Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
Nội dung Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Toán Hình Học Lớp 11, bài học giới thiệu đến các bạn các vị trí tương đối của hai mặt phẳng và những dạng bài tập liên quan đến Hai mặt phẳng song song. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các bạn dễ dàng nắm được nội dung bài học này.
I. Định Nghĩa
Hai mặt phẳng (α), (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
Khi đó ta kí hiệu (α) // (β) hay (β) // (α) (Hình 2.46)
Câu hỏi 1 bài 4 trang 64 SGK hình học lớp 11: Cho hai mặt phẳng song song (α) và (β). Đường thẳng d nằm trong (α) (Hình 2.47). Hỏi d và (β) có điểm chung không?
Giải:
Hai mặt phẳng song song (α) và (β) ⇒ (α) và (β) không có điểm chung
Đường thẳng d nằm trong (α) ⇒ Đường thẳng d không nằm trong (β)
Vậy d và (β) không có điểm chung.
II. Tính Chất
Định lí 1: Nêu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β).
Chứng minh:
Gọi M là giao điểm của a và b.
Vì (α) chứa a và a song song với (β) nên (α) và (β) là hai mặt phẳng phân biệt. Ta cần chứng minh (α) song song với (β).
Giả sử (α) và (β) không song song và cắt nhau theo giao tuyến c (Hình 2.48).
Ta có
\(\begin{cases}a // (β)\\(α) ⊃ a\\(α) ∩ (β) = c\end{cases} ⇒ c // a\)
\(\begin{cases}b // (β)\\(α) ⊃ b\\(α) ∩ (β) = c\end{cases} ⇒ c // b\)
Như vậy từ M ta kẻ được hai đường thẳng a, b cùng song song với c. Theo định lí 1, $2, điều này mâu thuẫn. Vậy (α) và (β) phải song song với nhau.
Câu hỏi 2 bài 4 trang 65 SGK hình học lớp 11: Cho tứ diện SABC. Hãy dựng mặt phẳng (α) qua trung điểm I của đoạn SA và song song với mặt phẳng (ABC).
Giải:
Mặt phẳng (α) là mặt phẳng đi qua 3 trung điểm I, K, L của SA, SB, SC.
Thật vậy, do I, K, L lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC nên IK, KL lần lượt là đường trung bình trong tam giác SAB và SBC.
IK // AB ∈ (ABC) ⇒ IK // (ABC)
KL // BC ∈ (ABC) ⇒ KL // (ABC)
IK và KL cắt nhau và cùng song song với mp (ABC)
⇒ Mặt phẳng chứa IK và KL song song với mp(ABC) hay (α) // (ABC).
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi \(G_1, G_2, G_3\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh mặt phẳng \((G_1G_2G_3)\) song song với mặt phẳng (BCD).
Giải:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB (Hình 2.49). Ta có:
\(M ∈ AG_1\) và \(\frac{AG_1}{AM} = \frac{2}{3}\)
\(N ∈ AG_2\) và \(\frac{AG_2}{AN} = \frac{2}{3}\)
\(P ∈ AG_3\) và \(\frac{AG_3}{AP} = \frac{2}{3}\)
Do đó \(\frac{AG_1}{AM} = \frac{AG_2}{AN}\) suy ra \(G_1G_2 // MN\).
Vì MN nằm trong (BCD) nên \(G_1G_2 // (BCD)\).
Tương tự \(\frac{AG_1}{AM} = \frac{AG_3}{AP}\) suy ra \(G_1G_3 // MP\). Vì MP nằm trong (BCD) nên \(G_1G_3 // (BCD)\). Vậy \((G_1G_2G_3) // (BCD)\).
Ta biết rằng qua một điểm không thuộc đường thẳng d có duy nhất một đường thẳng d’ song song với d. Nếu thay đường thẳng d bởi mặt phẳng (α) thì được kết quả sau.
Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho (Hình 2.50).
Từ định lí trên ta suy ra các hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (α) (Hình 2.51).
Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α) (Hình 2.52).
Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh:
a. Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC)
b. Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng
Giải
Câu a: Trong mặt phẳng (SBC), vì Sx là phân giác ngoài của góc S trong tam giác cân SBC (hình 2.53) nên Sx // BC. Từ đó suy ra Sx // (ABC). (1)
Tương tự, ta có Sy // (ABC). (2) và Sz // (ABC).
Từ (1) và (2) suy ra: (Sx, Sy) // (ABC)
Câu b: Theo hệ quả 3, định lí 2, ta có Sx, Sy, Sz là các đường thẳng cùng đi qua S và cùng song song với (ABC) nên Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng đi qua S và song song với (ABC).
Đinh lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
Chứng minh: Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song. Giả sử (γ) cắt (α) theo giao tuyến a. Do (γ) chứa a (Hình 2.54) nên (γ) không thể trùng với (β). Vì vậy hoặc (γ) song song với (β) hoặc (γ) cắt (β). Nếu (γ) song song với (β) thì qua a ta có hai mặt phẳng (α) và (γ) cùng song song với (β). Điều này vô lí. Do đó (γ) phải cắt (β). Gọi giao tuyến của (γ) và (β) là b.
Ta có a ⊂ (α) và b ⊂ (β) mà (α) // (β) nên a ∩ b = Ø. Vậy hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng (γ) và không có điểm chung nên a // b.
Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
Chứng minh: Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song và (γ) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a, b. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng a với (α) và (β); A’, B’ lần lượt là giao điểm của đường thẳng b với (α) và (β) (Hình 2.55). Theo định lí 3 ta có
\(\begin{cases}(α) // (β) \\(γ) ∩ (α) = AA’\\ (γ) ∩ (β) = BB’\end{cases}\)
Từ đó suy ra AA’ // BB’.
Vì AB song song với A’B’ (do a song song với b) nên tứ giác AA’B’B là hình bình hành.
Vậy AB = A’B’.
III. Định Lí Ta-Lét (Thalès)
Câu hỏi 3 bài 4 trang 66 SGK hình học lớp 11: Bát biểu định lí Ta-lét trong hình học phẳng.
Giải:
Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí 4 (Định lí Ta-lét): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Nếu d, d’ là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ (Hình 2.56) thì
\(\frac{AB}{A’B’} = \frac{BC}{B’C’} = \frac{CA}{C’A’}\)
IV. Hình Lăng Trụ Và Hình Hộp
Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α’). Trên (α) cho đa giác lồi \(A_1A_2… A_n\). Qua các đỉnh \(A_1, A_2, …, A_n\) ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (α’) lần lượt tại \(A’_1, A’_2,… A’_n\).
Hình gồm hai đa giác \(A_1A_2… A_n, A’_1A’_2… A’_n\) và các hình bình hành \(A_1A’_1A’_2A_2, A_2A’_2A_3’A_3, …, A_nA’_nA’_1A_1\) được gọi là hình lăng trụ và được kí hiệu là \(A_1A_2… A_n.A’_1A’_2.. A’_n\) (Hình 2.57).
– Hai đa giác \(A_1A_2… A_n\) và \(A’_1A’_2… A’_n\) được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.
– Các đoạn thẳng \(A_1A’_1, A_2A’_2,.., A_n A’_n\) được gọi là các cạnh bên của hình lăng trụ.
– Các hình bình hành \(A_1A’_1A’_2A_2, A_2A’_2A’_3A_3,…, A_nA’_nA’_1A_1\) được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
– Các đỉnh của hai đa giác được gọi là các đỉnh của hình lăng trụ.
Nhận xét:
- Các cạnh bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau.
- Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
- Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau.
Người ta gọi tên của hình lăng trụ dựa vào tên của đa giác đáy, xem hình 2.58.
- Hình lăng trụ có đáy là hình tam giác được gọi là hình lăng trụ tam giác.
- Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp (Hình 2.59).
V. Hình Chóp Cụt
Định nghĩa: Cho hình chóp \(S.A_1A_2 … A_n\); một mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các cạnh \(SA_1, SA_2,.., SA_n\) lần lượt tại \(A’_1, A’_2,… A’_n\). Hình tạo bởi thiết diện \(A’_1A’_2… A’_n\) và đáy \(A_1A_2… A_n\) của hình chóp cùng với các tứ giác \(A’_1A’_2A_2A_1, A’_2A’_3A_3A_2,… A’_nA’_1A_1A_n\) gọi là hình chóp cụt (Hình 2.60).
Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện \(A’_1A’_2 … A’_n\) gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt. Các tứ gác \(A’_1A’_2A_2A_1, A’_2A’_3A_3A_2,… A’_nA’_1A_1A_n\) gọi là các mặt bên của hình chóp cụt. Các đoạn thẳng \(A_1A’_1, A_2A’_2,… A_nA’_n\) gọi là các cạnh bên của hình chóp cụt.
Tuỳ theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác, …
Vì hình chóp cụt được cắt ra từ một hình chóp nên ta dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của hình chóp cụt.
Tính chất
1. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và các tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
2. Các mặt bên là những hình thang.
3. Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
Bài Tập Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song thuộc Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Toán Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A, B, C tuỳ ý.
a. Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).
b. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài Tập 2 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a. Chứng minh rằng AM song song với A’M’.
b. Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M.
c. Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d. Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AM’M).
Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Bài Tập 3 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm \(\)\(G_1\) và \(G_2\) của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c. Chứng minh \(G_1\) và \(G_2\) chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
d. Gọi O và I lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Bài Tập 4 Trang 71 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi \(\)\(A_1\) là trung điểm của cạnh SA và \(A_2\) là trung điểm của đoạn \(AA_1\). Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đị qua \(A_1, A_2\). Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \(B_1, C_1, D_1\). Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại \(B_2, C_2, D_2\). Chứng minh:
a. \(B_1, C_1, D_1\) lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b. \(B_1B_2 = B_2B, C_1C_2 = C_2C, D_1D_2 = D_2D\)
c. Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD
Ở trên là lý thuyết Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Toán Hình Học Lớp 11, giới thiệu đến các bạn kiến thức trọng tâm về vị trí tương đối của hai mặt phẳng, các kiến thức liên quan đến hai mặt phẳng song song. Để đạt kết quả tốt hơn mời các bạn tham khảo lời giải bài tập chi tiết ở trên nhé.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài Tập Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài 5: Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian
- Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
- Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song
- Bài 1: Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Trả lời