Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Nội dung Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12, giúp các bạn nắm khái niệm thế nào là hàm số đồng biến, nghịch biến và điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Trong bài học còn kèm theo những ví dụ minh họa về tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các bạn dễ dàng giải các bài tập liên quan đến dạng toán này.
I. Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Câu hỏi 1 bài 1 trang 4 SGK giải tích lớp 12: Từ đồ thị (Hình 1, Hình 2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số \(y = cosx\) trên đoạn \(\)\([-\frac{π}{2}; \frac{3π}{2}]\) và của hàm số \(y = |x|\) trên khoảng \((-∞; +∞)\).
Phương pháp giải
– Các khoảng đồ thị hàm số có hướng đi lên thì hàm số đồng biến.
– Các khoảng đồ thị hàm số có hướng đi xuống thì hàm số nghịch biến.
Giải:
– Hàm số \(y = cosx\) trên đoạn \([\frac{-π}{2}; \frac{3π}{2}]\)
Các khoảng tăng: \((\frac{-π}{2}; 0); (π; \frac{3π}{2})\)
Các khoảng giản: \((0; π)\)
– Hàm số \(y = |x|\) trên khoảng \((-∞; +∞)\).
Khoảng tăng: \((0; +∞)\)
Khoảng giảm: \((-∞; 0)\)
1. Nhắc lại định nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nữa khoảng. Giả sử hàm số \(y = f(x)\) xác định trên K. Ta nói:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp \(x_1, x_2\) thuộc K mà \(x_1\) nhỏ hơn \(x_2\) thì \(f(x_1)\) nhỏ hơn \(f(x_2)\), tức là \(x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) < f(x_2)\).
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp \(x_1, x_2\) thuộc K mà \(x_1\) nhỏ hơn \(x_2\) thì \(f(x_1)\) lớn hơn \(f(x_2)\), tức là \(x_1 < x_2 ⇒ f(x_1) > f(x_2)\).
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thây:
a. f(x) đồng biến trên \(K ⇔ \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} > 0, ∀x_1, x_2 ∈ K (x_1 ≠ x_2)\)
f(x) nghịch biến trên \(K ⇔ \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} < 0, ∀x_1, x_2 ∈ K (x_1 ≠ x_2)\)
b. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đổ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 3a);
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 3b).
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Câu hỏi 2 bài 1 trang 5 SGK giải tích lớp 12: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:
a. \(y = -\frac{x^2}{2}\) (Hình 4a)
b. \(y = \frac{1}{x}\) (Hình 4b)
Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.
Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.
Giải:
Câu a: \(y = -\frac{x^2}{2}\) (Hình 4a)
Xét dấu đạo hàm của hàm số và điền vào bảng tương ứng.
Quan sát đồ thị, nhận xét khoảng đồng biến nghịch biến suy ra dấu của đạo hàm.
Quan sát đồ thị ta thấy:
– Trên khoảng \((-∞; 0)\), đồ thị hàm số đi từ dưới lên trên nên hàm số đồng biến trên \((-∞; 0)\), do đó \(y’ > 0, ∀x ∈ (-∞; 0)\).
– Trên khoảng \((0; +∞)\), đồ thị hàm số đi từ trên xuống dưới nên hàm số nghịch biến trên \((0; +∞)\), do đó \(y’ < 0, ∀x ∈ (0; +∞)\).
Bảng xét dấu
Câu b: \(y = \frac{1}{x}\) (Hình 4b)
Xét dấu đạo hàm của hàm số và điền vào bảng tương ứng.
Quan sát đồ thị ta thấy:
– Tại \(x = 0\) thì không có giá trị của y nên hàm số không xác định tại \(x = 0\).
– Trên mỗi khoảng \((-∞; 0)\) và \((0; +∞)\) thì đồ thị đi từ trên xuống dưới nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng này.
Khi đó \(y’ < 0, ∀x ∈ (-∞; 0)\) và \(y’ < 0, ∀x ∈ (0; +∞)\)
Bảng xét dấu:
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên K.
a. Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
b. Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
Tóm lại, trên K
\(\begin{cases}f(x) > 0 ⇒ f(x) \, \,đồng\, \, biến\\f'(x) < 0 ⇒ f(x)\, \, nghịch\, \, biến\end{cases}\)
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a. \(y = 2x^4 + 1\)
b. \(y = sinx\) (trên khoảng \((0; 2π)\))
Giải:
Câu a: \(y = 2x^4 + 1\)
Tập xác định: R
Ta có \(y’ = 8x^3\). Bảng biến thiên
Vậy hàm số \(y = 2x^4 + 1\) nghịch biến trên khoảng \((-∞; 0)\), đồng biến trên khoảng \((0; +∞)\).
Câu b: \(y = sinx\) (trên khoảng \((0; 2π)\))
Xét trên khoảng \((0; 2π)\), ta có \(y’ = cosx\).
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số \(y = sinx\) đồng biến trên các khoảng \((0; \frac{π}{2})\) và \((\frac{3π}{2}; 2π)\), nghịch biến trên khoảng \((\frac{π}{2}; \frac{3π}{2})\).
Câu hỏi 3 bài 1 trang 7 SGK giải tích lớp 12: Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không?
Chẳng hạn, xét hàm số \(y = x^3\) (Hình 5)
Giải: Xét hàm số \(y = x^3\) có đạo hàm \(y’ = 3x^2 ≥ 0\) với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R (quan sát đồ thị).
Vậy nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương (âm) trên đó.
Chú ý: Người ta đã chứng minh đinh lí mở rộng sau đây.
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên K. Nếu \(f'(x) ≥ 0\) \((f'(x) ≤ 0)\) \(∀x ∈ K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = 2x^3 + 6x^2 + 6x – 7\).
Giải: Hàm số đã cho xác định với mọi \(x ∈ R\).
Ta có \(y’ = 6x^2 + 12x + 6 = 6(x + 1)^2\)
Do đó \(y’ = 0 ⇔ x = -1\) và \(y’ > 0\) với mọi \(x ≠ -1\).
Theo định lí trên hàm số luôn luôn đồng biến.
II. Quy Tắc Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
1. Quy tắc
1. Tìm tập xác định. Tính f'(x).
2. Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.
3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
2. Áp dụng
Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 – 2x + 2\)
Giải: Hàm số xác định với mọi x ∈ R. Ta có
\(y’ = x^2 – x – 2, y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = -1\\ x = 2 \end{matrix}\)
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((2; +∞)\), nghịch biến trên khoảng \((-1; 2)\).
Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y = \frac{x – 1}{x + 1}\)
Giải: Hàm số xác định với mọi \(x ≠ -1\). Ta có \(y’ = \frac{(x + 1) – (x – 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}\)
y’ không xác định tại \(x = -1\).
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1; +∞)\).
Ví dụ 5: Chứng minh rằng \(x > \sin x\) trên khoảng \((0; \frac{π}{2})\) bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số \(f(x) = x – \sin x\).
Giải: Xét hàm số \(f(x) = x – \sin x (0 ≤ x < \frac{π}{2})\), ta có \(f'(x) = 1 – \cos x ≥ 0\) (\(f'(x) = 0\) chỉ tại x = 0) nên theo chú ý trên ta có f(x) đồng biến trên nửa khoảng \([0; \frac{π}{2})\).
Do đó, với \(0 < x < \frac{π}{2}\) ta có \(f(x) = x – sinx > f(0) = 0\) hay \(x > \sin x\) trên khoảng \((0; \frac{π}{2})\).
Bài Tập Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số
Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Giải bài tập kèm phương pháp giải và nhiều cách giải khác nhau.
Bài Tập 1 Trang 9 SGK Giải Tích Lớp 12
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a. \(\)\(y = 4 + 3x – x^2\)
b. \(y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 – 7x – 2\)
c. \(y = x^4 – 2x^2 + 3\)
d. \(y = -x^3 + x^2 – 5\)
Bài Tập 2 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a. \(\)\(y = \frac{3x + 1}{1 – x}\)
b. \(y = \frac{x^2 – 2x}{1 – x}\)
c. \(y = \sqrt{x^2 – x – 20}\)
d. \(y = \frac{2x}{x^2 – 9}\)
Bài Tập 3 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(\)\(y = \frac{x}{x^2 + 1}\) đồng biến trên khoảng \((-1; 1)\); nghịch biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((1; +∞)\).
Bài Tập 4 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(\)\(y = \sqrt{2x – x^2}\) đồng biến trên khoảng \((0; 1)\) và nghịch biến trên khoảng \((1; 2)\).
Bài Tập 5 Trang 10 SGK Giải Tích Lớp 12
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a. \(\)\(\tan x > x (0 < x < \frac{π}{2})\)
b. \(\tan x > x + \frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{π}{2})\)
Tính Chất Đơn Điệu Của Hàm Số
Điều kiện đủ về tính chất đơn điệu của hàm số được chứng minh dựa vào định lí sau đây.
Định lí La-Grăng: Nếu hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\) thì tồn tại một điểm \(c ∈ (a; b)\) sao cho \(f(b) – f(a) = f'(c)(b – a)\) hay \(f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}\).
Minh họa hình học: Nếu hàm số f(x) thỏa mãn các giả thiết của định lí La-Grăng thì trên đồ thị tồn tại điểm C mà tiếp tuyến tại đó song song với dây cung AB (Hình 6).
Hệ quả: Nếu \(F'(x) = 0\) với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì F(x) bằng hằng số trên khoảng đó.
Chứng minh. Xét điểm cố định \(x_0 ∈ (a; b)\). Với mỗi \(x ∈ (a; b)\), các giả thiết của định lí La-Grăng được thỏa mãn trên đoạn \([x_0; x]\) (hoặc \([x; x_0]\)). Do đó tồn tại điểm \(c ∈ (x_0; x)\) (hoặc \(c ∈ (x; x_0)\)) sao cho \(F(x) – F(x_0) = F'(c)(x – x_0)\). Vì \(c ∈ (a; b)\) nên \(F'(c) = 0\). Vậy \(F(x) – F(x_0) = 0\) hay \(F(x) = F(x_0) = const\) trên toàn khoảng \((a; b)\).
Định lí: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\).
a. Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x ∈ (a; b)\) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b. Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x ∈ (a; b)\) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó.
Chứng minh. Lấy hai điểm bất kì \(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\) trên khoảng \((a; b)\). Vì f(x) có đạo hàm trên khoảng \((a; b)\) nên f(x) liên tục trên đoạn \([x_1, x_2]\) và có đạo hàm trên khoảng \((x_1; x_2)\).
Theo định lí La-Grăng, tồn tại một điểm \(c ∈ (x_1; x_2) ⊂ (a; b)\) sao cho \(f'(c) = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}\). Từ đó suy ra:
a. Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x ∈ (a; b)\) thì \(f'(c) > 0\) nên \(f(x_2) > f(x_1)\). Do đó, f(x) đồng biến trên khoảng \((a; b)\).
b. Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x ∈ (a; b)\) thì \(f'(c) < 0\) nên \(f(x_2) < f(x_1)\). Do đó, f(x) nghịch biến trên khoảng \((a; b)\).
Ở trên là lý thuyết Bài 1: Sự Đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Giải Tích Lớp 12. Các bạn nắm được khái niệm thế nào là Hàm số đồng biến, nghịch biến, điều kiện để hàm số đơn điệu trên một miền. Cùng với những ví dụ minh họa các dạng toán liên quan đến Tính đơn điệu của hàm số sẽ giúp các bạn hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập Trắc Nghiệm Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Ôn Tập Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
- Bài 4: Đường Tiệm Cận
- Bài 3: Giá Trị Lớn Nhất Và Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
- Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số
Trả lời