{π}{2} – x) = sinx\))
Định lí 3:
Hàm số \(y = cosx\) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và \((cosx)’ = -sinx\).
Từ nhận xét \(cosx = sin(\frac{π}{2} – x)\) suy ra ngay điều phải chứng minh.
Chú ý: Nếu \(y = cosu\) và \(u = u(x)\) thì
\((cosu)’ = -u’.sinu\)
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = cos(x^3 – 1)\)
Giải: Đặt \(u = x^3 – 1\) thì \(u’ = 3x^2\) và \(y = cosu\)
Ta có: \(y’ = -u’sinu = -3x^2sin(x^3 – 1)\)
4. Đạo hàm của hàm số y = tanx
Câu hỏi 3 bài 3 trang 166 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tìm đạo hàm của hàm số \(f(x) = \frac{sinx}{cosx} (x ≠ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z)\)
Định lí 4: Hàm số \(y = tanx\) có đạo hàm tại mọi \(x ≠ \frac{π}{2} + kπ, k ∈ Z\) và \((tanx)’ = \frac{1}{cos^2x}\)
Áp dụng quy tác tính đạo hàm của một thương đối với hàm số \(tanx = \frac{sinx}{cosx}\), suy ra điều phải chứng minh.
Chú ý
Nếu \(y = tanu\) và \(u = u(x)\) thì ta có \((tanu)’ = \frac{u’}{cos^2u}\)
Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = tan(3x^2 + 5)\)
Giải: Đặt \(u = 3x^2 + 5\) thì \(u’ = 6x\) và \(y = tanu\).
Ta có: \(y’ = \frac{u’}{cos^2u} = \frac{6x}{cos^2(3x^2 + 5)}\)
5. Đạo hàm của hàm số y = cotx
Câu hỏi 4 bài 3 trang 167 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = tan(\frac{π}{2} – x)\) với \(x ≠ kπ, k ∈ Z\)
Giải:
Cách 1: Đưa về \(y = tan(\frac{π}{2} – x) = cotx\) rồi tính đạo hàm.
Vì \(\frac{π}{2} – x\) và x là hai góc phụ nhau nên \(tan(\frac{π}{2} – x) = cotx\)
\(⇒ y’ = tan'(\frac{π}{2} – x) = cot’x = \frac{-1}{sin^2x}\)
Cách 2: Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp với \(y = tanu; u = \frac{π}{2} – x\)
Đặt \(u = \frac{π}{2} – x\) thì \(y = tanu ⇒ y’ = tan’u.u’_x\)
Mà \(tan’u = \frac{1}{cos^2u}; u’_x = (\frac{π}{2} – x)’ = -1\)
\(⇒ y’ = \frac{1}{cos^2u}.(-1) = \frac{-1}{cos^2u} = \frac{-1}{cos^2(\frac{π}{2} – x)}\)
\(= \frac{-1}{sin^2x}\) (do \(cos(\frac{π}{2} – x) = sinx\))
Định lí 5: Hàm số \(y = cotx\) có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ, k ∈ Z và \((cotx’) = -\frac{1}{sin^2x}\)
Chú ý: Nếu \(y = cotu\) và \(u = u(x)\), ta có \((cotu)’ = -\frac{u’}{sin^2u}\)
Ví dụ 6: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = cot^3(3x – 1)\)
Giải: Đặt \(u = cot(3x – 1)\) thì \(y = u^3\)
Theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có
\(y’_x = y’_u.u’_x = 3u^2.u’_x\)
\(= 3cot^2(3x – 1)[cot(3x – 1)]’\)
\(= 3cot^2(3x – 1).\frac{-(3x – 1)’}{sin^2(3x – 1)}\)
\(= 3cot^2(3x – 1).\frac{-3}{sin^2(3x – 1)}\)
\(= -\frac{9cos^2(3x – 1)}{sin^4(3x – 1)}\)
Bảng Đào Hàm
\((x^n)’ = nx^{n – 1}\) \((\frac{1}{x})’ = -\frac{1}{x^2}\) \((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
\((u^n)’ = nu^{n – 1}.u’\) \((\frac{1}{u})’ = -\frac{u’}{u^2}\) \((\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}\) |
\((sinx)’ = cosx\) \((cosx)’ = -sinx\) \((tanx)’ = \frac{1}{cos^2x}\) \((cotx)’ = -\frac{1}{sin^2x}\) |
\((sinu)’ = u’.cosu\) \((cosu)’ = -u’.sinu\) \((tanu)’ = \frac{u’}{cos^2u}\) \((cotu)’ = -\frac{u’}{sin^2u}\) |
Bài Tập SGK Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Hướng dẫn giải bài tập sách giao Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y = \frac{x – 1}{5x – 2}\)
b. \(y = \frac{2x + 3}{7 – 3x}\)
c. \(y = \frac{x^2 + 2x + 3}{3 – 4x}\)
d. \(y = \frac{x^2 + 7x + 3}{x^2 – 3x}\)
Bài Tập 2 Trang 168 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải các bất phương trình sau:
a. \(y’ < 0\) với \(y = \frac{x^2 + x + 2}{x – 1}\)
b. \(y’ ≥ 0\) với \(y = \frac{x^2 + 3}{x + 1}\)
c. \(y’ > 0\) với \(y = \frac{2x – 1}{x^2 + x + 4}\)
Bài Tập 3 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y = 5sinx – 3cosx\)
b. \(y = \frac{sinx + cosx}{sinx – cosx}\)
c. \(y = xcotx\)
d. \(y = \frac{sinx}{x} + \frac{x}{sinx}\)
e. \(y = \sqrt{1 + 2tanx}\)
f. \(y = sin\sqrt{1 + x^2}\)
Bài Tập 4 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a. \(y = (9 – 2x)(2x^3 – 9x^2 + 1)\)
b. \(y = (6\sqrt{x} – \frac{1}{x^2})(7x – 3)\)
c. \(y = (x – 2)\sqrt{x^2 + 1}\)
d. \(y = tan^2x – cotx^2\)
e. \(y = cos\frac{x}{1 + x}\)
Bài Tập 5 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tính \(\frac{f'(1)}{φ'(1)}\), biết rằng \(f(x) = x^2\) và \(φ(x) = 4x + sin\frac{πx}{2}\).
Bài Tập 6 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:
a. \(y = sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x\)
b. \(y = cos^2(\frac{π}{3} – x) + cos^2(\frac{π}{3} + x) + cos^2(\frac{2π}{3} – x) + cos^2(\frac{2π}{3} + x) – 2sin^2x\)
Bài Tập 7 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:
a. \(f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x\)
b. \(f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos(\frac{2π + x}{2})\)
Bài Tập 8 Trang 169 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Giải bất phương trình \(f'(x) > g'(x)\), biết rằng:
a. \(f(x) = x^3 + x – \sqrt{2}, g(x) = 3x^2 + x + \sqrt{2}\)
b. \(f(x) = 2x^3 – x^2 + \sqrt{3}, g(x) = x^3 + \frac{x^2}{2} – \sqrt{3}\)
Ở trên là nội dung Bài 3: Đạo Hàm Của Hàm Số Lượng Giác thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Qua bài học các bạn được giới thiệu công thức tính đạo hàm của các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn hình thành và rèn luyện kĩ năng tính đạo hàm của các hàm số lượng giác. Chúc các bạn học tốt toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời