Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 4: Đường Tiệm Cận
Nội dung Bài 4: Đường Tiệm Cận thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn nắm được khái niệm tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số, kèm theo đó là bài tập cũng như ví dụ minh họa sẽ giúp các em giải nhiều dạng toán liên quan nhé.
I. Đường Tiệm Cận Ngang
Câu hỏi 1 bài 4 trang 27 SGK giải tích lớp 12: Cho hàm số \(\)\(y = \frac{2 – x}{x – 1}\) (Hình 16). Nêu nhận xét về vị trí các đường thẳng \(y = -1\) và \(x = 1\) so với đồ thị của hàm số.
Giải: Đang cập nhật
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số \(f(x) = \frac{1}{x} + 2. g(x) = 2\)
Nêu nhận xét về đồ thị của hai hàm số đó và các giới hạn.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}[f(x) – g(x)], \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}[f(x) – g(x)]\)
Giải: Tinh tiến đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{x}\) song song với trục Oy lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x} + 2\).
Kí hiệu M, M’ lần lượt là các điểm thuộc đồ thị của \(f(x) = \frac{1}{x} + 2\) và \(g(x) = 2\) có cùng hoành độ x (Hình 17). Khi |x| càng lớn thì các điểm M, M’ trên các đồ thị càng gần nhau.
Ta có: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}[f(x) – g(x)] = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}[(\frac{1}{2} + 2) – 2] = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}\frac{1}{x} = 0\)
Tương tự, \(\mathop {\lim}\limits_{x → -∞}[f(x) – g(x)] = 0\)
Do đó: \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}[f(x) – g(x)] = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}[f(x) – g(x)] = 0\)
Chú ý: Nếu \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → -∞}f(x) = l\), ta viết chung là \(\mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}f(x) = l\).
Trong ví dụ 1, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đường hypebol \(y = \frac{1}{x} + 2\).
Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + 1\) xác định trên khoảng \((0; +∞)\).
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\) vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → +∞}f(x) = \mathop {\lim}\limits_{x → +∞}(\frac{1}{\sqrt{x}} + 1) = 1\).
II. Đường Tiệm Cận Đứng
Câu hỏi 2 bài 4 trang 29 SGK giải tích lớp 12: Tính \(\mathop {\lim}\limits_{x → 0}(\frac{1}{x} + 2)\) và nêu nhận xét về khoảng cách MH khi x → 0 (Hình 17).
Giải:
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^+}(\frac{1}{x} + 2) = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → 0^-}(\frac{1}{x} + 2) = -∞\)
Khi x dần đến 0 thì độ dài đoạn MH dần tiến đến 0.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = +∞, \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = -∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → x_0^+}f(x) = -∞, \mathop {\lim}\limits_{x → x_0^-}f(x) = +∞\)
Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{x – 1}{x + 2}\).
Giải: Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → -2^+}\frac{x – 1}{x + 2} = -∞\) (hoặc \(\mathop {\lim}\limits_{x → -2^-}\frac{x – 1}{x + 2} = +∞\)) nên đường thẳng \(x = -2\) là tiệm cận đứng của (C).
Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}\frac{x – 1}{x + 2} = 1\) nên đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của (C).
Đồ thị của hàm số được cho trên hình 18.
Ví dụ 4: tìm tiệm cần đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x^2 + x + 1}{2x – 3}\).
Giải: Vì \(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{3}{2})^+}\frac{2x^2 + x + 1}{2x – 3} = +∞\) (hoặc \(\mathop {\lim}\limits_{x → (\frac{3}{2})^-}\frac{2x^2 + x + 1}{2x – 3}\)) nên đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Bài Tập Bài 4 Đường Tiệm Cận
Hướng dẫn giải bài tập Bài 4: Đường Tiệm Cận thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Chỉ với hai bài tập nhưng chúng ta có nhiều cách giải khác nhau, giúp các bạn có góc nhìn đa dạng và sáng tạo hơn.
Bài Tập 1 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a. \(y = \frac{x}{2 – x}\)
b. \(y = \frac{-x + 7}{x + 1}\)
c. \(y = \frac{2x – 5}{5x – 2}\)
d. \(y = \frac{7}{x} – 1\)
Bài Tập 2 Trang 30 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:
a. \(y = \frac{2 – x}{9 – x^2}\)
b. \(y = \frac{x^2 + x + 1}{3 – 2x – 5x^2}\)
c. \(y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x + 1}\)
d. \(y = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} – 1}\)
Ở trên là nội dung Bài 4: Đường Tiệm Cận thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn nắm khái niệm Tiệm cận của đồ thị hàm số, biết được các phương pháp tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thì hàm số, cùng với những ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn biết cách giải được hầu hết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập Trắc Nghiệm Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Ôn Tập Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
- Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
- Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Trả lời