Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
Nội dung Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Qua bài học giúp các bạn năm được phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm. Nắm được khái niệm hai hình bằng nhau. Biết cách xác định được ảnh của một hình qua phép dời hình. Nắm được tính chất cơ bản của phép dời hình để giải toán. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
I. Khái Niệm Về Phép Dời Hình
Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tầm và phép quay đều có một tính chất chung là bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Người ta dùng tính chất đó để định nghĩa phép biến hình sau đây.
Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M’, N’ thì MN = M’N’.
Nhận xét
1. Các phép đồng nhất, tinh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.
2. Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
Ví dụ 1
a. Tam giác A’B”C” là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình (hình 1.39a).
b. Ngũ giác MNPQR là ảnh của ngũ giác M’N’P’Q’R’ qua phép dời hình (hình 1.39b).
c. Hình H’ là ảnh của hình H qua phép dời hình (hình 1.40).
Câu hỏi 1 bài 6 trang 20 SGK hình học lớp 11: Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc \(\)\(90^0\) và phép đối xứng qua đường thẳng BD (hình 1.41).
Giải:
\(Q_{(O; 90^0)}(A) = D; D_{BD}(D) = D\)
\(Q_{(O; 90^0)}(B) = A; D_{BD}(A) = C\)
\(Q_{(O; 90^0)}(O) = O; D_{BD}(O) = O\)
Ví dụ 2: Trong hình 1.42 tam giác DEF là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm B góc \(90^0\) và phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v} = \overrightarrow{C’F} = (2; -4)\).
II. Tính Chất
Phép dời hình:
1. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;
2. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;
3. Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
4. Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Câu hỏi 2 bài 6 trang 21 SGK hình học lớp 11: Hãy chứng minh tính chất 1. Gợi ý. Sử dụng tính chất điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi AB + BC = AC (Hình 1.43).
Giải: Áp dụng định nghĩa: phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cảnh giữa hai điểm bất kỳ.
Gọi ảnh của 3 điểm A, B, C qua phép dời hình F là 3 điểm A’, B’, C’.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cảnh giữa hai điểm bất kỳ nên:
AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’
Ta có: A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C ⇒ AB + BC = AC
⇒ A’B’ + B’C’ = A’C’
Hay A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’.
Câu hỏi 3 bài 6 trang 21 SGK hình học lớp 11: Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép dời hình F. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B’.
Giải:
– Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
– Biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
Gọi A’, B’, M’ lần lượt là ảnh của A, B, M qua phép dời hình F.
Theo tính chất 1 ta có: AB = A’B’ và AM = A’M’; ba điểm A’B’, M’ thẳng hàng, trong đó M’ nằm giữa.
M là trung điểm \(AB ⇒ AM = \frac{1}{2}AB\)
Kết hợp (1) \(⇒ A’M’ = \frac{1}{2}A’B’ ⇒ M’\) là trung điểm A’B’.
Chú ý:
a. Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’ (hình 1.44).
b. Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến canh thành cạnh.
Ví dụ 3: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó (hình 1.45). Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc \(60^0\) và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OE}\).
Giải:
Gọi phép dời hình đã cho là F. Chỉ cần xác định ảnh của các đỉnh của tam giác OAB qua phép dời hình F. Ta có phép quay tâm O, góc \(60^0\) biến O, A và B lần lượt thành O, B và C. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OE}\) biến O, B và C lẫn lượt thành E, O và D. Từ đó suy ra F(O) = E, F(A) = O, F(B) = D. Vậy ảnh của tam giác OAB qua phép dời hình F là tam giác EOD.
Câu hỏi 4 bài 6 trang 22 SGK hình học lớp 11: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF. Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH (hình 1.46).
Giải:
– Phép đối xứng qua tâm I biến:
- A thành C
- E thành F
- I thành I
Nên biến ΔAEI thành ΔCFI.
– Phép đối xứng qua trục là đường thẳng d biến:
- C thành F
- F thành C
- I thành H
Do đó biến ΔCFI thành ΔFCH.
Vậy phép dời hình cần tìm là hợp của hai phép đối xứng tâm I và đối xứng trục qua đường thẳng d.
III. Khái Niệm Hai Hình Bằng Nhau
Quan sát hình hai con gà trong tranh dân gian (hình 1.47), vì sao có thể nói hai hình H và H’ bằng nhau?
Chúng ta đã biết phép dời hình biến một tam giác thành tam giác bằng nó. Người ta cũng chứng minh được rằng với hai tam giác bằng nhau luôn có mộ phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Người ta dùng tiêu chuẩn đó để định nghĩa hai hình bằng nhau.
Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Ví dụ 4:
a. Trên hình 1.48, hai hình thang ABCD và A”B”C”D” bằng nhau vì có một phép dời hình biến hình thang ABCD thành hình thang A”B”C”D”.
b. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\) biến hình A thành hình B, phép quay tâm O góc \(90^0\) biến hình B thành hình C. Do đó phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec{v}\) và phép quay tâm O góc \(90^0\) biến hình A thành hình C. Từ đó suy ra hai hình A và C bằng nhau (Hình 1.49)
Câu hỏi 5 bài 6 trang 23 SGK hình học lớp 11: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
Giải:
I là giao điểm AC và BD nên I là trung điểm của AC và BD.
Mà \(AC = BD ⇒ AI = BI = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD\).
Gọi E, F theo thứ tự trung điểm của AD và BC ⇒ EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD và \(AE = BF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC.\)
⇒ EF // AB ⇒ EF vuông góc với AD và EF vuông góc với BC.
Xét hai tam giác vuông AEI và BFI có:
AI = BI
AE = BF
⇒ ΔAEI = ΔBFI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ EI = FI (hai cạnh tương ứng)
⇒ I là trung điểm EF
Do đó, phép đối xứng qua tâm I biến hình thang AEIB thành hình thang CFID.
⇒ Hai hình thang AEIB và CFID bằng nhau.
Bài Tập SGK Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 23 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).
a. Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc \(-90^0\).
b. Gọi tam giác \(A_1B_1C_1\) là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc \(-90^0\) và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác \(A_1B_1C_1\).
Bài Tập 2 Trang 24 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KP. HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Bài Tập 3 Trang 24 SGK Hình Học Lớp 11
Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A’B’C’?
Ở trên là nội dung Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Nội dung bài học Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau được xây dựng dựa trên các phép biến hình đã học ở bài trước. Thông qua bài học này các bạn sẽ thấy được các điểm chung, mối liên hệ của các phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các bạn nắm được phương pháp giải bài tập. Chúc các bạn học tốt Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài Tập Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài 8: Phép Đồng Dạng
- Bài 7: Phép Vị Tự
- Bài 5: Phép Quay
- Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
- Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
- Bài 2: Phép Tịnh Tiến
- Bài 1: Phép Biến Hình
Trả lời