Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 7: Phép Vị Tự
Nội dung Bài 7: Phép Vị Tự thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Ở nội dung bài này các bạn sẽ nắm được định nghĩa phép vị tự, cách xác định phép vị tự khi biết tâm và tỉ số vị tự. Cách xác định tâm và tỉ số vị tự khi biết ảnh và tạo ảnh. Nắm được các tính chất của phép vị tự. Cách xác định tâm vị tự của hai đường tròn. Về kỹ năng các bạn dựng được ảnh của của một số hình, điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự. Mời các bạn theo dõi nôi dung ngay dưới đây.
I. Định Nghĩa
Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow{OM’} = k.\overrightarrow{OM}\) được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k (hình 1.50).
Phép vị tự tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là \(V_{(O, k)}\).
Ví dụ 1:
a. Trên hình 1.51a các điểm A’, B’, O lần lượt là ảnh của các điểm A, B, O qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.
b. Trong hình 1.51b phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình H thành hình H’.
Câu hỏi 1 bài 7 trang 25 SGK hình học lớp 11: Cho tam giác ABC. Gọi E và F tương ứng là trung điểm của AB và AC. Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F.
Giải:
Theo đề bài ta có:
\(\)\(\begin{cases}AE = \frac{1}{2}AB\\AF = \frac{1}{2}AC\end{cases} ⇒ \begin{cases}\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{AF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\end{cases}\)\(⇒ \begin{cases}V_{(A, \frac{1}{2})}(B) = E\\V_{(A, \frac{1}{2})}(C) = F\end{cases}\)
Vậy: Phép vị tự tâm A, tỉ số \(\frac{1}{2}\) biến điểm B thành điểm E và biến điểm C thành điểm F.
Nhận xét:
1. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
2. Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.
3. Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.
4. \(M’ = V_{(O, k)}(M) ⇔ M = V_{(O, \frac{1}{k})}(M’)\)
Câu hỏi 2 bài 7 trang 25 SGK hình học lớp 11: Chứng minh nhận xét 4.
Giải:
\(M’ = V_{(O, k)}(M) ⇒ \overrightarrow{OM’} = k.\overrightarrow{OM}\)
\(⇒ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{k}\overrightarrow{OM’} hay M = V_{(O, \frac{1}{k})}(M’)\)
\(M = V_{(O, \frac{1}{k})}(M’) ⇒ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{k}\overrightarrow{OM’}\)
\(⇒ \overrightarrow{OM’} = k.\overrightarrow{OM}\) hay \(M’ = V_{(O, k)}(M)\)
II. Tính Chất
Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì \(\overrightarrow{M’N’} = k.\overrightarrow{MN}\) và \(M’N’ = |k|.MN\).
Chứng minh:
Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k. Theo định nghĩa của phép vị tự ta có: \(\overrightarrow{OM’} = k\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{ON’} = k\overrightarrow{ON}\) (Hình 1.52). Do đó:
\(\overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{ON’} – \overrightarrow{OM’} = k\overrightarrow{ON} – k\overrightarrow{OM}\)
\(= k(\overrightarrow{ON} – \overrightarrow{OM}) = k\overrightarrow{MN}\)
Từ đó suy ra M’N’ = |k|MN.
Ví dụ 2: Gọi A’, B’, C’ theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép vị tự tỉ số k. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC}, t ∈ R ⇔ \overrightarrow{A’B’} = t\overrightarrow{A’C’}.\)
Giải:
Gọi O là tâm của phép vị tự tỉ số k, ta có \(\overrightarrow{A’B’} = k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A’C’} = k\overrightarrow{AC}\). Do đó:
\(\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC} ⇔ \frac{1}{2}\overrightarrow{A’B’} = t\frac{1}{2}\overrightarrow{A’C’} ⇔ \overrightarrow{A’B’} = t\overrightarrow{A’C’}\)
Câu hỏi 3 bài 7 trang 25 SGK hình học lớp 11: Để ý rằng: điểm B nằm giữa hai điểm A và C khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC}, 0 < t < 1\). Sử dụng ví dụ trên chứng minh rằng nếu điểm B nằm giữa hai điểm A và C thì điểm B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’.
Giải:
Điểm B nằm giữa A và \(C ⇔ \overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC}; 0 < t < 1\).
\(\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC} ⇔ \overrightarrow{A’B’} = t\overrightarrow{A’C’}\)
Theo ví dụ 2, ta có:
\(\overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{AC} ⇒ \overrightarrow{A’B’} = t\overrightarrow{A’C’}\)
Mà 0 < t < 1 ⇒ B’ nằm giữa A’ và C’.
Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:
a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tư giữa các điểm ấy (hình 1.53).
b. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó (hình 1.54).
d. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R (hình 1.55).
Câu hỏi 4 bài 7 trang 26 SGK hình học lớp 11: Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ (Hình 1.56).
Phương pháp giải:
Phép vị tự biến ΔABC thành ΔA’B’C’ tức là biến các đỉnh A, B, C tương ứng thành A’, B’, C’.
Do đó cần tìm các phép vị tự cùng tâm, cùng tỉ số biến đỉnh cũ thành đỉnh mới.
Giải:
Theo đề bài ta có: AA’, BB’, CC’ là các đường trung tuyến của ΔABC.
⇒ G là trọng tâm ΔABC
Suy ra \(\begin{cases}\overrightarrow{GA’} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}\\\overrightarrow{GB’} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}\\\overrightarrow{GC’} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{GC}\end{cases}\)
Vậy phép vị tự tâm G, tỉ số \(k = -\frac{1}{2}\) biến mỗi điểm A, B, C thành A’, B’, C’ nên biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Ví dụ 3: Cho điểm O và đường tròn (I; R). Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.
Giải:
Ta chỉ cần tìm \(I’ = V_{(O, -2)}(I)\) bằng cách lấy trên tia đối của tia OI điểm I’ sao cho OI’ = 2OI. Khi đó ảnh của (I; R) là (I’; 2R) (Hình 1.57).
III. Tâm Vị Tự Của Hai Đường Tròn
Ta đã biết phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn. Ngược lại, ta có định lí sau
Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường E tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự đó được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn
Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’). Có ba trường hợp xảy ra:
Trường hợp I trung với I’
Khi đó phép vị tự tâm I tỉ số \(\frac{R’}{R}\) và phép vị tự tâm I tỉ số \(-\frac{R’}{R}\) biến đường tròn (I; R) thành đương tròn (I; R’) (Hình 1.58)
Trường hợp I khác I’ và R ≠ R’
Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn (I; R), đường thẳng qua I’ song song với IM cắt đường tròn (I’; R) tại M’ và M”. Giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng II’ còn M, M” nằm khác phía đối với đường thẳng II’. Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thăng II’ tại điểm O nằm ngoài đoạn thẳng II’, còn đường thẳng MM’ cắt đường thẳng II’ tại điểm \(O_1\) nằm trong đoạn thẳng II’ (hình 1.59).
Khi đó phép vị tự tâm O tỉ số \(k = \frac{R’}{R}\) và phép vị tự tâm \(O_1\) tỉ số \(k_1 = -\frac{R’}{R}\) sẽ biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn \(O_1\) là tâm vị tự trong của hai đường tròn nói trên.
Trường hợp I khác I’ và R = R’
Khi đó MM’ // II’ nên chỉ có phép vị tự tâm \(O_1\) tỉ số \(k = -\frac{R}{R} = -1\) biến đường tròn (I; R) thành đường tròn (I’; R’). Nó chính là phép đối xứng tâm \(O_1\) (Hình 1.60).
Ví dụ 4: Cho hai đường tròn (O; 2R) và (O’; R) nằm ngoài nhau. Tìm phép vị tự biến (O; 2R) thành (O’; R).
Giải:
Lấy điểm L bất kì trên đường tròn (O; 2R), đường thẳng qua O’, song song với OL cắt (O’; R) tại M và N (Hình 1.61). Hai đường thẳng LM và LN cắt đường thẳng OO’ lần lượt tại I và J. Khi đó các phép vị tự \(V_{(I, \frac{1}{2})}\) và \(V_{(J, -\frac{1}{2})}\) sẽ biến (O; 2R) thành (O’; R).
Bài Tập SGK Bài 7: Phép Vị Tự
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 7: Phép Vị Tự thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số \(\frac{1}{2}\).
Bài Tập 2 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 11
Tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong các trường hợp sau (Hình 1.62).
Bài Tập 3 Trang 29 SGK Hình Học Lớp 11
Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O.
Ở trên là nội dung Bài 7: Phép Vị Tự thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các bạn khái niệm và những tính chất quan trọng của Phép vị tự. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm được các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải như: xác định tâm vị tự, tìm tỉ số vị tự, xác định tọa điểm điểm, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn qua một phép vị tự,…. , qua đó làm chủ được kiến thức. Chúc các bạn học tốt Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài Tập Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài 8: Phép Đồng Dạng
- Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
- Bài 5: Phép Quay
- Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
- Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
- Bài 2: Phép Tịnh Tiến
- Bài 1: Phép Biến Hình
Trả lời