Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 4: Vi Phân
Nội dung Bài 4: Vi Phân thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Vi phân à một khái niệm mới và đặc biệt xây dựng trên nền tảng đạo hàm. Vì thế bài này yêu cầu các bạn nắm được khái niệm và biết tính vi phân của một hàm số. Đây là một dạng toán khá là cơ bản giúp các bạn làm quen dần các bài toán nguyên hàm, tích phân trong chương trình học Giải Tích Lớp 12. Trong bài học các bạn sẽ được tiếp cận một số ví dụ giúp giải quyết nhanh các bài tập trong sách giáo khoa.
1. Định nghĩa
Câu hỏi 1 bài 4 trang 170 SGK đại số & giải tích lớp 11: Cho hàm số \(\)\(f(x) = \sqrt{x}, x_0 = 4\) và \(Δx = 0,01\). Tính \(f'(x_0)Δx\).
Giải:
Tính f'(x), suy ra \(f'(x_0)\) và \(f'(x_0)Δx\).
\(f'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(⇒ f'(x_0) = \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)
\(⇒ f'(x_0)Δx = \frac{1}{4}.0,01 = 0,0025\)
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử Δx là số gia của x.
Ta gọi tích \(f'(x)Δx\) là vi phân của hàm số \(y = f(x)\) tại x ứng với số gia Δx, kí hiệu là \(df(x)\) hoặc dy, tức là \(dy = df(x) = f'(x)Δx.\)
Chú ý:
Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số \(y = x\), ta có \(dx = d(x) = (x)’Δx = 1.Δx = Δx.\)
Do đó, với hàm số \(y = f(x)\) ta có \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)
Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số sau:
a. \(y = x^3 – 5x + 1\)
b. \(y = sin^3x\)
Giải:
a. \(y = x^3 – 5x + 1, y’ = 3x^2 – 5\)
Vậy \(dy = d(x^3 – 5x + 1) = y’dx = (3x^2 – 5)dx\)
b. \(y = sin^3x, y’ = 3sin^2xcosx\)
Vậy \(dy = d(sin^3x) = y’dx = 3sin^2xcosxdx.\)
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Theo định nghĩa của đạo hàm, ta có
\(f'(x_0) = \mathop {\lim}\limits_{Δx → 0}\frac{Δy}{Δx}\).
Do đó với |Δx| đủ nhỏ thì \(\frac{Δy}{Δx} ≈ f'(x_0)\) hay \(Δy ≈ f'(x_0)Δx\)
Từ đó, ta có \(f(x_0 + Δx) – f(x_0) ≈ f'(x_0)Δx\)
hay \(f(x_0 + Δx) ≈ f(x_0) + f'(x_0)Δx\)
Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng của \(\sqrt{3,99}\).
Giải: Đặt \(f(x) = \sqrt{x}\), ta có \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Theo công thức tính gần đúng, với \(x_0 = 4, Δx = -0,01\) ta có
\(f(3,99) = f(4 – 0,01) ≈ f(4) + f'(4)(-0,01)\), tức là \(\sqrt{3,99} = \sqrt{4 – 0,01} ≈ \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}}.(-0,01) = 1,9975.\)
Bài Tập SGK Bài 4: Vi Phân
Hướng dẫn giải bài tập sách giao Bài 4: Vi Phân thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 171 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm vi phân của các hàm số sau:
a. \(y = \frac{\sqrt{x}}{a + b}\) (a, b là các hằng số)
b. \(y = (x^2 + 4x + 1)(x^2 – \sqrt{x})\)
Bài Tập 2 Trang 171 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm dy, biết:
a. \(y = tan^2x\)
b. \(y = \frac{cosx}{1 – x^2}\)
Ở trên là nội dung Bài 4: Vi Phân thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Qua bài học giúp các bạn nắm vững định nghĩa vi phân của một hàm số, nắm công thức ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng. Về kỹ năng giúp các bạn tính được vi phân của một số hàm số cơ bản. Áp dụng công thức tính gần đúng vào tính gần đúng giá trị của một số. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời