Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số
Nội dung Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Các bạn hiểu được định nghĩa tích vectơ với một số (tích một số với một véc tơ). Biết các tính chất của tích vectơ với một số: với mọi vectơ , và mọi số thực k, m. Mời các bạn theo dõi ngay dưới đây.
Câu hỏi 1 bài 3 trang 14 SGK hình học lớp 10: Cho vectơ \(\vec{a} ≠ \vec{0}\). Xác định độ dài và hướng của vectơ \(\vec{a} + \vec{a}\).
Trả lời:
Ta có: \(\vec{a} + \vec{a} = 2\vec{a}\)
Độ dài của vectơ \(\vec{a} + \vec{a}\) bằng 2 lần độ dài của vectơ \(\vec{a}\).
Hướng của vectơ \(\vec{a} + \vec{a}\) cùng hướng với vectơ \(\vec{a}\) (vì 2 > 0).
1. Định nghĩa
Cho số \(k ≠ 0\) và vectơ \(\vec{a} ≠ \vec{0}\). Tích của vectơ \(\vec{a}\) với số k là một vectơ, kí hiệu là \(k\vec{a}\), cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k > 0\), ngược hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k < 0\) và có độ dài bằng \(|k||\vec{a}|\).
Ta quy ước \(0\vec{a} = \vec{0}, k\vec{0} = \vec{0}\).
Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.
Ví dụ 1. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, D và E lần lượt là trung điểm của BC và AC. Khi đó ta có (hình 1.13)
\(\overrightarrow{GA} = (-2)\overrightarrow{GD}\)
\(\overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{GD}\)
\(\overrightarrow{DE} = (-\frac{1}{2})\overrightarrow{AB}\)
2. Tính chất
Với hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bất kì, với mọi số h và k, ta có
\(k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b};\)
\((h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a};\)
\(h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a};\)
\(1.\vec{a} = \vec{a}, (-1).\vec{a} = -\vec{a}.\)
Câu hỏi 2 bài 3 trang 14 SGK hình học lớp 10: Tìm vectơ đối của các vectơ \(k\vec{a}\) và \(3\vec{a} – 4\vec{b}\).
Trả lời:
Vectơ đối của các vectơ \(k\vec{a}\) là vectơ \(-k\vec{a}\)
Vectơ đối của các vectơ \(3\vec{a} – 4\vec{b}\) là vectơ \(-(3\vec{a} – 4\vec{b})\) hay \(-3\vec{a} + 4\vec{b}\).
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a. Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).
b. Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\).
Câu hỏi 3 bài 3 trang 15 SGK hình học lớp 10: Hãy sử dụng much 5 của §2 để chứng minh các khẳng định trên.
Trả lời:
a. Với điểm M bất kì, ta có:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\)
\(= \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}\)
\(= 2\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\)
Do I là trung điểm của AB nên: \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} + \vec{0} = 2\overrightarrow{MI}\)
b. Với điểm M bất kỳ, ta có:
\(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\)
\(= \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC}\)
\(= 3\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\)
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}\)
Do đó: \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}\)
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b} (\vec{b} ≠ \vec{0})\) cùng phương là có một số k để \(\vec{a} = k\vec{b}\).
Thật vậy, nếu \(\vec{a} = k\vec{b}\) thì hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương.
Ngược lại, giả sử \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng phương. Ta lấy \(k = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\) nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) cùng hướng và lấy \(k = -\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}\) nếu \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ngược hướng. Khi đó ta có \(\vec{a} = k\vec{b}\).
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\).
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho \(\vec{a} = \overrightarrow{OA}, \vec{b} = \overrightarrow{OB}\) là hai vectơ không cùng phương và \(\vec{x} = \overrightarrow{OC}\) là một vectơ tùy ý. Kẻ \(CA’//OB\) và \(CB’//OA\) (hình 1.14). Khi đó \(\vec{x} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA’} + \overrightarrow{OB’}\). Vì \(\overrightarrow{OA’}\) và \(\vec{a}\) là hai vectơ cùng phương nên có số h để \(\overrightarrow{OA’} = h\vec{a}\). Vì \(\overrightarrow{OB’}\) và \(\vec{b}\) cùng phương nên cố số k để \(\overrightarrow{OB’} = k\vec{b}\).
Vậy \(\vec{x} = h\vec{a} + k\vec{b}\).
Khi đó ta nói vectơ \(\vec{x}\) được phân tích (hay còn được gọi là biểu thị) theo hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).
Một cách tổng quát người ta chứng minh được mệnh đề quan trọng sau đây:
Cho hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng phương. Khi đó mọi vectơ \(\vec{x}\) đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho \(\vec{x} = h\vec{a} + k\vec{b}\).
Bài toán sau cho ta cách phân tích trong một số trường hợp cụ thể.
Bài toán. Cho tam giác \(ABC\) với trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho \(AK = \frac{1}{5}AB\).
a. Hãy phân tích \(\overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AK}, \overrightarrow{CI}, \overrightarrow{CK}\) theo \(\vec{a} = \overrightarrow{CA}, \vec{b} = \overrightarrow{CB};\)
b. Chứng minh ba điểm \(C, I, K\) thẳng hàng.
Giải:
a. Gọi AD là trung tuyến của tam giác ABC (hình 1.15). Ta có \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CD} – \overrightarrow{CA} = \frac{1}{2}\vec{b} – \vec{a}\).
Do đó
\(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{6}\vec{b} – \frac{1}{3}\vec{a}\)
\(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{CB} – \overrightarrow{CA}) = \frac{1}{5}(\vec{b} – \vec{a})\)
\(\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AI} = \vec{a} + \frac{1}{b}\vec{b} – \frac{1}{3}\vec{a} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{a}\)
\(\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AK} = \vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} – \frac{1}{5}\vec{a} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{a}\)
b. Từ tính toán trên ta có \(\overrightarrow{CK} = \frac{6}{5}\overrightarrow{CI}\). Vậy ba điểm \(C, I, K\) thẳng hàng.
Câu Hỏi Và Bài Tập
Hướng dẫn giải bài tập sách giao khoa Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo.
Bài Tập 1 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AC}\).
Bài Tập 2 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác \(\)\(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}\) theo hai vectơ \(\vec{u} = \overrightarrow{AK}, \vec{v} = \overrightarrow{BM}\).
Bài Tập 3 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Trên đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\) lấy một điểm M sao cho \(\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) và \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\).
Bài Tập 4 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng
a. \(2\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}\)
b. \(2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OD}\), với O là điểm tùy ý.
Bài Tập 5 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\).
Bài Tập 6 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}\).
Bài Tập 7 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác \(ABC\). Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \vec{0}\).
Bài Tập 8 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.
Bài Tập 9 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho tam giác đều \(ABC\) có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi \(D, E, F\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến \(BC, AC, AB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\).
Ở trên là nội dung Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số thuộc Chương I: Vectơ môn Hình Học Lớp 10. Ta đã biết thế nào là tổng và hiệu của hai vectơ. Bây giờ lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta sẽ được 2 lần vectơ a. Qua bài học này sẽ giúp các bạn hiểu được tích của vectơ và một hằng số có phải là một vectơ khác không? Chúc các bạn học tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời