Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài 5 Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian
Nội dung Bài 5: Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Toán Hình Học Lớp 11, sẽ trang bị cho các bạn những nội dung cần thiết để vẽ hình sao cho chính xác qua đó sẽ giúp cho việc giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.
I. Phép Chiếu Song Song
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng Δ cắt (α).
Với mỗi điểm M trong không gian, đường thắng đi qua M và song song hoặc trùng với Δ sẽ cắt (α) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (α) theo phương của đường thẳng Δ hoặc nói gọn là theo phương Δ (Hình 2.61).
Mặt phẳng (α) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương Δ gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu song song lên (α) theo phương Δ.
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp H’ các hình chiếu M’ của tất cả những điểm M thuộc H được gọi là hình chiếu của H qua phép chiếu song song nói trên.
Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.
II. Các Tính Chất Của Phép Chiếu Song Song
Định lí 1:
a. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó (Hình 2.62).
b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (Hình 2.63 và Hình 2.64).
d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng (Hình 2.65 và Hình 2.66).
Câu hỏi 1 bài 5 trang 73 SGK hình học lớp 11: Hình chiếu Song song của một hình vuông có thể là hình bình hành được không?
Giải:
Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành.
Câu hỏi 2 bài 5 trang 73 SGK hình học lớp 11: Hình 2.67 có thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều được không? Tại sao?
Giải:
Hình 2.67 không thể là hình chiếu song song của hình lục giác đều vì:
Lục giác đều ABCDEF có O là giao điểm các đường chéo
Ta có: AO // BC
Trên hình 2.67 không biểu diễn được điều đó.
(Phép chiếu song song biến hai đường thằng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau)
III. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian Trên Mặt Phẳng
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Câu hỏi 3 bài 5 trang 74 SGK hình học lớp 11: Trong các hình 2.68, hình nào biểu diễn cho hình lập phương?
Giải: Hình a biểu diễn hình lập phương.
Hình biểu diễn của các hình thường gặp
Tam giác. Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tuỳ ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, v,v…) (Hình 2.69).
Hình bình hành. Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật …) (Hình 2.70).
Hình thang. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tuỳ ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.
Hình tròn. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn (Hình 2.71).
Câu hỏi 4 bài 5 trang 75 SGK hình học lớp 11: Các hình 2.69a, 2.69b, 2.69c là hình biểu diễn của các tam giác nào?
Giải:
Hình 2.69a là hình biểu diễn của tam giác đều.
Hình 2.69b là hình biểu diễn của tam giác cân.
Hình 2.69c là hình biểu diễn của tam giác vuông.
Câu hỏi 5 bài 5 trang 75 SGK hình học lớp 11: Các hình 2.70a, 2.70b, 2.70c, 2.70d là hình biểu diễn của các hình bình hành nào (hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật)?
Giải:
Hình 2.70a biểu diễn hình bình hành.
Hình 2.70b biểu diễn hình vuông.
Hình 2.70c biểu diễn hình thoi.
Hình 2.70d biểu diễn hình chữ nhật.
Câu hỏi 6 bài 5 trang 75 SGK hình học lớp 11: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau. Đường thẳng a cắt (α) và (β) lần lượt tại A và C. Đường thẳng b song song với a cắt (α) và (β) lần lượt tại B và D.
Hình 2.72 minh hoạ nội dung nêu trên đúng hay sai?
Giải:
Sử dụng định lí 3 trang 67: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song.
Sai vì theo đề bài ta có: (α) // (β)
a // b nên A, B, C, D thuộc cùng một mặt phẳng (ABCD).
AB là giao tuyến của (α) và (ABCD)
CD là giao tuyến của (β) và (ABCD)
⇒ AB // CD (theo định lí 3 trang 67)
Hình 2.72 không biểu diễn được AB // CD.
Cách biểu diễn ngũ giác đều
Một tam giác bất kì có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác đều. Một hình bình hành có thể coi là hình biểu diễn của một hình vuông. Đối với ngũ giác đều, hình biểu diễn như thế nào?
Giả sử ta có ngũ giác đều ABCDE với các đường chéo AC và BD cắt nhau ở điểm M (hình 2.73). Ta thấy hai tam giác ABC và BMC là đồng dạng (tam giác cân có chung góc C ở đáy).
Ta có \(\)\(\frac{AC}{BC} = \frac{BC}{MC}\) (1)
Mặt khác vì tứ giác AMDE là hình thoi nên AM = AE = BC, do đó (1) \(⇔ \frac{AC}{AM} = \frac{AM}{MC}\)
Đặt AM = a, MC = x, ta có
\(\frac{a + x}{a} = \frac{a}{x} ⇔ x^2 + ax – a^2 = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix}x = \frac{a}{2}(\sqrt{5} – 1)\\ x = \frac{a}{2}(-\sqrt{5} – 1)(loại) \end{matrix}\)
Suy ra \(\frac{MC}{AM} = \frac{\sqrt{5} – 1}{2} ≈ \frac{2}{3}\) và \(\frac{BM}{MD} ≈ \frac{2}{3}.\)
Các tỉ số này giữ nguyên trên hình biểu diễn. Để xác định hình biểu diễn, ta vẽ một hình bình hành \(A_1M_1D_1E_1\) bất kì làm hình biểu diễn của hình thoi AMDE (Hình 2.74). Sau đó kéo dài cạnh \(A_1M_1\) một đoạn \(M_1C_1 = \frac{2}{3}M_1A_1\) và kéo dài cạnh \(D_1M_1\) thêm một đoạn \(M_1B_1 = \frac{2}{3}M_1D_1\).
Nối các điểm \(A_1, B_1, C_1, D_1, E_1\) theo thứ tự đó ta được hình biểu diễn của một ngũ giác đều.
Ở trên là nội dung Bài 5: Phép Chiếu Song Song. Hình Biểu Diễn Của Một Hình Không Gian thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song môn Toán Hình Học Lớp 11, sẽ trang bị cho các bạn những nội dung cần thiết để vẽ hình sao cho chính xác qua đó sẽ giúp cho việc giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn. Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài Tập Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song
- Bài 4: Hai Mặt Phẳng Song Song
- Bài 3: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
- Bài 2: Hai Đường Thẳng Chéo Nhau Và Hai Đường Thẳng Song Song
- Bài 1: Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
Trả lời