Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 11
Bài 8: Phép Đồng Dạng
Nội dung Bài 8: Phép Đồng Dạng thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài học giúp các bạn nắm vững khái niệm phép đồng dạng, tỉ số đồng dạng, hai hình đồng dạng. Nắm vững các tính chất cơ bản của phép đồng dạng và vận dụng để giải toán. So sánh sự giống nhau và khác nhau giữa đồng dạng và dời hình. Về kỹ năng giúp các bạn tìm tỉ số đồng dạng của hai hình đồng dạng đúng, vẽ hình đúng, biết nhận dạng các dạng toán. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
Nhà toán học cổ Hi Lạp nổi tiếng Py-ta-go (Pythagore) từng có một câu nói được người đời nhớ mãi: “Đừng thấy bóng của mình ở trên tường rất to mà tưởng mình vĩ đại”. Thật vậy, bằng cách điều chỉnh đèn chiếu và vị trí đứng thích hợp ta có thể tạo được những cái bóng của mình trên tường giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau. Những hình có tính chất như thế gọi là những hình đồng dạng (hình 1.63). Vậy thế nào là hai hình đồng dạng với nhau? Để hiểu một cách chính xác khái niệm đố ta cần đến phép biến hình sau đây.
I. Định Nghĩa
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN (hình 1.64).
Nhận xét:
1. Phép dời hình là phép động dạng tỉ số 1.
2. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.
Câu hỏi 1 bài 8 trang 30 SGK hình học lớp 11: Chứng minh nhận xét 2.
Giải: Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M, N thành 2 điểm M’, N’ sao cho:
\(\begin{cases}\overrightarrow{OM’} = k\overrightarrow{OM}\\\overrightarrow{ON’} = k\overrightarrow{ON}\end{cases}\)
\(⇒ \overrightarrow{M’N’} = \overrightarrow{ON’} – \overrightarrow{OM’}\)
\(= k\overrightarrow{ON} – k\overrightarrow{OM}\)
\(= k(\overrightarrow{ON} – \overrightarrow{OM}) = k\overrightarrow{MN}\)
\(⇒ |\overrightarrow{M’N’}| = |k\overrightarrow{MN}|\)
\(⇒ \overrightarrow{M’N’} = |k|MN\)
3. Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.
Câu hỏi 2 bài 8 trang 30 SGK hình học lớp 11: Chứng minh nhận xét 3.
Giải:
– Phép đồng dạng tỉ số k biến 2 điểm M, N thành 2 điểm M’, N’ sao cho \(\overrightarrow{M’N’} = k\overrightarrow{MN}\)
– Phép đồng dạng tỉ số p biến 2 điểm M’, N’ thành 2 điểm M”, N” sao cho \(\overrightarrow{M”N”} = p\overrightarrow{M’N’}\)
\(⇒ \overrightarrow{M”N”} = p\overrightarrow{M’N’} = p.k.\overrightarrow{MN}\)
Vậy: Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.
Ví dụ 1: Trong hình 1.65 phép vị tự tâm O tỉ số 2 biến hình A thành hình B. Phép đối xứng tâm I biến hình B thành hình C. Từ đó suy ra phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình A thành hình C.
II. Tính Chất
Tính chất: Phép đồng dạng tỉ số k:
a. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.
b. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.
d. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.
Câu hỏi 3 bài 8 trang 31 SGK hình học lớp 11: Chứng minh tính chất a.
Giải:
Phép đồng dạng tỉ số k biến 3 điểm A, B, C thẳng hàng thành 3 điểm A’, B’, C’ sao cho: A’B’ = k.AB; B’C’ = k.BC; A’C’ = k.AC
A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C ⇔ AB + BC = AC
Do đó k.AB + k.BC = k.AC hay A’B’ + B’C’ = A’C’
⇒ A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’, C’.
Câu hỏi 4 bài 8 trang 31 SGK hình học lớp 11: Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đồng dạng F, tỉ số K. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B’.
Giải:
Cần chứng minh:
* \(A’M’ = M’B’ = \frac{1}{2}.A’B’\)
* A’, M’, B’ thẳng hàng
Gọi A’, B’, M’ lần lượt là ảnh của A, B, M qua phép đồng dạng F, tỉ số k.
⇒ A’B’ = k.AB; A’M’ = k.AM
M là trung điểm \(AB ⇒ AM = \frac{1}{2}.AB ⇒ kAM = \frac{1}{2}.k.AB\) hay \(A’M’ = \frac{1}{2}.A’B’\)
Lại có A, B, M thẳng hàng nên A’, B’, M’ thẳng hàng.
Vậy M’ là trung điểm của A’B’.
Chú ý:
a. Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC (hình 1.66).
b. Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.
III. Hình Đồng Dạng
Chúng ta đã biết phép đồng dạng biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó. Người ta cũng chứng minh được rằng cho hai tam giác đồng dạng với nhau thì luôn có một phép đồng dạng biến tam giác này thành tam giác kia. Vậy hai tam giác đồng dạng với nhau khi và chỉ khi có một phép đồng dạng biến tam giác này thành tam giác kia. Điều đó gợi ý cho ta cách định nghĩa các hình đồng dạng.
Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.
Ví dụ 2:
a. Tam giác A’B’C’ là hình đồng dạng của tam giác ABC (Hình 1.67a)
b. Phép vị tự tâm I tỉ số 2 biến hình A thành hình B, phép quay tâm O góc \(90^0\) biến hình B thành hình C. Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên sẽ biến hình A thành hình C. Từ đó suy ra hai hình A và C đồng dạng với nhau (Hình 1.67b).
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.
Giải:
Gọi M là trung điểm của AB (hình 1.68). Phép vị tự tâm C, tỉ số 2 biến hình thang JLKI thành hình thang IKBA. Phép đối xứng qua đường thẳng IM biến hình thang IKBA thành hình thang IHAB, Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình trên biến hình thang JLKI thành hình thang IHAB. Từ đó suy ra hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.
Câu hỏi 5 bài 8 trang 33 SGK hình học lớp 11: Hai đường tròn (hai hình vuông, hai hình chữ nhật) bất kì có đồng dạng với nhau không?
Giải:
Hai đường tròn bất kì đồng dạng với nhau.
Hai hình vuông bất kì đồng dạng với nhau.
Hai hình chữ nhật bất kì chưa chắc đồng dạng với nhau vì tỉ lệ các kích thước tương ứng chưa chắc bằng nhau.
Bài Tập SGK Bài 8: Phép Đồng Dạng
Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 8: Phép Đồng Dạng thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 33 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tam giác ABC. Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số \(\)\(\frac{1}{2}\) và phép đối xứng qua đường trung trực của BC.
Bài Tập 2 Trang 33 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I. Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC. Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.
Bài Tập 3 Trang 33 SGK Hình Học Lớp 11
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc \(45^0\) và phép vị tự tâm O, tỉ số \(\sqrt{2}\).
Bài Tập 4 Trang 33 SGK Hình Học Lớp 11
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A. Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.
Ở trên là nội dung Bài 8: Phép Đồng Dạng thuộc Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng môn Hình Học Lớp 11. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các bạn một phép biến hình cuối cùng trong chương I, đó là Phép đồng dạng. Bản chất của phép biến hình này là sự kết hợp của phép vị tự và các phép dời hình. Thông qua bài học các bạn sẽ nắm được các quy tắc của sự kết hợp và phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến phép đồng dạng. Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Bài Tập Liên Quan:
- Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài Tập Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Câu Hỏi Ôn Tập Chương I: Phép Dời Hình Và Phép Đồng Dạng Trong Mặt Phẳng
- Bài 7: Phép Vị Tự
- Bài 6: Khái Niệm Về Phép Dời Hình Và Hai Hình Bằng Nhau
- Bài 5: Phép Quay
- Bài 4: Phép Đối Xứng Tâm
- Bài 3: Phép Đối Xứng Trục
- Bài 2: Phép Tịnh Tiến
- Bài 1: Phép Biến Hình
Trả lời