Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit
Nội dung Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, các bạn sẽ được làm quen các khái niệm, tính chất, cách tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm lôgarit. Cùng với đó là ví dụ minh họa và các bài tập sẽ giúp các bạn học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit.
I. Hám Số Mũ
Ví dụ 1: Bài toán “lãi kép”
Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào Vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó được lĩnh bao nhiêu tiền sau n năm (n ∈ N*), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?
Giải: Giả sử n ≥ 2, đặt P = 1, r = 0,07
– Sau năm thứ nhất
Tiền lãi là \(T_1 = Pr = 1.0,07 = 0,07\) (triệu đồng)
Số tiền được lĩnh (còn gọi là vốn tích lũy) là:
\(P_1 = P + T_1 = P + Pr = P(1 + r) = 1,07\) (triệu đồng)
– Sau năm thứ hai
Tiền lãi là \(T_2 = P_1r = 1,07.0,07 = 0,0749\) (triệu đồng)
Vốn tích lũy là \(P_2 = P_1 + T_2 = P_1 + P_1r = P_1(1 + r) =\)
\(= P(1 + r)^2 = (1,07)^2 = 1,1449\) (triệu đồng)
– Tương tự, vốn tích lũy sau n năm là
\(P_n = P(1 + r)^n = (1,07)^n\) (triệu đồng)
Vậy sau n năm, người đó được lĩnh \((1,07)^n\) triệu đồng.
Ví dụ 2: Trong Vật Lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức
\(m(t) = m_0(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}\)
trong đó \(m_0\) là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác).
Ví dụ 3: Dân số thế giới được ước tính theo công thức \(S = Ae^{ni}\), trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hàng năm.
Câu hỏi 1 bài 4 trang 72 SGK giải tích lớp 12: Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80 902 400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi năm 2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đối?
Giải: Sử dụng công thức \(T = A(1 + r)^N\)
Từ năm 2003 đến năm 2010 là 7 năm.
Vậy năm 2010 Việt Nam sẽ có số người là: \(80902400.(1 + 0,0147)^7 = 89603511,14\).
Những bài toán thực tế như trên đưa đến việc xét các hàm số có dạng \(y = a^x\).
1. Định nghĩa
Cho a là số thực dương, khác 1.
Hàm số \(y = a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Câu hỏi 2 bài 4 trang 72 SGK giải tích lớp 12: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ? Với cơ số bao nhiêu?
a. \(y = (\sqrt{3})^x\)
b. \(y = 5^{\frac{x}{3}}\)
c. \(y = x^{-4}\)
d. \(y = e^{-x}\)
Giải: Hàm số \(y = a^x (0 < a ≠ 1)\) được gọi là hàm số mũ cơ số a.
Các hàm số mũ là \(y = (\sqrt{3})^x\) với cơ số là \(\sqrt{3}; y = 5^{\frac{x}{3}}\) với cơ số là \(5^{\frac{1}{3}}; y = 4^{-x}\) với cơ số là \(4^{-1}\).
2. Đạo hàm của hàm số mũ
Ta thừa nhận công thức
\(\lim_{t → 0}\frac{e^t – 1}{t} = 1\) (1)
Định lý 1: Hàm số \(y = e^x\) có đạo hàm tại mọi x và \((e^x)’ = e^x\).
Chứng minh: Giả sử Δx là số gia của x, ta có
\(Δy = e^{x + Δx} – e^x = e^x(e^{Δx} – 1)\)
Do đó \(\frac{Δy}{Δx} = e^x\frac{e^{Δx} – 1}{Δx}\)
Áp dụng (1), ta có:
\(\lim_{Δx→ 0}\frac{e^{Δx} – 1}{Δx} = 1\)
Từ đó suy ra
\(y’ = \lim_{Δx→ 0}\frac{Δy}{Δx} = e^x\)
Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số \(e^u (u = u(x))\) có dạng \((e^u)’ = u’.e^u\).
Định lý 2: Hàm số \(y = a^x (a > 0, a ≠ 1)\) có đạo hàm tại mọi x và \((a^x)’ = a^xlna\).
Chứng minh. Ta có
\(a^x = e^{lna^x} = e^{xlna}\)
Đặt \(u(x) = xlna\), theo Chú ý trên, ta được
\((a^x)’ = (e^{xlna})’ = e^{xlna}(xlna)’ = a^xlna\)
Chú ý: Đối với hàm hợp \(y = a^{u(x)}\), ta có:
\((a^u)’ = a^ulna.u’\)
Ví dụ 4: Hàm số \(y = 8^{x^2 + x + 1}\) có đạo hàm là
\(y’ = 8^{x^2 + x + 1}(x^2 + x + 1)’ln8\)
\(= 8^{x^2 + x + 1}(2x + 1)ln8\)
3. Khảo sát hàm số mũ \(y = a^x (a > 0, a ≠ 1)\)
\(y = a^x, a > 1\) | \(y = a^x, 0 < a < 1\) |
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên \(y’ = a^xln a > 0; ∀x\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → -∞}a^x = 0, \lim_{x → +∞}a^x = +∞\) Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (Hình 31) |
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên \(y’ = a^xln a < 0; ∀x\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → -∞}a^x = +∞, \lim_{x → +∞}a^x = 0\) Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang. 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (Hình 32) |
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ \(y = a^x\).
Tập xác định | (-∞; +∞) |
Đạo hàn | \(y’ = a^xlna\) |
Chiều biến thiên | \(a > 1:\) hàm số luôn đồng biến \(0 < a < 1:\) hàm số luôn nghịch biến |
Tiệm cận | Ox là tiệm cận ngang |
Đồ thị | đi qua các điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành \((y = a^x > 0, ∀x ∈ R)\) |
II. Hàm Số Lôgarit
1. Định nghĩa
Cho a là số thực dương, khác 1.
Hàm số \(y = log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.
Ví dụ 5: Các hàm số \(y = log_3x, y = log_{\frac{1}{4}}x, y = log_{\sqrt{5}}x, y = lnx, y = logx\) là những hàm số lôgarit với cơ số lần lượt là \(3, \frac{1}{4}, \sqrt{5}\), e và 10.
2. Đạo hàm của hàm số lôgarit
Ta có định lý sau đây.
Định lý 3: Hàm số \(y = log_ax\) (a > 0, a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi x > 0 và \((log_ax)’ = \frac{1}{xlna}\).
Đặc biệt: \((lnx)’ = \frac{1}{x}\)
Chú ý: Đối với hàm hợp \(y = log_au(x)\), ta có: \((log_au)’ = \frac{u’}{ulna}\)
Ví dụ 6: Hàm số \(y = log_2(2x + 1)\) có đạo hàm là
\(y’ = (log_2(2x + 1))’\)
\(= \frac{(2x + 1)’}{(2x + 1)ln2} = \frac{2}{(2x + 1)ln2}\)
Câu hỏi 3 bài 4 trang 76 SGK giải tích lớp 12: Tính đạo hàm của hàm số \(y = ln(x + \sqrt{1 + x^2})\)
Giải: Sử dụng công thức đạo hàm \((lnu)’ = \frac{u’}{u}\)
\(y’ = [ln(x + \sqrt{1 + x^2})]’ = \frac{(x + \sqrt{1 + x^2})’}{x + \sqrt{1 +x^2}}\)
\(= \frac{1 + \frac{(1 + x^2)’}{2\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}}\)
\(= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x + \sqrt{1 + x^2}}\)
\(= \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\)
3. Khảo sát hàm số lôgarit \(y = log_ax (a > 0, a ≠ 1)\)
\(y = log_ax, a > 1\) | \(y = log_ax, 0 < a < 1\) |
1. Tập xác định: (0; +∞)
2. Sự biến thiên \(y’ = \frac{1}{xlna} > 0, ∀x\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+}log_ax = -∞\) \(\lim_{x → +∞}log_ax = +∞\) Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (Hình 33) |
1. Tập xác định: (0; +∞)
2. Sự biến thiên \(y’ = \frac{1}{xlna} < 0, ∀x\) Giới hạn đặc biệt: \(\lim_{x → 0^+}log_ax = +∞\) \(\lim_{x → +∞}log_ax = -∞\) Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên 4. Đồ thị (Hình 34) |
Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số \(y = log_ax\).
Tập xác định | (0; +∞) |
Đạo hàm | \(y’ = \frac{1}{xlna}\) |
chiều biến thiên | a > 0: hàm số luôn đồng biến 0< a < 1: hàm số luôn nghịch biến |
Tiệp cận | Trục Oy là tiệm cận đứng |
Đồ thị | Đi qua các điểm (1; 0) và (a; 1), nằm phía bên phải trục tung. |
Dưới đây là độ thị của các hàm số: \(y = log_{\frac{1}{3}}x, y = (\frac{1}{3})^x\) (Hình 35); \(y = log_{\sqrt{2}}x, y = (\sqrt{2})^x\) (Hình 36).
Câu hỏi 4 bài 4 trang 78 SGK giải tích lớp 12: Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36.
Giải: Đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36 đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Nhận xét: Đồ thị của các hàm số \(y = a^x\) và \(y = log_ax\) (a > 0, a ≠ 1) đối xứng với nhau qua đường thẳng \(y = x\).
Bảng đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit
Hàm sơ cấp | Hàm hợp (u = u(x)) |
\((x^α)’ = αx^{α – 1}\) \((\frac{1}{x})’ = -\frac{1}{x^2}\) \((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) |
\((u^{α})’ = αu^{α – 1}.u’\) \((\frac{1}{u})’ = -\frac{u’}{u^2}\) \((\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}}\) |
\((e^x)’ = e^x\) \((a^x)’ = a^xlna\) |
\((e^u)’ = e^uu’\) \((a^u)’ = a^u.lna.u’\) |
\((ln|x|)’ = \frac{1}{x}\) \((log_a|x|)’ = \frac{1}{xlna}\) |
\((ln|u|)’ = \frac{u’}{u}\) \((log_a|u|)’ = \frac{u’}{ulna}\) |
Bài Tập Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit
Hướng dẫn giải Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, các bạn theo dõi ngay dưới đây nhé. Bài giải có nhiều cách giải khác nhau cho bạn lựa chọn.
Bài Tập 1 Trang 77 SGK Giải Tích Lớp 12
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a. \(\)\(y = 4^x\)
b. \(y = (\frac{1}{4})^x\)
Bài Tập 2 Trang 77 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a. \(y = 2xe^x + 3sin2x\)
b. \(y = 5x^2 – 2^xcosx\)
c. \(y = \frac{x + 1}{3^x}\)
Bài Tập 3 Trang 77 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a. \(y = log_2(5 – 2x)\)
b. \(y = log_3(x^2 – 2x)\)
c. \(y = log_{\frac{1}{5}}(x^2 – 4x + 3)\)
d. \(y = log_{0,4}\frac{3x + 2}{1 – x}\)
Bài Tập 4 Trang 78 SGK Giải Tích Lớp 12
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a. \(y = logx\)
b. \(y = log_{\frac{1}{2}}x\)
Bài Tập 5 Trang 78 SGK Giải Tích Lớp 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a. \(y = 3x^2 – lnx + 4sinx\)
b. \(y = log(x^2 + x + 1)\)
c. \(y = \frac{log_3x}{x}\)
Ở trên là nội dung Bài 4: Hàm Số Mũ, Hàm Số Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Bạn sẽ hiểu thêm về định nghĩa và đạo hàm của hàm số lôgarit.
Trả lời