Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Phương Trình Đường Elip
Nội dung Bài 3: Phương Trình Đường Elip thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 10. Các bạn được biết về định nghĩa elip, phương trình chính tắc, hình dạng (E). Từ phương trình chính tắc của (E) xác định được các yếu tố trong (E). Lập được phương trình chính tắc của (E) trong trường hợp cơ bản. Xác định được giao điểm của (E) với các trục toạ độ. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
1. Định nghĩa đường elip
Câu hỏi 1 bài 3 trang 85 SGK hình học lớp 10: Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng (hình 3.18a). Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải là đường tròn hay không?
Giải:
Đường được đánh dấu bởi mũ tên không phải là đường tròn.
Câu hỏi 2 bài 3 trang 85 SGK hình học lớp 10: Hãy cho biết bóng của một đường tròn trên một mặt phẳng (hình 3.18b) có phải là một đường tròn hay không?
Giải:
Bóng của đường tròn trên mặt phẳng không phải là đường tròn.
Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \(\)\(F_1\) và \(F_2\) (Hình 3.19). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn \(2F_1F_2\). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Đặt đầu bút chì tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút thì vạch nên một đường ma ta gọi là đương elip.
Định nghĩa
Cho hai điểm cố định \(F_1, F_2\) và một độ dài không đổi 2a lớn hơn \(F_1F_2\). Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(F_1M + F_2M = 2a\).
Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài \(F_1F_2 = 2c\) gọi là tiêu cự của elip.
2. Phương trình chính tắc của elip
Cho elip (E) có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\). Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi \(F_1M + F_1M = 2a\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(F_1 = (-c; 0)\) và \(F_2 = (c; 0)\). Khi đó người ta chứng minh được:
\(M(x; y) ∈ (E) ⇔ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (1)\)
trong đó \(b^2 = a^2 – c^2\).
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip.
Câu hỏi 3 bài 3 trang 86 SGK hình học lớp 10: Trong phương trình (1) hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được \(b^2 = a^2 – c^2\).
Giải:
– Tìm tọa độ \(B_2\).
– Sử dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác kết hợp điều kiện điểm thuộc elip để suy ra điều phải chứng minh.
Do \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\) nên \(OF_1 = OF_2 = c\)
\(B_1(0; -b), B_2(0; b)\)
\(⇒ B_2F_1 = B_2F_2 = \sqrt{b^2 + c^2}\)
Do \(B_2\) thuộc elip nên:
\(B_2F_1 + B_2F_2 = 2a ⇒ 2\sqrt{b^2 + c^2} = 2a\)
\(⇒ b^2 + c^2 = a^2 ⇔ b^2 = a^2 – c^2\)
3. Hình dạng của elip
Xét elip (E) có phương trình (1):
a. Nếu điểm \(M(x; y)\) thuộc (E) thì các điểm \(M_1(-x; y), M_2(x; -y)\) và \(M_3(-x; -y)\) cũng thuộc (E) (Hình 3.21).
Vậy (E) có các trục đối xứng là \(Ox, Oy\) và có tâm đối xứng là gốc O.
b. Thay \(y = 0\) vào (1) ta có \(x = ±a\), suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\). Tương tự thay \(x = 0\) vào (1) ta được \(y = ±b\), vậy (E) cắt Oy tại hai điểm \(B_1(0; -b)\) và \(B_2(0; b)\).
Các điểm \(A_1, A_2, B_1\) và \(B_2\) gọi là các đỉnh của elip.
Đoạn thẳng \(A_1A_2\) gọi là trục lớn, đoạn thẳng \(B_1B_2\) gọi là trục nhỏ của elip.
Ví dụ: Elip \((E): \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1\) có các đỉnh là \(A_1(-3; 0), A_2(3; 0), B_1(0; -1), B_2(0; 1)\) và \(A_1A_2 = 6\) là trục lớn còn \(B_1B_2 = 2\) là trục nhỏ.
Câu hỏi 4 bài 3 trang 87 SGK hình học lớp 10: Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và vẽ hình elip trong ví dụ trên.
Giải:
\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1\)
\(a^2 = 9; b^2 = 1 ⇒ c = \sqrt{a^2 – b^2} = 2\sqrt{2}\)
\(⇒ \begin{cases}F_1(-2\sqrt{2}; 0)\\F_2(2\sqrt{2}; 0)\end{cases}\)
4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip
a. Từ hệ thức \(b^2 = a^2 – c^2\) ta thấy nếu tiêu cự của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
b. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình \(x^2 + y^2 = a^2\).
Với mỗi điểm \(M(x; y)\) thuộc đường tròn ta xét điểm \(M'(x’; y’)\) sao cho \(\begin{cases}x’ = x\\y’ = \frac{b}{a}y\end{cases}\) (với \(0 < b < a\)) hình 3.22 thì tập hợp các điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình \(\frac{x’^2}{a^2} + \frac{y’^2}{b^2} = 1\) là một elip (E).
Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).
Bài Tập SGK Bài 3: Phương Trình Đường Elip
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 3: Phương Trình Đường Elip thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:
a. \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
b. \(4x^2 + 9y^2 = 1\)
c. \(4x^2 + 9y^2 = 36\)
Bài Tập 2 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Lập phương trình chính tắc của elip, biết
a. Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6
b. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
Bài Tập 3 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a. Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N(3; -\frac{12}{5})\)
b. Elip có một tiêu điểm là \(F_1(-\sqrt{3}; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.
Bài Tập 4 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái định cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Bài Tập 5 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hai đường tròn \(C_1(F_1; R_1)\) và \(C_2(F_2; R_2)\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1 ≠ F_2\). Đường tròn \(C\) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\). Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \(C\) di động trên một elip.
Ở trên là nội dung Bài 3: Phương Trình Đường Elip thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 10. Qua bài học này các bạn sẽ được học về khái niệm. Phương trình đường elip. Với bài học này, các bạn sẽ hiểu khái niệm về phương trình chính tắc của đường elip, hình dạng một elip và liên hệ giữa đường tròn và đường elip. Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời