Chương V: Đạo Hàm – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 5: Đạo Hàm Cấp Hai
Nội dung Bài 5: Đạo Hàm Cấp Hai thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Mục đích bài học giúp các bạn định nghĩa và công thức tính đạo hàm cấp hai. Kỹ năng nắm được định nghĩa đạo hàm cấp 2, biết cách tính đạo hàm cấp 2 và cấp n. Từ đó tư duy thuật toán, tư duy suy luận, khái quát vấn đề, khả năng áp dụng lí thuyết vào thực tế. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Định Nghĩa
Câu hỏi 1 bài 5 trang 172 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tính y’ và đạo hàm của y’, biết:
a. \(\)\(y = x^3 – 5x^2 + 4x\)
b. \(y = sin3x\)
Giải:
Phương pháp giải:
- Công thức đạo hàm các hàm số cơ bản.
- Đạo hàm hàm số lượng giác.
Câu a: \(y = x^3 – 5x^2 + 4x\)
\(y’ = (x^3 – 5x^2 + 4x)’ = 3x^2 – 10x + 4\)
\((y’)’ = (3x^2 – 10x + 4)’ = 6x – 10\)
Câu b: \(y = sin3x\)
\(y’ = (sin3x)’ = 3cos3x\)
\((y’)’ = (3cos3x)’ = -9sin3x\)
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x ∈ (a; b)\). Khi đó, hệ thức \(y’ = f'(x)\) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số \(y’ = f'(x)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f(x)\) tại x và kí hiệu là y” hoặc \(f”(x)\).
Chú ý:
- Đạo hàm cấp 3 của hàm số \(y = f(x)\) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”‘ hoặc \(f”‘(x)\) hoặc \(f^{(3)}(x)\).
- Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp \(n – 1\), kí hiệu là \(f^{(n – 1)}(x) (n ∈ N, n ≥ 4)\). Nếu \(f^{(n – 1)}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu là \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x)\).
\(f^{(n)}(x) = (f^{(n – 1)}(x))’\)
Ví dụ: Với \(y = x^5\) thì
\(y’ = 5x^4, y” = 20x^3, y”‘ = 60x^2\)
\(y^{(4)} = 120x, y^{(5)} = 120\) và \(y^{(n)} = 0\) với \(n > 5\).
II. Ý Nghĩa Cơ Học Của Đạo Hàm Cấp Hai
Câu hỏi 2 bài 5 trang 173 SGK đại số & giải tích lớp 11: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình \(s = \frac{1}{2}gt^2\) (trong đó \(g ≈ 9,8m/s^2\)). Hãy tính vận tốc tức thời v(t) tại các thời điểm \(t_0 = 4s; t_1 = 4,1s\). Tính tỉ số \(\frac{Δv}{Δt}\) trong khoảng \(Δt = t_1 – t_0\).
Phương pháp giải:
Vân tốc \(v(t) = \frac{S(t)}{t}\).
Thay các giá trị \(t_0\) và \(t_1\) vào v(t).
Tính \(\frac{Δv}{Δt} = \frac{v(t_1) – v(t_0)}{t_1 – t_0}\)
Giải:
\(v(t) = \frac{s}{t} = \frac{\frac{1}{2}gt^2}{t} = \frac{1}{2}gt\)
\(⇒ \begin{cases}v(t_0) = \frac{s}{t_0} = \frac{\frac{1}{2}gt_0^2}{t_0} = \frac{1}{2}gt_0 =\frac{1}{2}.9,8.4 = 19,6(m/s)\\v(t_1) = \frac{s}{t_1} = \frac{\frac{1}{2}gt_1^2}{t_1} = \frac{1}{2}gt_1 = \frac{1}{2}.9,8.4,1 = 20,09\end{cases}\)
\(\frac{Δv}{Δt} = \frac{v(t_1) – v(t_0)}{t_1 – t_0} = \frac{20,09 – 19,6}{4,1 – 4} = 4,9\)
Xét chuyển động xác định bởi phương trình \(s = f(t)\), trong đó \(s = f(t)\) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là \(v(t) = f'(t)\).
Lấy số gia Δt tại t thì v(t) có số gia tương ứng là Δv.
Tỉ số \(\frac{Δv}{Δt}\) được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Δt. Nếu tồn tại \(v'(t) = \mathop {\lim}\limits_{Δt → 0}\frac{Δv}{Δt} = γ(t)\), ta gọi \(v'(t) = γ(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
Vì \(v(t) = f'(t)\) nên
\(γ(t) = f”(t)\)
1. Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức tức thời của chuyển động \(s = f(t)\) tại thời điểm t.
Câu hỏi 3 bài 5 trang 173 SGK đại số & giải tích lớp 11: Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do \(s = \frac{1}{2}gt^2\).
Giải:
Gia tốc chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường.
\(s” = (\frac{1}{2}gt^2)” = (gt)’ = g = 9,8(m/s^2)\)
2. Ví dụ
Xét chuyển động có phương trình \(s(t) = Asin(ωt + φ)\) (A, ω, φ là những hằng số).
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động.
Giải: Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t, ta có \(v(t) = s'(t) = [Asin(ωt + φ)]’ = Aωcos(ωt + φ)\).
Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là \(γ(t) = s”(t) = v'(t) = -Aω^2sin(ωt + φ)\).
Bài Tập SGK Bài 5: Đạo Hàm Cấp Hai
Hướng dẫn giải bài tập sách giao Bài 5: Đạo Hàm Cấp Hai thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 174 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
a. Cho \(f(x) = (x + 10)^6\). Tính \(f”(2)\).
b. Cho \(f(x) = sin3x\). Tính \(f”(-\frac{π}{2}), f”(0), f”(\frac{π}{18})\)
Bài Tập 2 Trang 174 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a. \(y = \frac{1}{1 – x}\)
b. \(y = \frac{1}{\sqrt{1 – x}}\)
c. \(y = tanx\)
d. \(y = cos^2x\)
Ở trên là nội dung Bài 5: Đạo Hàm Cấp Hai thuộc Chương V: Đạo Hàm môn Đại Số & Giải Tích Lớp 11. Bài học giới thiệu các bạn khái niệm đạo hàm cấp hai của hàm số và mở rộng ra khái niệm đạo hàm cấp cao. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số. Chúc các bạn học tốt Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời