Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit – Giải Tích Lớp 12
Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
Nội dung Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit môn Toán Giải Tích Lớp 12, giới thiệu đến các bạn cách giải của phương pháp bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit như đưa vế cùng cơ số, mũ hóa, lôgarit hóa hay đặt ẩn phụ, vận dụng tính chất hàm số. Trong các bài tập và ví dụ mình họa sẽ giúp các em hiều hơn về cách giải bất phương trình mũ và lôgarit.
I. Bất Phương Trình Mũ
1. Bất phương trình mũ cơ bản
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng \(a^x > b\) (hoặc \(a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b\)) với \(a > 0, a ≠ 1\).
Ta xét bất phương trình dạng \(a^x > b\).
Nếu \(b ≤ 0\), tập nghiệm của bất phương trình là R vì \(a^x > b; ∀ ∈ R\).
Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \(a^x > a^{log_ab}\)
Với \(a > 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x > log_ab\).
Với \(0 < a < 1\), nghiệm của bất phương trình là \(x < log_ab\).
Ví dụ 1:
a. \(3^x > 81 ⇔ x > log_381 ⇔ x > 4\)
b. \((\frac{1}{2})^x > 32 ⇔ x < log_{\frac{1}{2}}32 ⇔ x < -5\)
Minh họa bằng đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số \(y = a^x\) và đường thẳng \(y = b\) trên cùng một hệ trục tọa độ.
Trong trường hợp \(a > 1\) ta nhận thấy:
Nếu \(b ≤ 0\) thì \(a^x > b\) với mọi \(x\).
Nếu \(b > 0\) thì \(a^x > b\) với \(x > log_ab\) (Hình 41)
Trong trường hợp \(0 < a < 1\), ta có:
Nếu \(b ≤ 0\) thì \(a^x > b\) với mọi \(x\).
Nếu \(b > 0\) thì \(a^x > b\) với \(x < log_ab\) (Hình 42).
Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình \(a^x > b\) được cho trong bảng sau:
Câu hỏi 1 bài 6 trang 87 SGK giải tích lớp 12: Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình \(a^x ≥ b, a^x < b, a^x ≤ b\).
Giải:
\(a^x ≥ b\) | Tập nghiệm | Tập nghiệm |
\(a > 1\) | \(0 < a < 1\) | |
\(b ≤ 0\) | \(R\) | \(R\) |
\(b > 0\) | \([log_ab; +∞)\) | \((-∞, log_ab]\) |
\(a^x < b\) | Tập nghiệm | Tập nghiệm |
\(a > 1\) | \(0 < a < 1\) | |
\(b ≤ 0\) | Vô nghiệm | Vô nghiệm |
\(b > 0\) | \((-∞; log_ab)\) | \((log_ab; +∞]\) |
\(a^x ≤ b\) | Tập nghiệm | Tập nghiệm |
\(a > 1\) | \(0 < a < 1\) | |
\(b ≤ 0\) | Vô nghiệm | Vô nghiệm |
\(b > 0\) | \((-∞; log_ab]\) | \([log_ab; +∞)\) |
2. Một sô bất phương trình mũ đơn giản
Ví dụ 2: Giải bất phương trình \(3^{x^2 – x} < 9\).
Giải: Bất phương trình đã cho có thể viết ở dạng
\(3^{x^2 – x} < 3^2\)
Ví vơ số 3 lớn hơn 1 nên \(x^2 – x < 2\).
Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc. Giải bất phương trình này, ta được \(-1 < x < 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (-1; 2).
Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(4^x – 2.5^{2x} < 10^x\).
Giải: Chia hai vế của bất phương trình cho \(10^x\), ta được
\((\frac{2}{5})^x – 2(\frac{5}{2})^x < 1\)
Đặt \(t = (\frac{2}{5})^x (t > 0)\), ta có bất phương trình
\(t – \frac{2}{t} < 1\) hay \(\frac{t^2 – t – 2}{t} < 0\)
Giải bất phương trình này với điệu kiện \(t > 0\), ta được \(0 < t < 2\). Do đó
\(0 < (\frac{2}{5})^x < 2\)
Vì cơ số \(\frac{2}{5}\) nhỏ hơn 1 nên \(x > log_{\frac{2}{5}}2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((log_{\frac{2}{5}}2; +∞)\)
Câu hỏi 2 bài 6 trang 88 SGK giải tích lớp 12: Giải bất phương trình \(2^x + 2^{-x} – 3 < 0\).
Phương pháp giải: Đặt \(2^x = t\), giải bất phương trình ẩn t suy ra \(x\).
Giải: Bất phương trình \(⇔ 2^x + \frac{1}{2^x} – 3 < 0\)
Đặt \(2^x = t\). Điều kiện: \(t > 0\)
Ta có bất phương trình:
\(t + \frac{1}{t} – 3 < 0\)
\(⇔ \frac{t^2 – 3t + 1}{t} < 0\)
\(⇔ t^2 – 3t + 1 < 0\) (do t > 0)
\(⇔ \frac{3 – \sqrt{5}}{2} < t < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
\(⇔ \frac{3 – \sqrt{5}}{2} < 2^x < \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
\(⇔ log_2\frac{3 – \sqrt{5}}{2} < x < log_2\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
II. Bất Phương Trình Lôgarit
1. Bất phương trình lôgarit cơ bản
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng \(log_ax > b\) (hoặc \(log_ax ≥ b, log_ax < b, log_ax ≤ b\)) với \(a > 0, a ≠ 1\).
Xét bất phương trình \(log_ax > b\).
Trường hợp \(a > 1\), ta có
\(log_ax > b ⇔ x > a^b\)
Trường hợp \(0 < a < 1\), ta có
\(log_ax > b ⇔ 0 < x < a^b\)
Ví dụ:
a. \(log_2x > 7 ⇔ x > 2^7 ⇔ x > 128\)
b. \(log_{\frac{1}{2}}x > 3 ⇔ 0 < x < (\frac{1}{2})^3 ⇔ 0 < x < \frac{1}{8}\)
Minh họa bằng đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số \(y = log_ax\) và đường thẳng \(y = b\) trên cùng một hệ trục tọa độ (Hình 43, Hình 44)
Quan sát đồ thị, ta thấy:
Trường hợp \(a > 1: log_ax > b\) khi và chỉ khi \(x > a^b\).
Trường hợp \(0 < a < 1: log_ax > b\) khi và chỉ khi \(0 < x < a^b\).
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình \(log_ax > b\) được cho trong bảng sau:
Câu hỏi 3 bài 6 trang 89 SGK giải tích lớp 12: Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình \(log_ax ≥ b, log_ax < b, log_ax ≤ b\).
Giải:
\(log_ax ≥ b\) | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
Nghiệm | \(x ≥ a^b\) | \(0 < x ≤ a^b\) |
\(log_ax < b\) | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
Nghiệm | \(0 < x < a^b\) | \(x > a^b\) |
\(log_ax ≤ b\) | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
Nghiệm | \(0 < x ≤ a^b\) | \(x ≥ a^b\) |
2. Một số bất phương trình lôgarit đơn giản
Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(log_{0,5}(5x + 10) < log_{0,5}(x^2 + 6x + 8)\)
Giải: Điều kiện của bất phương trình đã cho là
\(\begin{cases}5x + 10 > 0\\x^2 + 6x + 8 > 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x > -2\\x < -4 \, \, hoặc \, \, x > – 2\end{cases}\)
\(⇔ x > -2\)
Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điệu kiện đó, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình \(5x + 10 > x^2 + 6x + 8\).
\(⇔ x^2 + x – 2 < 0 ⇔ -2 < x < 1\)
Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng \((-2; 1)\).
Ví dụ 6: Giải bất phương trình \(log_2(x – 3) + log_2(x – 2) ≤ 1\).
Giải: Điều kiện của bất phương trình là \(x > 3\). Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với \(log_2[(x – 3)(x – 2)] ≤ log_22\).
Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên \((x – 3)(x – 2) ≤ 2\).
Giải bất phương trình này, ta tìm được \(1 ≤ x ≤ 4\). Kết hợp với điều kiện \(x > 3\), ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(3 < x ≤ 4\).
Câu hỏi 3 bài 6 trang 89 SGK giải tích lớp 12: Giải bất phương trình \(log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > log_{\frac{1}{2}}(3x + 1)\).
Phương pháp giải:
– Tìm điều kiện xác định.
– Sử dụng: Nếu \(0 < a < 1\) thì \(log_af(x) > log_ag(x) ⇔ f(x) < g(x)\)
Điều kiện: \(\begin{cases}2x + 3 > 0\\3x + 1 > 0\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x > -\frac{3}{2}\\x > -\frac{1}{3}\end{cases} ⇔ x > -\frac{1}{3}\)
\(log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > log_{\frac{1}{2}} (3x + 1)\)
\(⇔ 2x + 3 < 3x + 1 ⇔ 2x – 3x < 1 – 3\)
\(⇔ -x < -2 ⇔ x > 2\)
Kết hợp điều kiện ta được \(x > 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = (2; +∞)\)
Chú ý: Các em có thể trình bày cách khác như sau:
\(log_{\frac{1}{2}}(2x + 3) > log_{\frac{1}{2}}(3x + 1)\)
\(⇔ 0 < 2x + 3 < 3x + 1\)
\(⇔ \begin{cases}2x + 3 > 0\\2x + 3 < 3x + 1\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x > -\frac{3}{2}\\-x < -2\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x = -\frac{3}{2}\\x > 2\end{cases}\)
\(⇔ x > 2\)
Bài Tập Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit
Hướng dẫn giải tập Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Giúp các bạn tìm hiểu về vất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit.
Bài Tập 1 Trang 89 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các bất phương trình mũ:
a. \(\)\(2^{-x^2 + 3x} < 4\)
b. \((\frac{7}{9})^{2x^2 – 3x} ≥ \frac{9}{7}\)
c. \(3^{x + 2} + 3^{x – 1} ≤ 28\)
d. \(4^x – 3.2^x + 2 > 0\)
Bài Tập 2 Trang 90 SGK Giải Tích Lớp 12
Giải các bất phương trình Lôgarit:
a. \(\)\(log_8(4 – 2x) ≥ 2\)
b. \(log_{\frac{1}{5}}(3x – 5) > log_{\frac{1}{5}}(x + 1)\)
c. \(log_{0,2}x – log_5(x – 2) < log_{0,2}3\)
d. \(log_3^2x – 5log_3x + 6 ≤ 0\)
Ở trên là nội dung Bài 6: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit thuộc Chương II: Hàm Số Lũy Thừa – Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit môn Toán Giải Tích Lớp 12. Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
Trả lời