Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit
Nội dung Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Giải Tích Lớp 12, sẽ giới thiệu đến các bạn học sinh cách giải phương trình mũ và phương trình lôgarit. Như đưa về cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa, đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Những ví dụ mình họa trong bài học và các bài tập bên dưới đây sẽ giúp các em hiểu hơn về cách giải phương trình mũ và lôgarit.
I. Phương Trình Mũ
Bài toán: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/Năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
Giải: Gọi số tiền gửi ban đầu là P. Sau n năm, số tiền thu được là
\(\)\(P_n = P(1 + 0,084)^n = P(1,084)^n\)Để \(P_n = 2P\) thì phải có \((1,084)^n = 2\)
Do đó: \(n = log_{1, 084}2 ≈ 8,59\)
Vì n là số tự nhiên nên ta chọn n = 9.
Vậy muốn thu được gấp đôi số tiền ban đầu, người đó phải gửi 9 năm.
Những bài toán thực tế như trên đưa đến việc giải các phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của lũy thừa. Ta gọi đó là các phương trình mũ.
Chẳng hạn, các phương trình \(3^x = 8, (\frac{1}{9})^x – \frac{4}{3^x} + 3 = 0\) là những phương trình mũ.
1. Phương trình mũ cơ bản
Phương trình mũ cơ bản có dang: \(a^x = b (a > 0, a ≠ 1)\).
Để giải phương trình trên, ta sử dụng định nghĩa Lôgarit.
Với b > 0, ta có \(a^x = b ⇔ x = log_ab\)
Với b ≤ 0, phương trình vô nghiệm.
Minh họa bằng đồ thị
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = a^x\) và \(y = b\) là nghiệm của phương trình \(a^x = b\).
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị.
Rõ ràng, nếu b ≤ 0 thì hai đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm.
Nếu b > 0 ta có hai đồ thị trên các hình 37 và 38. Trên mỗi hình, hai đồ thị luôn cắt nhau tại một điểm nên phương trình có nghiệm duy nhất.
Kết luận
Phương trình \(a^x = b (a > 0, a ≠ 1)\) | |
\(b > 0\) | có nghiệm duy nhất \(x = log_ab\) |
\(b ≤ 0\) | vô nghiệm |
Ví dụ 1: Giải phương trình \(2^{2x – 1} + 4^{x + 1} = 5\).
Giải: Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được
\(\frac{1}{2}4^x + 4.4^x = 5\) hay \(4^x = \frac{10}{19}\)
Vậy \(x = log_4\frac{10}{9}\)
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản
Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình mũ.
a. Đưa về cùng cơ số
Câu hỏi 1 bài 5 trang 81 SGK giải tích lớp 12: Giải phương trình \(6^{2x – 3} = 1\) bằng cách đưa về dạng \(a^{A(x)} = a^{B(x)}\) và giải phương trình \(A(x) = B(x)\).
Giải: \(6^{(2x – 3)} = 1 ⇔ 6^{(2x – 3)} = 6^0\)
\(⇔ 2x – 3 = 0 ⇔ x = \frac{3}{2}\)
Ví dụ 2: Giải phương trình \((1,5)^{5x – 7} = (\frac{2}{3})^{x + 1}\)
Giải: Đưa hai vế về cùng cơ số \(\frac{3}{2}\), ta được:
\((\frac{3}{2})^{5x – 7} = (\frac{3}{2})^{-x – 1}\)
Do đó \(5x – 7 = -x – 1 ⇔ x = 1\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 1\).
B. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 3: Giải phương trình \(9^x – 4.3^x – 45 = 0\).
Giải: Đặt \(t = 3^x\), ta có phương trình
\(t^2 – 4t – 45 = 0, t > 0\)
Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm \(t_1 = 9, t_2 = -5\).
Chỉ có nghiệm \(t_1 = 9\) thỏa mãn điều kiện \(t > 0\).
Vậy \(3^x = 9\), do đó \(x = 2\).
Câu hỏi 2 bài 5 trang 82 SGK giải tích lớp 12: Giải phương trình \(\frac{1}{5}.5^{2x} + 5.5^x = 250\) bằng cách đặt ẩn phụ \(t = 5^x\).
Giải: Đặt \(t = 5^x\), ta có:
\(\frac{1}{5}t^2 + 5t = 250\)
\(⇔ t^2 + 25t – 1250 = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} t = 25 \\ t = -50 (loại) \\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ 5^x = 25 ⇔ x = 2\)
c. Lôgarit hóa
Ví dụ 4: Giải phương trình \(3^x.2^{x^2} = 1\)
Giải: Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là Lôgarit hóa), ta được
\(log_3(3^x.2^{x^2}) = log_31 ⇔ log_33^x + log_32^{x^2} = 0\)
Từ đó ta có: \(x + x^2log_32 = 0 ⇔ x(1 + xlog_32) = 0\)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là
\(x_1 = 0 và x_2 = -\frac{1}{log_32} = -log_23\)
II. Phương Trình Lôgarit
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
Chẳng hạn, các phương trình
\(log_{\frac{1}{2}}x = 4\) và \(log_4^2x – 2log_4x + 1 = 0\) là những phuong trình lôgarit.
1. Phương trình lôgarit cơ bản
Câu hỏi 3 bài 5 trang 82 SGK giải tích lớp 12: Bằng định nghĩa lôgarit, hãy tính x, biết rằng \(log_3x = \frac{1}{4}\).
Giải: Sử dụng định nghĩa lôgarit \(log_ax = n ⇔ x = a^n\)
Theo định nghĩa lôgarit ta có: \(x = 3^{\frac{1}{4}}\)
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: \(log_ax = b (a > 0, a ≠ 1)\)
Theo định nghĩa lôgarit, ta có: \(log_ax = b ⇔ x = a^b\).
Minh họa bằng đồ thị
Vễ đồ thị hàm số \(y = log_ax\) và đường thẳng \(y = b\) trên cùng một hệ trục tọa độ (Hình 39 và hình 40).
Trong cả hai trường hợp ta đều thấy đồ thị của hàm số \(y = log_ax\) và đường thẳng \(y = b\) luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b ∈ R.
Kết luận: Phương trình \(log_ax = b (a > 0. a ≠ 1)\) luôn có nghiệm duy nhất \(x = a^b\) với mọi b.
2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản
Người ta thường sử dụng các phương pháp sau để giải một số phương trình lôgarit.
a. Đưa về cùng cơ số
Câu hỏi 4 bài 5 trang 83 SGK giải tích lớp 12: Cho phương trình \(log_3x + log_9x = 6\). Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số.
Giải: Sử dụng lý thuyết \(log_{a^n}b = \frac{1}{n}log_ab\)
\(log_9x – log_{3^2}x = \frac{1}{2}log_3x\)
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\(log_3x + \frac{1}{2}log_3x = 6\)
Ví dụ 5: Giải phương trình \(log_3x + log_9x + log_{27}x = 11\).
Giải: Đưa các số dạng ở vế trái về cùng cớ số 3, ta được:
\(log_3x + log_{3^2}x + log_{3^3}x = 11\)
\(⇔ log_3x + \frac{1}{2}log_3x + \frac{1}{3}log_3x = 11 ⇔ log_3x = 6\)
Đây là phương trình lôgarit cơ bản.
Vậy \(x = 3^6 = 729\)
b. Đặt ẩn phụ
Câu hỏi 5 bài 5 trang 84 SGK giải tích lớp 12: Giải phương trình \(log_2^2x – 3log_2x + 2 = 0\) bằng cách đặt ẩn phụ \(t = log_2x\).
Giải:
– Thay \(x = log_2x\) vào phương trình đưa về phương trình ẩn t.
– Giải phương trình tìm t và suy ra x.
Với \(t = log_2x\). Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\(t^2 – 3t + 2 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} t = 1 \\ t = 2\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} log_2x = 1 \\ log_2x = 2\\ \end{gathered} \right.\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = 2 \\ x = 4\\ \end{gathered} \right.\)
Ví dụ 6: Giải phương trình \(\frac{1}{5 – logx} + \frac{2}{1 + logx} = 1\).
Giải: Để phương trình có nghĩa, ta phải có x > 0, logx ≠ 5 và logx ≠ -1.
Đặt t = logx (t ≠ 5, t ≠ -1), ta được phuong trình
\(\frac{1}{5 – t} + \frac{2}{1 + t} = 1\)
Từ đó ta có phương trình
\(1 + t + 2(5 – t) = (5 – t)(1 + t)\)
\(⇔ -t + 11 = -t^2 + 4t + 5\)
\(⇔ t^2 – 5t + 6 = 0\)
Giải phương trình bậc hai theo t, ta được hai nghiệm \(t_1 = 2, t_2 = 3\) đều thỏa mãn điều kiện \(t ≠ 5, t ≠ -1\).
Vậy \(logx_1 = 2, logx_2 = 3\) nên \(x_1 = 100, x_2 = 1000\).
Câu hỏi 6 bài 5 trang 84 SGK giải tích lớp 12: Giải phương trình \(log_{\frac{1}{2}}x + log_2^2x = 2\).
Giải: Biến đổi các logarit về cùng cơ số 2.
\(log_{\frac{1}{2}}x + (log_2x)^2 = 2\) (Điều kiện: x > 0)
\(⇔ log_{2^{-1}} + (log_2x)^2 = 2\)
\(⇔ – log_2x + (log_2x)^2 = 2\)
\(⇔ (log_2x)^2 – log_2x – 2 = 0\)
Đặt \(t = log_2x\) phương trình trở thành:
\(t^2 – t – 2 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} t = -1 \\ t = 2\\ \end{gathered} \right.\)
Với \(t = -1\) thì \(log_2x = -1 ⇔ x = 2^{-1} = \frac{1}{2}\) (Thỏa mãn)
Với \(t = 2\) thì \(log_2x = 2 ⇔ x = 2^2 = 4\) (Thỏa mãn)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = {\frac{1}{2}; 4}\)
c. Mũ hóa
Ví dụ 7: Giải phương trình \(log_2(5 – 2^x) = 2 – x\)
Giải: Theo định nghĩa, phương trình đã cho tương đương với phương trình
\(2^{log_2(5 – 2^x)} = 2^{2 – x}\)
(Phép biến đổi này thường được gọi là mũ hóa). Từ đó ta có
\(5 – 2^x = \frac{4}{2^x} ⇔ 2^{2x} – 5.2^x + 4 = 0\)
Đặt \(t = 2^x (t > 0)\), ta có phương trình bậc hai \(t^2 – 5t + 4 = 0\) với hai nghiệm dương \(t = 1, t = 4\). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 0, x = 2\).
Bài Tập Bài 5: Phương Trình Mũ & Phương Trình Lôgarit
Hướng dẫn giải tập Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Giải Tích Lớp 12. Bài giúp các bạn tìm hiểu định nghĩa phương trình mũ và phương trình mũ cơ bản.
Bài Tập 1 Trang 84 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình mũ:
a. \((0,3)^{3x – 2} = 1\)
b. \((\frac{1}{5})^x = 25\)
c. \(2^{x^2 – 3x + 2} = 4\)
d. \((0,5)^{x + 7}.(0,5)^{1 – 2x} = 2\)
Bài Tập 2 Trang 84 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình mũ:
a. \(3^{2x – 1} + 3^{2x} = 108\)
b. \(2^{x + 1} + 2^{x – 1} + 2^x = 28\)
c. \(64^x – 8^x – 56 = 0\)
d. \(3.4^x – 2.6^x = 9^x\)
Bài Tập 3 Trang 84 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương tình Lôgarit:
a. \(log_3(5x + 3) = log_3(7x + 5)\)
b. \(log(x – 1) – log(2x – 11) = log2\)
c. \(log_2(x – 5) + log_2(x + 2) = 3\)
d. \(log(x^2 – 6x + 7) = log(x – 3)\)
Bài Tập 4 Trang 85 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các phương trình Lôgarit:
a. \(\frac{1}{2}log(x^2 + x – 5) = log5x + log\frac{1}{5x}\)
b. \(\frac{1}{2}log(x^2 – 4x – 1) = log8x – log4x\)
c. \(log_{\sqrt{2}}x + 4log_4x + log_8x = 13\)
Ở trên là nội dung Bài 5: Phương Trình Mũ Và Phương Trình Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp các bạn tìm hiểu định nghĩa phương trình mũ và phương trình có dạng.
Trả lời