Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 4: Hệ Trục Tọa Độ
Nội dung Bài 4: Hệ Trục Tọa Độ thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Hiểu khái niệm trục tọa độ, định nghĩa hệ trục tọa độ, tọa độ của vectơ và của điểm trên trục. Biết khái niệm độ dài đại số của một vectơ trên trục. Biết được biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, độ dại vectơ và khoảng cách giữa hai điểm, tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a. Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị \(\)\(\vec{e}\).
Ta kí hiệu trục đố là \((O; \vec{e})\) (hình 1.20)
b. Cho M là một điểm tùy ý trên trục \((O; \vec{e})\). Khi đó có duy nhất một số k sao cho \(\overrightarrow{OM} = k\vec{e}\). Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
c. Cho hai điểm A và B trên trục \((O; \vec{e})\). Khi đó có duy nhất số a sao cho \(\overrightarrow{AB} = a\vec{e}\). Ta gọi số a đố là độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) đối với trục đã cho và kí hiệu \(a = \overline{AB}\).
Nhận xét. Nếu \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng với \(\vec{e}\) thì \(\overline{AB} = AB\), còn nếu \(\overrightarrow{AB}\) ngược hướng với \(\vec{e}\) thì \(\overline{AB} = -AB\).
Nếu hai điểm A và B trên trục \((O; \vec{e})\) có tọa độ lần lượt là a và b thì \(\overline{AB} = b – a\).
2. Hệ trục tọa độ
Trong mục này ta sẽ xây dựng khái niệm hệ trục tọa độ để xác định vị trí của điểm và của vectơ trên mặt phẳng.
Câu hỏi 1 bài 4 trang 21 SGK hình học lớp 10: Hãy tìm cách xác định vị trí quân xe và quân mã trên bàn cờ vua (hình 1.21).
Giải:
Vị trí của quân xe: hàng 3, cột c
Vị trí của quân mã: hàng 5, cột f
a. Định nghĩa
Hệ trục tọa độ \((O; \vec{i}; \vec{j})\) gồm hai trục \((O; \vec{i})\) và \((O; \vec{j})\) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục \((O; \vec{i})\) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục \((O; \vec{j})\) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ \(\vec{i}\) và \(\vec{j}\) là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và \(|\vec{i}| = |\vec{j}| = 1\). Hệ trục tọa độ \((O; \vec{i}; \vec{j})\) còn được kí hiệu là Oxy (hình 1.22).
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
b. Tọa độ của vectơ
Câu hỏi 2 bài 4 trang 22 SGK hình học lớp 10: Hãy phân tích các vectơ \(\vec{a}, \vec{b}\) theo hai vectơ \(\vec{i}\) và \(\vec{j}\) trong hình (hình 1.23).
Giải:
\(\vec{a} = 4\vec{i} + 2\vec{j}\)
\(\vec{b} = -4\vec{j} = 0\vec{i} – 4\vec{j}\)
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho một vectơ \(\vec{u}\) tùy ý. Vẽ \(\overrightarrow{OA} = \vec{u}\) và gọi \(A_1, A_2\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 1.24). Ta có \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OA_2}\) và cặp số duy nhất \((x; y)\) để \(\overrightarrow{OA_1} = x\vec{i}, \overrightarrow{OA_2} = y\vec{j}\). Như vậy \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\).
Cặp số \((x; y)\) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ \(\vec{u}\) đối với hệ tọa độ \(Oxy\) và viết \(\vec{u} = (x; y)\) hoặc \(\vec{u}(x; y)\). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ \(\vec{u}\).
Như vậy \(\vec{u} = (x; y) ⇔ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Nếu \(\vec{u} = (x; y), \vec{u’} = (x’; y’)\) thì
\(\vec{u} = \vec{u’} ⇔ \begin{cases}x = x’\\y = y’\end{cases}\)
Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c. Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó (hình 1.25).
Như vậy, cặp số \((x; y)\) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OM} = (x; y)\). Khi đó ta viết \(M(x; y)\) hoặc \(M = (x; y)\). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là \(x_M\), tung độ của điểm M còn được kí hiệu là \(y_M\).
\(M = (x; y) ⇔ \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
Chú ý rằng, nếu \(MM_1 ⊥ Ox, MM_2 ⊥ Oy\) thì \(x = \overline{OM_1}, y = \overline{OM_2}\)
Câu hỏi 3 bài 4 trang 24 SGK hình học lớp 10: Tìm tọa độ của các điểm \(A, B, C\) trong hình 1.26. Cho ba điểm \(D(-2; 3), E(0; -4), F(3; 0)\). Hãy vẽ các điểm \(D, E, F\) trên mặt phẳng \(Oxy\).
Giải:
\(A(4; 2)\)
\(B(-3; 0)\)
\(C(0; 2)\)
d. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\). Ta có
\(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\)
Câu hỏi 4 bài 4 trang 24 SGK hình học lớp 10: Hãy chứng minh công thức trên.
Giải:
Sử dụng lí thuyết \(M = (x; y) ⇔ \overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}\)
Ta có:
\(B(x_B; y_B) ⇔ \overrightarrow{OB} = x_b\vec{i} + y_B\vec{j}\)
\(A(x_A; y_A) ⇔ \overrightarrow{OA} = x_A\vec{i} + y_A\vec{j}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}\)
\(= (x_B\vec{i} + y_B\vec{j}) – (x_A\vec{i} + y_A\vec{j})\)
\(= (x_B – x_A)\vec{i} + (y_B – y_A)\vec{j}\)
Vậy \(\overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)\)
3. Tọa độ của các vectơ \(\vec{u} + \vec{v}, \vec{u} – \vec{v}, k\vec{u}\)
Ta có các công thức sau:
Cho \(\vec{u} = (\vec{u_1}; \vec{u_2}), \vec{v} = (\vec{v_1}; \vec{v_2})\). Khi đó:
\(\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1; u_2 + v_2)\)
\(\vec{u} – \vec{v} = (u_1 – v_1; u_2 – v_2)\)
\(k\vec{u} = (ku_1; ku_2), k ∈ R\)
Ví dụ 1: Cho \(\vec{a} = (1; -2), \vec{b} = (3; 4), \vec{c} = (5; -1)\). Tìm tọa độ vectơ \(\vec{u} = 2\vec{a} + \vec{b} – \vec{c}\).
Ta có \(2\vec{a} = (2; -4), 2\vec{a} + \vec{b} = (5; 0), 2\vec{a} + \vec{b} – \vec{c} = (0; 1)\)
Vậy \(\vec{u} = (0; 1)\)
Ví dụ 2: Cho \(\vec{a} = (1; -1), \vec{b} = (2; 1)\). Hãy phân tích vectơ \(\vec{c} = (4; -1)\) theo \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).
Giả sử \(\vec{c} = k\vec{a} + h\vec{b} = (k + 2h; -k + h)\)
Ta có: \(\begin{cases}k + 2h = 4\\-k + h = -1\end{cases} ⇒ \begin{cases}k = 2\\h = 1\end{cases}\)
Vậy \(\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}\)
Nhận xét. Hai vectơ \(\vec{u} = (u_1; u_2), \vec{v} = (v_1; v_2)\) với \(\vec{v} ≠ \vec{0}\) cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho \(u_1 = kv_1\) và \(u_2 = kv_2\).
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ của trọng tâm tam giác
a. Cho đoạn thẳng AB có \(A(x_A; y_A), B(x_B; y_B)\). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm \(I(x_I; y_I)\) của đoạn thẳng AB là:
\(x_I = \frac{x_A + x_B}{2}, y_I = \frac{y_A + y_B}{2}\)
Câu hỏi 5 bài 4 trang 25 SGK hình học lớp 10: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{OG}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}\) và \(\overrightarrow{OC}\). Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B và C.
Giải:
Ta có: Với G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm O ta có:
\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}\) (phần 3b trang 15 SGK Hình Học Lớp 10)
\(⇒ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})\)
\(⇒ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\)
Mà
\(\overrightarrow{OA} = (x_A; y_A), \overrightarrow{OB} = (x_B; y_B)\)
\(\overrightarrow{OC} = (x_C; y_C)\)
\(⇒ \begin{cases}\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} = (\frac{x_A}{3}; \frac{y_A}{3})\\\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} = (\frac{x_B}{3}; \frac{y_B}{3})\\\frac{1}{3}\overrightarrow{OC} = (\frac{x_C}{3}; \frac{y_C}{3})\end{cases}\)
\(⇒ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\)
\(= (\frac{x_A}{3} + \frac{x_B}{3} + \frac{x_C}{3}; \frac{y_A}{3} + \frac{y_B}{3} + \frac{y_C}{3})\)
\(= (\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3})\)
Vậy \(G(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3})\)
b. Cho tam giác \(ABC\) có \(A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C)\). Khi đó tọa độ của trọng tâm \(G(x_G; y_G)\) của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức:
\(x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\)
Ví dụ: Cho \(A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3)\). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tọa độ của trọng tâm G của tam giác \(ABC\).
Ta có \(x_I = \frac{2 + 0}{2} = 1, y_I = \frac{0 + 4}{2} = 2\)
\(x_G = \frac{2 + 0 + 1}{3} = 1, y_G = \frac{0 + 4 + 3}{3} = \frac{7}{3}\)
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 4: Hệ Trục Tọa Độ thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 10
Trên trục \((O, \vec{e})\) cho các điểm \(A, B, M, N\) có tọa độ lần lượt là \(-1, 2, 3, -2\).
a. Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục.
b. Tính độ dài đại số của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\). Từ đó suy ra hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{MN}\) ngược hướng.
Bài Tập 2 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 10
Trong mặt phẳng tọa độ các mệnh đề sau đúng hay sai?
a. \(\vec{a} = (-3; 0)\) và \(\vec{i} = (1; 0)\) là hai vectơ ngược hướng.
b. \(\vec{a} = (3; 4)\) và \(\vec{b} = (-3; -4)\) là hai vectơ đối nhau.
c. \(\vec{a} = (5; 3)\) và \(\vec{b} = (3; 5)\) là hai vectơ đối nhau.
d. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
Bài Tập 3 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 10
Tìm tọa độ của các vectơ sau:
a. \(\vec{a} = 2\vec{i}\)
b. \(\vec{b} = -3\vec{j}\)
c. \(\vec{c} = 3\vec{i} – 4\vec{j}\)
d. \(\vec{d} = 0,2\vec{i} + \sqrt{3}\vec{j}\)
Bài Tập 4 Trang 26 SGK Hình Học Lớp 10
Trong mặt phẳng Oxy. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a. Tọa độ của điểm A là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OA}\);
b. Điểm A nằm trên trục hoành thì có tung độ bằng 0;
c. Điểm A nằm trên trục tung thì có hoành độ bằng 0;
d. Hoành độ và tung độ của điểm A bằng nhau khi và chỉ khi A nằm trên tia phân giác của góc phần tư thứ nhất;
Bài Tập 5 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(M(x_0; y_0)\)
a. Tìm tọa độ của điểm A đối xứng với M qua trục Ox
b. Tìm tọa độ của điểm B đối xứng với M qua trục Oy
c. Tìm tọa độ điểm C đối xứng với M qua gốc O
Bài Tập 6 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1)\). Tìm tọa độ đỉnh D.
Bài Tập 7 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Các điểm \(A'(-4; 1), B'(2; 4)\) và \(C'(2; -2)\) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB của tam giác \(ABC\). Tính tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) trùng nhau.
Bài Tập 8 Trang 27 SGK Hình Học Lớp 10
Cho \(\vec{a} = (2; -2), \vec{b} = (1; 4)\). Hãy phân tích vectơ \(\vec{c} = (5; 0)\) theo hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).
Ở trên là nội dung Bài 4: Hệ Trục Tọa Độ thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Sau khi chúng ta đã đi về khái niệm về các vectơ, bài học cuối Chương I sẽ là bài Hệ trục tọa độ, khái niệm này các bạn đã học từ lớp 7, trong bài học chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn, nhiều khía cạnh hơn nội dung này. Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời