Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
Nội dung Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Mục tiêu bài học giúp các bạn nắm được khái niệm phép đối xứng tâm, các tính chất của phép đối xứng tâm, biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm. Tìm ảnh của một điểm, ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm, tìm toạ độ của ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm, xac định được tâm đối xứng của một hình. Mời các bạn theo dõi nội dung ngay dưới đây.
Quan sát hình 1.18 ta thấy hai hình đen và trắng đối xứng với nhau qua tâm của hình chữ nhật. Để hiểu rõ loại đối xứng này chúng ta xét phép biến hình dưới đây.
I. Định Nghĩa
Định nghĩa: Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.
Điểm I được gọi là tâm đối xứng (Hình 1.19). Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là \(\)\(Đ_I\).
Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua \(Đ_I\) thì ta còn nói H’ đối xứng với H qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I.
Từ định nghĩa trên ta suy ra \(M’ = Đ_I(M) ⇔ \overrightarrow{IM’} = -\overrightarrow{IM}\)
Ví dụ 1
a. Trên hình 1.20 các điểm X, Y, Z tương ứng là ảnh của các điểm D, E, C qua phép đối xứng tâm I và ngược lại.
b. Trong hình 1.21 các hình A và B là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm I, các hình H và H’ là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm I.
Câu hỏi 1 bài 4 trang 13 SGK hình học lớp 11: Chứng minh rằng \(M’ = Đ_I(M) ⇔ M = Đ_I(M’)\)
Giải:
\(M = Đ_I(M)\) nghĩa là phép biến hình này biến điểm I thành chính nó hoặc biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’.
– \(M ≡ I ⇒ M’ = Đ_I(M) ≡ M ≡ I ⇒ M = Đ_I(M’)\)
– \(M ≠ I ⇒ M’ = Đ_I(M)\) thì I là trung điểm của MM’.
⇒ M’ ≠ I và phép biến hình biến mỗi điểm M’ thành M sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng M’M.
\(⇒ M = Đ_I(M’)\)
Câu hỏi 2 bài 4 trang 13 SGK hình học lớp 11: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua O vuông góc với AB, cắt AB ở E và cắt CD ở F. Hãy chỉ ra các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm O.
Giải:
– Hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo ⇒ O là trung điểm mỗi đường nên A và C đối xứng nhau qua tâm O.
B và D đối xứng nhau qua tâm O.
– Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
OA = OC (do O là trung điểm AC)
∠(AOE) = ∠(CFO) (hai góc đối đỉnh)
⇒ ΔAEO = ΔCFO (cạnh huyền – góc nhọn kề)
⇒ OE = OF (hai cạnh tương ứng)
Nên O là trung điểm EF
⇒ E và F đối xứng nhau qua tâm O.
II. Biểu Thức Tọa Độ Của Phép Đối Xứng Qua Gốc Tọa Độ
Trong hệ tọa độ Oxy cho M = (x; y)
\(M’ = Đ_O(M) = (x’; y’)\), khi đó
\(\begin{cases}x’ = -x\\y’ = -y\end{cases}\) (Hình 1.22)
Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ.
Câu hỏi 3 bài 4 trang 13 SGK hình học lớp 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-4; 2). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O.
Giải: Cho A(x, y) và \(A’ = Đ_O(A) = (x’, y’)\) thì x’ = -x; y’ = -y hay A'(-x, -y).
Gọi A'(a, b) là ảnh của A’ qua phép đối xứng tâm O ⇒ a = 4 và b = -3.
III. Tính Chất
Tính chất 1: Nếu \(Đ_I(M) = M’\) và \(Đ_I(N)\) thì \(\overrightarrow{M’N’} = -\overrightarrow{MN}\), từ đó suy ra M’N’ = MN.
Thật vậy, vì \(\overrightarrow{IM’} = -\overrightarrow{IM}\)
và \(\overrightarrow{IN’} = -\overrightarrow{IN}\) (Hình 1.23) nên \(\overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{IN’} – \overrightarrow{IM’}\)
\(= -\overrightarrow{IN} – (-\overrightarrow{IM}) = -(\overrightarrow{IN} – \overrightarrow{IM}) = -\overrightarrow{MN}\)
Do đó M’N’ = MN.
Nói cách khác, phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Câu hỏi 4 bài 4 trang 14 SGK hình học lớp 11: Chọn hệ tọa độ Oxy, rồi dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O chứng minh lại tính chất 1.
Giải:
Gọi M(x; y), N(a; b) bất kì.
M'(x’; y’), N'(a’; b’) là ảnh của M, N qua phép đối xứng tâm O.
Khi đó,
\(\begin{cases}x’ = -x\\y’ = -y\end{cases}\) và \(\begin{cases}a’ = -a\\b’ = -b\end{cases}\)
\(⇒ M'(-x; -y); N'(-a; -b)\)
\(⇒ \overrightarrow{M’N’} = (-a + x’ -b + y)\) (1)
\(\overrightarrow{MN} = (a – c; b – y)\)
\(⇒ -\overrightarrow{MN} = (-a + x; -b + y)\) (2)
Từ (1) và (2) \(⇒ \overrightarrow{M’N’} = -\overrightarrow{MN}\)
⇒ M’N’ = MN
Từ tính chât 1 suy ra
Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính (hình 1.24).
IV. Tâm Đối Xứng Của Một Hình
Định nghĩa: Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến H thành chính nó.
Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.
Ví dụ 2: Trên hình 1.25 là những hình có tâm đối xứng.
Câu hỏi 5 bài 4 trang 15 SGK hình học lớp 11: Trong các chữ sau, chữ nào là hình có tâm đối xứng?
Giải: Các chữ có tâm đối xứng là: H, N, O, I
Câu hỏi 6 bài 4 trang 15 SGK hình học lớp 11: Tìm một số hình tứ giác có tâm đối xứng.
Giải: Các tứ giác có tâm đối xứng là: hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật.
Bài Tập SGK Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
Hướng dẫn giải bài tập sach giáo khoa Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 15 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-1; 3) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
Bài Tập 2 Trang 15 SGK Hình Học Lớp 11
Trong các hình tam giác đều, hình bình hành, ngũ giác đều, lục giác đều, hình nào có tâm đối xứng?
Bài Tập 3 Trang 15 SGK Hình Học Lớp 11
Tìm một hình có vô số tâm đối xứng?
Ở trên là nội dung Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các bạn khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng tâm. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các bạn sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này. Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài Tập Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài 8: Phép Đồng Dạng
- Bài 7: Phép Vị Tự
- Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
- Bài 5: Phép Quay
- Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
- Bài 2: Phép Tịnh Tiến
- Bài 1: Phép Biến Hình
Trả lời