Chương IV: Số Phức – Giải Tích Lớp 12
Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực
Trong chương trình học của các em học sinh, ai cũng phải từng học và làm quen với việc phương trình bậc hai vô nghiệm. Tuy nhiên, torng các trường hợp vô nghiệm đó do ta chỉ xét phương trình trên tập số thực. Thì ở bài này, sẽ là phần mở rộng trên tập số phức với mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nội dung bài lý thuyết và bài tập trong SGK sẽ giúp các bạn học sinh cách để giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.
1. Căn bậc hai của một số thực âm
Câu hỏi 1 bài 4 trang 141 sgk giải tích lớp 12: Thế nào là căn bậc hai của một sơ thực dương a?
Giải: Căn bậc hai của một số thực dương a là một số thực b sao cho \(\)\(b^2 = a\).
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức \(i^2 = -1\), ta nói i là một căn bậc hai của -1; -i cũng là một căn bậc hai của -1, vi \((-i)^2 = -1\). Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:
Căn bậc hai của -2 là \(±i\sqrt{2}\), vì \((±i\sqrt{2})^2 = -2\)
Căn bậc hai của -3 là \(±i\sqrt{3}\), vì \((±i\sqrt{3})^2 = -3\)
Căn bậc hai của -4 là \(±2i\), vì \((±2i)^2 = -4\)
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực \(a < 0\) là \(±i\sqrt{|a|}\)
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với a, b, c ∈ R, a ≠ 0. Xét biệt số \(Δ = b^2 – 4ac\) của phương trình. Ta thấy:
– Khi Δ = 0, phương trình có một nghiệm thực \(x = -\frac{b}{2a}\)
– Khi Δ > 0, có hai căn bậc hai (thực) của Δ là \(±\sqrt{Δ}\) là phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức
\(x_{1, 2} = \frac{-b ± \sqrt{Δ}}{2a}\)
– Khi Δ < 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai của Δ.
Tuy nhiên, trong trường hợp Δ < 0, nếu xét trong tập hợp số phức, ta vẫn có hai căn bậc hai ảo của Δ là \(± i\sqrt{|Δ|}\).
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức
\(x_{1, 2} = \frac{-b ± i\sqrt{|Δ|}}{2a}\)
Ví dụ: Giải phương trình \(x^2 + x + 1 = 0\) trên tập hợp số phức.
Ta có Δ = 1 – 4 = -3. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là
\(x_{1, 2} = \frac{-1 ± i\sqrt{3}}{2}\)
Nhận xét: Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n ≥ 1
\(a_0x^n + a_1x^{n – 1} + … + a_{n – 1}x + a_n = 0\), trong đó \(a_0, a_1, …, a_n ∈ C, a_0 ≠ 0\) đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).
Đó là lí do cơ bản của Đại số học.
Số Phức Và Ứng Dụng: (Trần Nam Dũng – Câu Lạc Bộ Toán Hoc).
Số phức, kể từ khi ra đời đã tìm được rất nhiều những ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Đối với chương trình phổ thông nói chung và các bài toán olympic nói riêng, số phức cũng có những ứng dụng hết sức ấn tượng. Loạt bài giảng này cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số phức và các ứng dụng của số phức trong giải toán. Một điều mấu chốt cần hiểu là: số phức cũng đơn giản thôi!
1. Sơ lược về lịch sử số phức
Lịch sử phát triển các khái niệm số theo chu trình N → Z → Q → R → C được thúc đẩy bởi sự phát triển của thực tế sản xuất và toán học. Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc đó cần các số tự nhiên. Số âm xuất hiện khi bắt đầu có chuyện nợ nần, có chuyện trừ số nhỏ cho số lớn. Số hữu tỷ xuất hiện khi phải thực hiện các phép chia … không hết.
Còn số vô tỷ xuất hiện khi người ta thấy cạnh huyền của tam giác vuông cân cạnh 1 không thể biểu diễn dưới dạng thương của hai số nguyên, và thuật ngữ số thực có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng có thực.
Rất thú vị là số phức xuất hiện không phải từ các phương trình bậc hai kiểu như \(x^2 + x + 1 = 0, x^2 + 1\) bằng 0.
Các phương trình này rõ ràng vô nghiệm và không có gì để bàn. Thế nhưng với phương trình \(x^3 -3x + 1\) thì khác.
Có thể chứng minh được rằng phương trình này có đến 3 nghiệm. Vậy mà phương pháp Cardano không áp dụng được do Δ < 0. Số phức xuất hiện để giải quyết nghịch lý này. Ta dùng số phức, dùng nghiệm phức để cuối cùng tìm ra các nghiệm thực.
Tựa như con kiến đang đi trên một đường thẳng thì gặp một vũng nước lớn ngáng đường. Có con kiến sẽ quay trở lại, có con kiến đi vào nước để bị chìm, nhưng có con kiến biết đi vòng (sang hiều thứ hai) để sau đó quay trở lại với con đường cũ.
2. Dạng đại số của số phức
Số phức là các số có dạng a + bi trong đó a, b là các số thực, còn i là đơn vị ảo. Tập hợp tất cả các số phức được ký hiệu là C. Vậy
C = { a + bi | a, b ∈ R}
Trên tập hợp C, ta định nghĩa các phép toán cộng và nhân số phức như sau
(a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
(a + bi).(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i
Dễ dàng kiểm tra được các phép toán + và . đều có tính giao hoán và kết hợp. Phép cộng có phần tử trung hoà là 0 và phép nhân có phần tử trung hoà là 1.
Từ định nghĩa ta suy ra \(i^2 = (0 + 1.i).(0 + 1.i) = (0.0-1.1) + (0.1+0.1)i = -1.\)
Các số phức thường được ký hiệu ngắn gọn bằng chữ cái z. Ta thường viết “Cho số phức z = a + bi”.
Với số phức z = a + bi thì a được gọi là phần thực của z và được ký hiệu là a = Re(z), b được gọi là phần ảo của z và được ký hiệu là b = Im(z).
Với số phức z = a + bi thì số phức được gọi là phức liên hợp của z. Ta có các tính chất cơ bản sau đây:
1. \( z + \overline{z} = 2a; z.\overline{z} = a^2 + b^2\)
2. \(\overline{z + z’} = \overline{z} + \overline{z’}; \overline{z.z’} = \overline{z}.\overline{z’}\)
Đại lượng được gọi là mô-đun của số phức z và được ký hiệu là |z|. Ta có các tính chất cơ bản sau (chứng minh!)
|z.z’| = |z|.|z’|, |z + z’| ≤ |z| + |z’|
Một một số phức z khác 0 đều có nghịch đảo của nó. Cụ thể từ đẳng thức ta dễ dàng suy ra
\(z^{-1} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\)
Từ đây ta cũng suy ra quy tắc chia hai số phức như sau:
\(\frac{z}{z’} = z.z’^{-1} = \frac{z.\overline{z’}}{|z’|^2}\)
Phép luỹ thừa các số phức được thực hiện bằng phép nhân tuần tự.
Cuối cùng, ta xét bài toán khai căn số phức. Ví dụ, tìm căn bậc hai của số phức 1 + i, tức là tìm số phức z = x + iy sao cho \(z^2 = 1 + i\). Ta có
\(z^2 = 1 + i ⇔ x^2 – y^2 + i.2xy = 1 + i\)
\(⇔ x^2 – y^2 = 1, 2xy = 1.\)
Giải hệ này ta tìm được 2 giá trị của z là \(z = ±\frac{1}{2}(\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} + i\sqrt{-2 + 2\sqrt{2}})\)
Bằng phương pháp này, ta có thể tìm được căn bậc hai của một số phức z bất kỳ. Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp tương tự cho các căn bậc lớn hơn gặp nhiều khó khăn. Rất may mắn là để giải quyết vấn đề căn bản này, ta có thể sử dụng dạng lượng giác.
3. Dạng lượng giác của số phức
Số phức z = a + bi có thể biểu diễn như điểm M có toạ độ (a, b) trong mặt phẳng Oxy. Ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo và Oxy là mặt phẳng phức. Đặt và gọi φ là góc giữa OM và Ox thì ta có: a = rcosφ, b = rsinφ
Từ đó z = r(cosφ + isinφ). Đây chính là dạng lượng giác của số phức z. Góc φ được gọi là argument của số phức z.
Để thấy rõ sự tiện lợi của dạng lượng giác, ta hãy xem kết quả của phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác. Giả sử z = r(cosφ + isinφ), z’ = r’(cosφ’ + isinφ’) thì z.z’ = r(cosφ + isinφ)* r’(cosφ’ + isinφ’) = rr’[(cosφcosφ’ – sinφsinφ’) + i(cosφsinφ’ + cosφ’sinφ)] = r[cos(φ+φ’) + isin(φ+φ’)].
Như vậy phép nhân hai số phức ở dạng lượng giác rất đơn giản: các môđun được nhân với nhau và các argument được cộng với nhau. Tương tự với phép nghịch đảo và phép chia:
Nếu áp dụng tuần tự quy tắc nhân nói trên, ta dễ dàng chứng minh được công thức sau
[r(cosφ + isinφ)]n = rn(cos nφ + sin nφ)Công thức này được gọi là công thức Moivre.
Từ đó Chính sự đơn giản của phép luỹ thừa sẽ giúp chúng ta có thể khai căn được các số phức.
Giả sử ta cần tìm căn bậc n của số phức z = r(cosφ + isinφ). Ta tìm căn dưới dạng w = ρ(cosζ + isinζ). Theo định nghĩa, w là căn bậc n của z khi và chỉ khi wn = z. Từ đó, áp dụng công thức Moivre, ta được: ρn(cosnζ + isinnζ) = r(cosφ + isinφ). Từ đó suy ra:
\(ρ = \sqrt[n]{r}, nζ = φ + 2kπ ⇔ ζ = \frac{φ}{n} + \frac{2kπ}{n}\)
với k nguyên. Do tính tuần hoàn của hàm số sinx và cosx, các giá trị k cách nhau một bội số của sẽ cho ta các số phức w bằng nhau, vì vậy chỉ cần chọn k = 0, 1, …, n-1 là đủ. Ta có thể kết luận
Định lý: Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. z = r(cosφ + isinφ) với r ≠ 0 là một số phức. Khi đó có đúng n căn bậc n của z.
Bài Tập SGK Bài 4 Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực
Hướng dẫn làm bài tập sgk bài 4 phương trình bậc hai với hệ số thực chương 4 số phức. Bài giúp các bạn tìm hiểu phương trình bậc hai với hệ số thực và nhận xét về nghiệm phương trình bậc hai trên tập số phức.
Bài Tập 1 Trang 140 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.
Bài Tập 2 Trang 140 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a. \(-3z^2+ 2z – 1 = 0\)
b. \(7z^2+ 3z +2 = 0\)
c. \(5z^2 – 7z + 11 = 0\)
Bài Tập 3 Trang 140 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a. \(z^4 + z^2 – 6 = 0\)
b. \(z^4 + 7z^2 + 10 = 0\)
Bài Tập 4 Trang 140 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho \(a, b, c ∈ R, a ≠ 0, z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(az^2 + bz + c = 0\)
Hãy tính \(z_1 + z_2\) và \(z_1.z_2\) theo các hệ số a, b, c.
Bài Tập 5 Trang 140 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và \(\overline{z}\) làm nghiệm.
Trên Là Nội Dung Lý Thuyết Bài 4: Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực – Chương 4: Số Phức – Giải Tích Lớp 12. Bài Học Giúp Các Bạn Tìm Hiểu Phương Trình Bậc Hai Với Hệ Số Thực Và Nhận Xét Về Nghiệm Phương Trình Bậc Hai Trên Tập Số Phức. Bạn Thấy Nội Dung Bài Học Này Thế Nào, Để Lại Ý Kiến Đóng Góp Ngay Bên Dưới Nhé.
Trả lời