Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Nội dung Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Hình Học Lớp 11, bài học sẽ giới thiệu đến các bạn những Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng, đi sâu vào các dạng toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các bạn dễ dàng nắm được nội dung bài học.
I. Vị Trí Tương Đối Của Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp sau (Hình 2.39).
- d và (α) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (α) hay (α) song song với d và kí hiệu là d // (α) hay (α) // d.
- d và (α) có một điểm chung duy nhất M. Khi đó ta nói d và (α) cắt nhau tại điểm M và kí hiệu là d ∩ (a) = {M} hay d ∩ (a) = M.
- d và (α) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó, theo tính chất 3 $1, d nằm trong (α) hay (α) chứa d và kí hiệu d ⊂ (α) hay (α) ⊃ d.
Câu hỏi 1 bài 3 trang 60 SGK hình học lớp 11: Trong phòng học hãy quan sát hình ảnh của đường thẳng song song với mặt phẳng.
Giải: Học sinh tự quan sát.
II. Tính Chất
Để nhận biết đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) ta có thể căn cứ vào số giao điểm của chúng. Ngoài ra ta có thể dựa vào các dấu hiệu sau đây.
Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).
Chứng mình:
Gọi (β) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song d, d’.
Ta có (α) ∩ (β) = d’ (Hình 2.40).
Nếu d ∩ (α) = {M} thì M thuộc giao tuyến của (α) và (β) là d’ hay d ∩ d’ = {M}. Điều này mâu thuẩn với giả thiết d // d’.
Vậy d // (α).
Câu hỏi 2 bài 3 trang 61 SGK hình học lớp 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không?
Giải:
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD nên MN, NP, MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, ACD, ABD.
⇒ MN // BC, NP // CD, PM // BD
Mà BC, CD, BD thuộc (BCD)
MN, NP, PM không thuộc (BCD)
⇒ Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD).
Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a (Hình 2.41).
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng qua M và song song với các đường thẳng AB và CD. Xác định thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện ABCD. Thiết diện đó là hình gì?
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với AB nên (α) cắt mặt phẳng (ABC) (chứa AB) theo giao tuyến d đi qua M và song song với AB. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của d với AC và BC (Hình 2.42).
Mặt khác, (α) song song với CD nên (α) cắt (ACD) và (BCD) (là các mặt phẳng chứa CD) theo các giao tuyến EH và FG cùng song song với CD (H ∈ AD và G ∈ BD).
Ta có thiết diện là tứ giác EFGH. Hơn nữa ta có (α) // AB và (ABD) ∩ (α) = HG, từ đó suy ra HG // AB.
Tứ giác EFGH có EF // HG (// AB) và EH // FG (// CD) nên nó là hình bình hành.
Từ định lí 2 ta suy ra hệ quả sau.
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thắng đó (Hình 2.43).
Hai đường thẳng chéo nhau thì không thể cùng nằm trong một mặt phẳng. Tuy nhiên, ta có thể tìm được mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. Định lí sau đây thể hiện tính chất đó.
Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Chứng minh
Giả sử ta có hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Lấy điểm M bất kì thuộc a. Qua M kẻ đường thẳng b’ song song với b. Gọi (α) là mặt phẳng xác định bởi a và b’ (hình 2.44).
Ta có: b // b’ và b’ ⊂ (α), từ đó suy ra b // (α).
Hơn nữa (α) ⊃ a nên (α) là mặt phẳng cần tìm.
Ta chứng minh (α) là duy nhất. Thật vậy, nếu có một mặt phẳng (β) khác (α), chứa a và song song với b thì khi đó (α), (β) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với b nện giao tuyến của chúng là a, phải song song với b. Điều này mâu thuẫn với giả thiết a và b chéo nhau.
Tương tự ta có thể chứng minh có duy nhất một mặt phẳng chứa b và song song với a.
Bài Tập Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 63 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).
b. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).
Bài Tập 2 Trang 63 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy một điểm M. Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.
a. Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.
b. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?
Bài Tập 3 Trang 63 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
Lời Kết: Bài học sẽ giới thiệu đến các em những dạng toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Để học tốt hình học 11 chương II bài 3 đường thẳng và mặt phẳng song song mời các em xem nội dung tóm tắt bài học ở trên cùng với đó là lời giải chi tiết các bài tập trong sách giáo khoa.
Ở trên là nội dung Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Hình Học Lớp 11. Bài học sẽ giới thiệu đến các bạn những Vị trí tương đối của mặt phẳng và đường thẳng, đi sâu vào các dạng toán liên quan đến đường thẳng và mặt phẳng song song. Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài Tập Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài 5: Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian
- Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
- Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song
- Bài 1: Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Trả lời