Chương IV: Số Phức – Giải Tích Lớp 12
Bài 3: Phép Chia Số Phức
Ở bài học này các bạn sẽ được giới thiệu một phép toán tiếp theo trên tập số phức đó là phép chia hai số phức. Cách làm cụ thể và kiến thức sẽ được giải đáp qua các bài tập SGK dưới đây nhé.
1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Câu hỏi 1 bài 3 trang 138 sgk giải tích lớp 12: Cho \(\)\(z = 2 + 3i\). Hãy tính \(z + \overline{z}\) và \(z.\overline{z}\). Nêu nhận xét.
Giải: Tính \(\overline{z}\) rồi thực hiện các phép tính cộng, nhân số phức.
Ta có: \(z = 2 + 3i ⇒ \overline{z} = 2 – 3i\)
Khi đó \(z + \overline{z} = (2 + 3i) + (2 – 3i) = 2 + 3i + 2 – 3i = 4\)
\(z.\overline{z} = (2 + 3i)(2 – 3i) = 2^2 – (3i)^2 = 4 + 9 = 13\)
Nhận xét:
Tổng của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.
Tích của hai số phức liên hợp của nhau là một số thực.
Cho số phức \(z = a + bi\). Ta có
\(z + \overline{z} = (a + bi) + (a – bi) = 2a\)
\(z.\overline{z} = (a + bi)(a – bi) = a^2 – (bi)^2 = a^2 + b^2 = |z|^2\)
– Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.
– Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.
Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.
2. Phép chia hai số phức
Chia số phức \(c + di\) cho số phức \(a + bi\) khác 0 là tìm số phức z sao cho \(c + di = (a + bi)z\). Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là:
\(z = \frac{c + di}{a + bi}\)
Ví dụ 1: Thực hiện phép chia 4 + 2i cho 1 + i.
Giải: Giả sử \(z = \frac{4 + 2i}{1 + i}\). Theo định nghĩa, ta có \((1 + i)z = 4 + 2i\)
Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i, ta được
\((1 – i)(1 + i)z = (1 – i)(4 + 2i)\)
suy ra \(2.z = 6 – 2i\)
hay \(z = \frac{1}{2}(6 – 2i) = 3 – i\)
Vậy \(\frac{4 + 2i}{1 + i} = 3 – i\)
Tổng quát, giả sử \(z = \frac{c + di}{a + bi}\). Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có \((a + bi)z = c + di\).
Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được \((a – bi)(a + bi)z = (a – bi)(c + di)\)
hay \((a^2 + b^2)z = (ac + bd) + (ad – bc)i.\)
Nhân cả hai vế với số thực \(\frac{1}{a^2 + b^2}\), ta được
\(z = \frac{1}{a^2 + b^2}[(ac + bd) + (ad – bc)i]\)
Vậy \(\frac{c + di}{a + bi} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + \frac{ad – bc}{a^2 + b^2}i.\)
Chú Ý: Trong thực hành, để tính thương \(\frac{c + di}{a + bi}\), ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của \(a + bi\).
Ví dụ 2: Thực hiện phép chia 3 + 2i cho 2 + 3i.
Giải: \(\frac{3 + 2i}{2 + 3i} = \frac{(3 + 2i)(2 – 3i)}{(2 + 3i)(2 – 3i)}\)
\(= \frac{12 – 5i}{13} = \frac{12}{13} – \frac{5}{13}i\)
Câu hỏi 2 bài 3 trang 140 sgk giải tích lớp 12: Thực hiện các phép chia sau: \(\frac{1 + i}{2 – 3i}; \frac{6 + 3i}{5i}.\)
Giải: Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.
\(\frac{1 + i}{2 – 3i} = \frac{(1 + i)(2 + 3i)}{(2 – 3i)(2 + 3i)}\)
\(= \frac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{2^2 – 9i^2}\)
\(= \frac{2 + 5i – 3}{13} = \frac{-1}{13} + \frac{5i}{13}\)
\(\frac{6 + 3i}{5i} = \frac{(6 + 3i)(-5i)}{5i(-5i)}\)
\(= \frac{-30i – 15i^2}{-25i^2} = \frac{-30i + 15}{25}\)
\(= \frac{-6i + 3}{5}\)
Bài Tập Bài 3 Phép Chia Số Phức
Hướng Dẫn Giải Bài Tập SGK Bài 3 Phép Chia Số Phức Chương IV Số Phức Giải Tích Lớp 12. Bài Học Giúp Các Bạn Tìm Hiểu Tổng Và Tích Của Hai Số Phức Liên Hợp, Phép Chia Hai Số Phức.
Bài Tập 1 Trang 138 SGK Giải Tích Lớp 12
Thực hiện các phép chia sau:
a. \(\frac{2 + i}{3 – 2i}\).
b. \(\frac{1 + i\sqrt{2}}{2 + i\sqrt{3}}\).
c. \(\frac{5i}{2 – 3i}\).
d. \(\frac{5 – 2i}{i}\).
Bài Tập 2 Trang 138 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm nghịch đảo \(\frac{1}{z}\) của số phức z, biết:
a. \(z = 1 + 2i\);
b. \(z = \sqrt{2} – 3i\);
c. \(z = i\);
d. \(z = 5 + i\sqrt{3}\).
Bài Tập 3 Trang 138 SGK Giải Tích Lớp 12
Thực hiện các phép tính sau:
a. \(2i(3 + i)(2 + 4i)\)
b. \(\frac{(1 + i)^2(2i)^3}{-2 + i}\)
c. \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\)
d. \(4 – 3i + \frac{5 + 4i}{3 + 6i}\).
Bài Tập 4 Trang 138 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình sau:
a. \((3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\);
b. \((1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z\);
c. \(\frac{z}{4-3i} + (2 – 3i) = 5 – 2i\).
Trên Là Lý Thuyết Nội Dung Bài 3 Phép Chia Số Phức Chương IV Số Phức Giải Tích Lớp 12. Bài Học Giúp Các Bạn Tìm Hiểu Tổng Và Tích Của Hai Số Phức Liên Hợp, Phép Chia Hai Số Phức.
Trả lời