Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 4: Cấp Số Nhân
Nội dung Bài 4: Cấp Số Nhân thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Qua bài học này các bạn cần nắm vững khái niệm cấp số nhân, tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát của một cấp số nhân, nắm vững công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Định Nghĩa
Câu hỏi 1 bài 4 trang 98 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tuỳ theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hại hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng. Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.
Giải:
Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu là: \(\)\(1; 2; 4; 8; 16; 32\)
Định nghĩa:
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số 4 được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu \((u_n)\) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
\(u_{n + 1} = u_n.q\) với \(n ∈ N^*. (1)\)
Đặc biệt:
- Khi \(q = 0\), cấp số nhân có dạng \(u_1, 0, 0, …, 0,…\)
- Khi \(q = 1\), cấp số nhân có dạng \(u_1, u_1, u_1, …, u_1,…\)
- Khi \(u_1 = 0\) thì với mọi q, cấp số nhân có dạng \(0, 0, 0,…, 0,…\)
Ví dụ 1: Chứng minh dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân:
\(-4, 1, -\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{64}.\)
Giải:
Vì \(1 = (-4).(-\frac{1}{4}); -\frac{1}{4} = 1.(-\frac{1}{4}); \frac{1}{6} = (-\frac{1}{4}).(-\frac{1}{4}); -\frac{1}{64} = \frac{1}{16}.(-\frac{1}{4})\)
nên dãy số \(-4, 1, -\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{64}\) là một cấp số nhân với công bội \(q = -\frac{1}{4}.\)
II. Số Hạng Tổng Quát
Câu hỏi 2 bài 4 trang 99 SGK đại số & giải tích lớp 11: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt hóc?
Giải:
Từ câu hỏi 1 ta thấy:
Ô thứ 1 có \(1 = 2^0 = 2^{1 – 1}\) hạt thóc.
Ô thứ 2 có \(2 = 2^1 = 2^{2 – 1}\) hạt thóc.
Ô thứ 3 có \(4 = 2^2 = 2^{3 – 1}\) hạt thóc.
Ô thứ 4 có \(8 = 2^3 = 2^{4 – 1}\) hạt thóc.
Ô thứ 5 có \(16 = 2^4 = 2^{5 – 1}\) hạt thóc.
…
Tổng quát: Ô thứ n có \(2^{n – 1}\) hạt thóc.
Ô thứ 11 có: \(2^{11 – 1} = 2^{10} = 1024\) hạt thóc
Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng minh được định lí sau đây.
Định lí 1:
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội q thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác đinh bởi công thức \(u_n = u_1.q^{n – 1}\) với \(n ≥ 2\). (2)
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân \((u_n)\) với \(u_1 = 3, q = -\frac{1}{2}\).
a. Tính \(u_7\).
b. Hỏi \(\frac{3}{256}\) là số hạng thứ mấy?
Giải:
Câu a: Áp dụng công thức (2), ta có \(u_7 = u_1.q^6 = 3.(-\frac{1}{2})^6 = \frac{3}{64}\).
Câu b: Theo công thức (2), ta có \(u_n = 3.(-\frac{1}{2})^{n – 1} = \frac{3}{256} ⇔ (-\frac{1}{2})^{n – 1} = \frac{1}{256} = (-\frac{1}{2})^8\).
Suy ra \(n – 1 = 8\) hay \(n = 9\).
Vậy số \(\frac{3}{256}\) là số hạng thứ chín.
Ví dụ 3: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần.
a. Hỏi một tế bào sau mười lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?
b. Nếu có 10^5 tế bào thì sau hai giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Giải:
Câu a: Vì ban đầu có một tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với \(u_1, q = 2\) và \(u_{11}\) là số tế bào nhận được sau mười lần phân chia. Vậy sai 10 lần phân chia, số tế bào nhận được là \(u_{11} = 1.2^{11 – 1} = 2^{10} = 1014\).
Câu b: Vì ban đầu có \(10^5\) tế bào và mỗi lần một tế bào phân chia thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với \(u_1 = 10^5, q = 2\). Vì cứ 20 phút lại phân đôi một lần nên sau hai giờ sẽ có 6 lần phân chia tế bào và \(u_7\) là số tế bào nhận được sau hai giờ. Vậy số tế bào nhận được sau hai giờ phân chia là \(u_7 = 10^5.2^{7 – 1} = 10^5.2^6 = 6.400.000\).
III. Tính Chất Các Số Hạng Của Cấp Số Nhân
Câu hỏi 3 bài 4 trang 101 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho cấp số nhân \((u_n)\) với \(u_1 = -2\) và \(q = -\frac{1}{2}\).
a. Viết năm số hạng đầu của nó.
b. So sánh \(u_2^2\) với tích \(u_1.u_3\) và \(u_3^2\) với tích \(u_2.u_4\).
Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.
Giải:
Câu a: Viết năm số hạng đầu của nó.
\(u_1 = -2\)
\(u_2 = u_1.q = -2.\frac{-1}{2} = 1\)
\(u_3 = u_2.q = 1.\frac{-1}{2} = \frac{-1}{2}\)
\(u_4 = u_3.q = \frac{-1}{2}.\frac{-1}{2} = \frac{1}{4}\)
\(u_5 = u_4.q = \frac{1}{4}.\frac{-1}{2} = \frac{-1}{8}\)
Câu b: So sánh \(u_2^2\) với tích \(u_1.u_3\) và \(u_3^2\) với tích \(u_2.u_4\).
Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.
\(u_2^2 = 1^2 = 1\)
\(u_1.u_3 = u_1.q = -2.\frac{-1}{2} = 1\)
\(⇒ u_2^2 = u_1.u_3\)
\(u_3^2 = (\frac{-1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(u_2.u_4 = 1.\frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)
\(⇒ u_3^2 = u_2.u_4\)
Do đó: \(u_k^2 = u_{k – 1}.u_{k +1}; k ≥ 2\).
Định lí 2:
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là \(u_k^2 = u_{k – 1}.u_{k + 1}\) với \(k ≥ 2\) (3) (hay \(|u_k| = \sqrt{u_{k – 1}.u_{k + 1}}\)).
Chứng minh. Sử dụng công thức (2) với \(k ≥ 2\), ta có \(u_{k – 1} = u_1.q^{k – 2}; u_{k + 1} = u_1.q^k\).
Suy ra \(u_{k – 1}.u_{k + 1} = u_1^2q^{2k – 2} = (u_1q^{k – 1})^2 = u_k^2\).
IV. Tổng n Số Hạng Đầu Của Một Cấp Số Nhân
Câu hỏi 4 bài 4 trang 101 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tính tổng số các hạt thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1.
Giải:
Nhân cả tổng S cần tính với 2 rồi lấy \(2S – S\), thu gọn ta được kết quả.
Ta có:
\(u_1 = 1\)
\(u_2 = 2\)
\(u_3 = 2^2\)
\(…\)
\(u_{11} = 2^{10}\)
\(⇒ S = u_1 + u_2 + … + u_{10} = 1 + 2 + 2^2 +… + 2^{10}\)
\(⇒ 2S = 2 + 2^2 + … + 2^{10} + 2^{11}\)
\(⇒ 2S – S = (2 + 2^2 + … + 2^{10} + 2^{11}) – (1 + 2 + 2^2 + … + 2^{10})\)
\(⇒ S = 2^{11} – 1 = 2047\)
Cách tổng quát:
Ta có:
\(S = u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5 + u_6 + u_7 + u_8 + u_9 + u_{10} + u_{11}\)
\(= u_1 + u_1.q + u_1.q^2 + … + u_1.q^9 + u_1.q^{10} (1)\)
\(⇒ S.q = u_1.q + u_1.q^2 + … + u_1.q^9 + u_1.q^{10} + u_1.q^{11} (2)\)
Lấy (1) trừ (2), ta được:
\((1 – q)S = u_1(1 – ^{11})\)
\(⇒ S = \frac{u_1(1 – q^{11})}{1 – q}\)
Do đó tổng số hạt thóc của 11 ô đầu là \(S = \frac{1(1 – 2^{11})}{1 – 2} = 2^{11} – 1 = 2047\)
Cấp số nhân \((u_n)\) có công bội q có thể viết dưới dạng \(u_1, u_1q, u_1q^2,…, u_1q^{n – 1},…\)
Khi đó \(S_n = u_1 + u_2 + …. + u_n = u_1 + u_1q + u_1q^2 + … + u_1q^{n – 1} (4)\)
Nhân hai vế của (4) với q, ta được
\(q.S_n = u_1q + u_1q^2 + u_1q^3 + … + u_1q^n (5)\)
Trừ từng vế tương ứng của các đẳng thức (4) và (5), ta được \((1 – q)S_n = u_1(1 – q^n)\).
Ta có định lí sau đây.
Định lí 3:
Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q ≠ 1\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + … + u_n\).
Khi đó \(S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q} (6)\)
Chú ý: Nếu \(q = 1\) thì cấp số nhân là \(u_1, u_1, u_1,… u_1,…\) Khi đó \(S_n = n.u_1\).
Ví dụ 4: Cho cấp số nhân \((u_n)\), biết \(u_1 = 2, u_3 = 18\). Tính tổng của mười số hạng đầu tiên.
Giải: Theo giả thiết, \(u_1 = 2, u_3 = 18\). Ta có
\(u_3 = u_1.q^2 ⇒ 2.q^2 = 18 ⇒ q = ± 3.\)
Vậy có hai trường hợp:
- \(q = 3\), ta có \(S_{10} = \frac{2(1 – 3^{10})}{1 – 3} = 59048\)
- \(q = -3\), ta có \(S_{10} = \frac{2[1 – (-3)^{10}]}{1 – (-3)} = -29524\)
Câu hỏi 5 bài 4 trang 102 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tính tổng \(S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + … + \frac{1}{3^n}.\)
Giải: Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân: \(S_n = \frac{u_1(1 – q^n)}{1 – q}\).
Cấp số nhân có: \(u_1 = 1, q = \frac{1}{3}\)
S là tổng của \(n + 1\) số hạng đầu tiên
\(⇒ S = \frac{u_1(1 – q^{n + 1})}{1 – q} = \frac{1.[1 – (\frac{1}{3})^{n + 1}]}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}[1 – (\frac{1}{3})^{n + 1}]\)
Cách giải khác:
Ta có: \(S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} +… +\frac{1}{3^n}\)
\(⇒ 3S = 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + … + \frac{1}{3^{n – 1}}\)
\(⇒ 3S = 3 + S – \frac{1}{3^n}\)
\(⇒ 2S = 3 – \frac{1}{3^n}\)
\(⇒ S = \frac{1}{2}(3 – \frac{1}{3^n}) = \frac{3}{2}(1 – \frac{1}{3^{n + 1}})\)
Bài Tập SGK Bài 4: Cấp Số Nhân
Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa Bài 4: Cấp Số Nhân thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 103 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh các dãy số \((\frac{3}{5}.2^n), (\frac{5}{2^n}), ((-\frac{1}{2})^n)\) là các cấp số nhân.
Bài Tập 2 Trang 103 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội q.
a. Biết \(u_1 = 2, u_6 = 486\). Tìm q.
b. Biết \(q = \frac{2}{3}, u_4 = \frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\).
c. Biết \(u_1 = 3, q = -2\). Hỏi 192 là số hạng thứ mấy?
Bài Tập 3 Trang 103 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:
a. \(u_3 = 3\) và \(u_5 = 27\)
b. \(u_4 – u_2 = 25\) và \(u_3 – u_1 = 50\).
Bài Tập 4 Trang 104 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.
Bài Tập 5 Trang 104 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tỉ lệ tăng dần số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Bài Tập 6 Trang 104 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(C_2\) (hình 44). Từ hình vuông \(C_2\) lại làm tiếp như trên để được hình vuông \(C_3\),… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được dãy các hình vuông \(C_1, C_2, C_3,… C_n,…\)
Gọi \(a_n\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy số \((a_n)\) là một cấp số nhân.
Ở trên là nội dung Bài 4: Cấp Số Nhân thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Qua bài học này các bạn sẽ được làm quen các khái niệm cấp số nhân và các dạng toán liên quan, cùng với những ví dụ minh họa có hướng dẫn giúp các bạn dễ dàng làm chủ được nội dung bài học. Chúc các bạn học tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời