Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11
Bài 5: Khoảng Cách
Nội dung Bài 5: Khoảng Cách thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được khái niệm Khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian và phương pháp xác định khoảng cách giữa chúng. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan Khoảng cách, trọng tâm là xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
I. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng, Đến Một Mặt Phẳng
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O, a) gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a (Hình 3.38), kí hiệu là d(), a).
Câu hỏi 1 bài 5 trang 115 SGK hình học lớp 11: Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a.
Giải:
Dựa vào mối quan hệ đường xiên và đường vuông góc.
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là OH (H là hình chiếu vuông góc của O trên a).
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các
khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) (Hình 3.39) và được kí hiêu là d(O; (α)).
Câu hỏi 2 bài 5 trang 115 SGK hình học lớp 11: Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Giải:
Sử dụng mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông.
Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α) ⇒ OH bằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)
M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).
Tam giác OMH vuông tại H nên OH < OM.
Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
II. Khoảng Cách Giữa Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song, Giữa Hai Mặt Phẳng Song Song
1. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Định nghĩa: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm đến bất kì của a đến mặt phẳng (α), kí hiệu là d(a, (α)) hình 3.40.
Câu hỏi 3 bài 5 trang 116 SGK hình học lớp 11: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).
Phương pháp giải:
– Sử dụng lý thuyết: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng các từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
– Sử dụng kết quả từ Câu hỏi 2 trang 115 SGK Hình học 11.
Giải:
Lấy điểm A ∈ a, A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ⇒ AA’ bằng khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α).
Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).
2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia (Hình 3.41).
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau là d((α), (β)). Khi đó d((α), (β)) = d(M, (β)) với M ∈ (α), và d((α), (β)) = d(M’, (α)) với M’ ∈ (β) (Hình 3.41).
Câu hỏi 4 bài 5 trang 116 SGK hình học lớp 11: Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
Phương pháp giải:
– Sử dụng lý thuyết: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
– Sử dụng kết quả có được ở Câu hỏi 2 trang 115 SGK Hình Học 11.
Giải:
Hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên có 1 đường thằng a ∈ (α) và a // (β).
⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
III. Đường Vuông Góc Chung Và Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Câu hỏi 5 bài 5 trang 116 SGK hình học lớp 11: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD.
Chứng minh rằng: MN ⊥ BC và MN ⊥ AD (Hình 3.42).
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của tứ diện đều và các tam giác đều trong hình, kết hợp tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Giải:
Tứ diện đều ABCD nên các mặt của tứ diện là các tam giác đều bằng nhau
NB = NC vì là trung tuyến của hai tam giác đều bằng nhau
⇒ ΔBNC cân tại N
NM là đường trung tuyến của tam giác cân BNC
⇒ MN ⊥ BC
Lại có: Các tam giác ABD, ACD đều nên CN ⊥ AD và BN ⊥ AD.
Từ đó AD ⊥ (BNC) hay AD ⊥ MN.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1. Định nghĩa
a. Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thắng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
b. Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b (hình 3.43).
2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a, a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (β).
Vì a // (β) nên a // a’. Do đó a’ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và a’, Δ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (β). Khi đó (α) vuông góc với (β). Như vậy Δ nằm trong (α) nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời Δ cũng vuông góc với cả a và b. Do đó Δ là đường vuông góc chung của a và b (hình 3.44).
3. Nhận xét
a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó (Hình 3.45).
Câu hỏi 6 bài 5 trang 118 SGK hình học lớp 11: Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.
Phương pháp giải:
– Sử dụng lý thuyết: hoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
– Sử dụng Câu 3 trang 116 SGK Hình Học 11.
Giải:
Ta có: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
Mà khoảng cách từ đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến (α) nên ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.
Giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng (SAC) vẽ OH ⊥ SC (Hình 3.46).
Ta có BD ⊥ AC và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ OH.
Mặt khác OH ⊥ SC. Vậy OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD.
Độ dài đoạn OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.
Hai tam giác vuông SAC và OHC đồng dạng vì có chung góc nhọn C.
Do đó \(\)\(\frac{SA}{SC} = \frac{OH}{OC} (= sinC)\)
Vậy \(OH = \frac{SA.OC}{SC}\)
Ta có \(SA = a, OC = \frac{a\sqrt{2}}{2},\)
\(SC = \sqrt{SA^2 + AC^2}\)
\(= \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}\)
nên \(OH = \frac{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD là \(OH = \frac{a\sqrt{6}}{6}\)
Bài Tập Bài 5: Khoảng Cách
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 5: Khoảng Cách thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 119 SGK Hình Học Lớp 11
Trong các mệnh để sau đây, mệnh để nào là đúng?
a. Đường thẳng A là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ vuông góc với a và Δ vuông góc với b;
b. Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó dường vuông góc chung Δ của a và b luôn luôn vuông góc với (P);
c. Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ);
d. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b ;
e. Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
Bài Tập 2 Trang 119 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
c. Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài Tập 3 Trang 119 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.
Bài Tập 4 Trang 119 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c.
a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’.
Bài Tập 5 Trang 119 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình lập phương \(\)\(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh a.
a. Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’).
b. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (SA’C’) và (ACD’).
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài Tập 6 Trang 119 SGK Hình Học Lớp 11
Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường thẳng vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.
Bài Tập 7 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).
Bài Tập 8 Trang 120 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó.
Trên là lý thuyết Bài 5: Khoảng Cách thuộc Chương III: Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11. Qua bài học giúp các bạn nắm các khái niệm và định nghĩa cơ bản về khoảng cách trong không gian, phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Trả lời