Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn
Nội dung Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Các bạn cần nắm công thức nhị thức Niu-tơn. Hệ số của khai triển nhị thức Niu-tơn qua tam giác Pax-Can. Về kỹ năng triển khai thành thạo nhị thức niutơn với n xác định. Biết tính tổng nhờ công thức Niutơn. Sử dụng thành thạo tam giác Pascal để triển khai nhị thức Niutơn. Mời các bạn theo dõi nội dung ngay dưới đây.
I. Công Thức Nhị Thức Niu – Tơn
Ta có:
\(\)\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = C_2^0a^2 + C_2^1a^1b^1 + C_2^2b^2,\)\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = C_3^0a^3 + C_3^1a^2b^1 + C_3^2a^1b^2 + C_3^3b^3\)
Câu hỏi 1 bài 3 trang 55 SGK đại số & giải tích lớp 11: Khai triển biểu thức \((a + b)^4\) thành tổng các đơn thức.
Giải:
\((a + b)^4 = (a + b)^3(a + b)\)
\(= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)(a + b)\)
\(= a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3 + a^3b + 3a^2b^2 + 3ab^3 + b^4\)
\(= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)
Tổng quát, ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức \((a + b)^n\) thành tổng các đơn thức như sau:
\((a + b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n – 1}b + … + C_n^ka^{n – k}b^k + … + C_n^{n – 1}ab^{n – 1} + C_n^nb^n. (1)\)
Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn.
Hệ quả:
Với \(a = b = 1\), ta có \(2^n = C_n^0 + C_n^1 + … + C_n^n.\)
Với \(a = 1; b = -1\), ta có:
\(0 = C_n^0 – C_n^1 + … + (-1)^kC_n^k + … + (-1)^nC_n^k.\)
Chú ý:
Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1):
a. Số các hạng tử là n + 1.
b. Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c. Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
Ví dụ 1. Khai triển biểu thức \((x + y)^6\).
Giải: Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có
\((x + y)^6 = C_6^0x^6 + C_6^1x^5y + C_6^2x^4y^2 + C_6^3x^3y^3 + C_6^4x^3y^4 + C_6^5xy^5 + C_6^6y^6\)
\(= x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6\)
Ví dụ 2. Khai triển biểu thức \((2x – 3)^4\).
Giải: Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có:
\((2x – 3)^4 = C_4^0(2x)^4 + C_4^1(2x)^3(-3) + C_4^2(2x)^2(-3)^2 + C_4^32x(-3)63 + C_4^4(-3)^4\)
\(= 16x^4 – 96x^3 + 216x^2 – 216x +81\)
Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng với \(n ≥ 4\), ta có
\(C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + … = C_n^1 + C_n^3 + … = 2^{n – 1}\)
Giải: Kí hiệu \(A = C_n^0 + C_n^2 + …\)
\(B = C_n^1 + C_n^3 + …\)
Theo hệ quả ta có \(2^n = A + b, 0 = A – B.\)
Từ đó suy ra \(A = B = 2^{n – 1}\)
II. Tam Giác Pa – Xcan
Trong công thức nhị thức Niu-tơn ở mục I, cho n – 0, 1,… và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan,
Nhận xét
Từ công thức \(C_n^k = C_{n – 1}^{k – 1} + C_{n – 1}^k\) suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó. Chẳng hạn \(C_n^2 = C_4^1 + C_4^2 = 4 + 6 = 10\)
Câu hỏi 2 bài 3 trang 57 SGK đại số & giải tích lớp 11: Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng:
a. \(1 + 2 + 3 + 4 = C_5^2\)
b. \(1 + 2 + … + 7 = C_8^2\)
Giải:
Câu a: \(1 + 2 + 3 + 4 = C_5^2\)
Dựa vào tam giác Pa-xcan:
\(C_4^1 = 4; C_4^2 = 6\)
\(C_5^2 = C_4^1 + C_4^2 = 4 + 6 = 10\)
Mà \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\)
\(⇒ 1 + 2 + 3 + 4 = C_5^2\)
Câu b: \(1 + 2 + … + 7 = C_8^2\)
Dựa vào tam giác Pa-xcan:
\(C_7^1 = 7; C_7^2 = 21\)
\(C_8^2 = C_7^1 + C_7^2 = 7 + 21 = 28\)
\(1 + 2 + … + 7 = \frac{((1 + 7).7)}{2} = 28\)
\(⇒ 1 + 2 + … + 7 = C_8^2\)
Bài Tập SGK Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 57 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:
a. \((a + 2b)^2\)
b. \((a – \sqrt{2})^6\)
c. \((x – \frac{1}{x})^{13}\)
Bài Tập 2 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm hệ số của x^3 trong khai triển của biểu thức: \((x + \frac{2}{x^2})^6\).
Bài Tập 3 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 – 3x)^n\) là \(90\). Tìm n.
Bài Tập 4 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \((x^3 + \frac{1}{x})^8\).
Bài Tập 5 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Từ khai triển biểu thức \((3x – 4)^{17}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thứ nhận được.
Bài Tập 6 Trang 58 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng:
a. \(11^{10} – 1\) chia hết cho 100
b. \(101^{100} – 1\) chia hết cho 10000
c. \(\sqrt{10}[(1 + \sqrt{10})^{100} – (1 – \sqrt{10})^{100}]\) là một số nguyên.
Lử trên là nội dung Bài 3: Nhị Thức Niu – Tơn thuộc Chương II: Tổ Hợp – Xác Suất môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài học giới thiệu đến các bạn khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng toán liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các bạn làm chủ nội dung bài học. Chúc các bạn học tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời