Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Nội dung Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Toán Giải Tích Lớp 12. Các bạn sé nắm được hình dạng và các bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, bài học này có yêu tốt rất quyết định trong các kỳ thi vì hầu như kỳ thi nào cũng ra một câu dạng bài tập này, do đó các bạn cần nắm bắt kiến thức trong chương trình học phổ thông này như hàm số bậc, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
I. Sơ Đồ Khảo Sát Hàm Số
1. Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số.
2. Sự biến thiên
- Xét chiều biến thiên của hàm số:
– Tính đạo hàm y’
– Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định;
– Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
- Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Chú ý:
1. Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiển đô thị song song với trục Ox.
2. Nên tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt là toạ độ các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.
3. Nên lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
II. Khảo Sát Một Số Hàm Đa Thức Và Hàm Phân Thức
Câu hỏi 1 bài 5 trang 32 SGK giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học \(\)\(y = ax + b, y = ax^2 + bx + c\) theo sơ đồ trên.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Bảng biến thiên
– Xét chiều biến thiên
+ Tính y′.
+ Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định và nghiệm của \(y′ = 0\).
+ Xét dấu đạo hàm suy ra chiều biến thiên
– Tìm cực trị
– Tính các giới hạn, tiệm cận (nếu có).
– Lập bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thị
Giải: Hàm số \(y = ax + b\)
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên.
\(y’ = a > 0\). Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = +∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = -∞\)
Bảng biến thiên:
3. Vẽ đồ thị:
Trường hợp \(a < 0\)
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên.
\(y’ = a < 0\). Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
3. Vẽ đồ thị:
Giải: Hàm số \(y = ax^2 + bx + c\)
Trường hợp \(a > 0\)
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên.
\(y’ = 2ax + b.\)
\(y’ = 0 ⇒ x = \frac{-b}{2a}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = +∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = +∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; \frac{-b}{2a})\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((\frac{-b}{2a}; +∞)\)
Hàm số đạt cực tiểu bằng \(-\frac{Δ}{4a}\) tại \(x = \frac{-b}{2a}\)
3. Vẽ đồ thị:
Trường hợp \(a < 0\)
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên.
\(y’ = 2ax + b.\)
Cho \(y’ = 2ax + b\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = -∞\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞, \frac{-b}{2a})\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \((\frac{-b}{2a}, +∞)\)
Hàm số đạt cực đại bằng \(-\frac{Δ}{4a}\) tại \(x = \frac{-b}{2a}\)
3. Vẽ đồ thị
1. Hàm số \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d (a ≠ 0)\)
Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x^3 + 3x^2 – 4\)
Giải:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên
Chiều biến thiên \(y’ = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\)
\(y’ = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -2 \\ x = 0\\ \end{gathered} \right.\)
Trên các khoảng \((-∞; -2)\) và \((0; +∞), y’ > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng \((-2; 0), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -2; y_{CĐ} = y(-2) = 0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0; y_{CT} = y(0) = -4\)
Các giới hạn tại vô cực
\(\mathop {\lim }\limits_{x → −∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → −∞}x^3(1 + \frac{3}{x} – \frac{4}{x^3}) = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → +∞}x^3(1 + \frac{3}{x} – \frac{4}{x^3}) = +∞\)
Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Vì \(x^3 + 3x^2 – 4 = (x – 1)(x + 2)^2 = 0\)
\(⇔ \left[ \begin{gathered} x = -2 \\ x = 1\\ \end{gathered} \right.\)
nên \((-2; 0)\) và \((1; 0)\) là giao điểm của đồ thị với Ox.
Vì \(y(0) = -4\) nên \((0; -4)\) là giao điểm của đồ thị với Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.
Đồ thị của hàm số được cho trên hình 19.
Lưu ý: Đồ thị của hàm số bậc ba đã cho có tâm đối xứng là điểm I (Hình 19). Hoành đồ của điểm I là nghiệm của phương trình \(y” = 0\).
Câu hỏi 2 bài 5 trang 33 SGK giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 – 4\). Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số này với đồ thị của hàm số khảo sát trong ví dụ 1.
Phướng pháp giải:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Bảng biến thiên
– Xét chiều biến thiên
+ Tính y’.
+ Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định và nghiệm của \(y’ = 0\).
+ Xét dấu đạo hàm suy ra chiều biến thiên
– Tìm cực trị
– Tính các giới hạn, tiệm cận (nếu có).
– Lập bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thị
Giải:
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞} y = +∞\)
\(y’ = -3x^2 + 6x\). Cho \(y’ = 0 ⇒ x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng \((0, 2)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-∞, 0), (2, +∞)\).
Hàm số đạt cực đại bằng 0 tại \(x = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu bằng -4 tại \(x = 0\).
Vẽ đồ thị hàm số
Nhận xét: hai đồ thị đối xứng nhau qua Oy.
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 – 4x + 2\)
Giải:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên
Chiều biến thiên
Vì \(y’ = -3x^2 + 6x – 4 = -3(x – 1)^2 – 1 < 0\) với mọi x ∈ R, nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((-∞; +∞)\). Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → +∞}[-x^3(1 – \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} – \frac{2}{x^3})] = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → -∞}[-x^3(1 – \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} – \frac{2}{x^3})] = +∞\)
Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Đồ thị của hàm số cắt Ox tại \((1; 0)\), cắt Oy tại \((0; 2)\)
Đồ thị của hàm số được cho trên hình 20.
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d; (a ≠ 0)\)
\(a > 0\) | \(a < 0\) | |
Phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt | ||
Phương trình \(y’ = 0\) có nghiệm kép | ||
Phương trình \(y’ = 0\) vô nghiệm |
Câu hỏi 3 bài 5 trang 35 SGK giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{x^3}{3} – x^2 + x + 1\).
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Bảng biến thiên
– Xét chiều biến thiên
+ Tính y’.
+ Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định và nghiệm của \(y’ = 0\).
+ Xét dấu đạo hàm suy ra chiều biến thiên
– Tìm cực trị
– Tính các giới hạn, tiệm cận (nếu có).
– Lập bảng biến thiên
Bước 3: Vẽ đồ thị
Giải:
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = +∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = -∞\)
\(y’ = x^2 – 2x + 1 = (x – 1)^2 ≥ 0\) với mọi x. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.
Cho \(y’ = 0 ⇒ x = 1\).
Bảng biến thiên
3. Vẽ đồ thị hàm số
2. Hàm số \(y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0)\)
Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x^4 – 2x^2 – 3\).
Giải:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên
– Chiều biến thiên
\(y’ = 4x^3 – 4x = 4x(x^2 – 1); y’ = 0 ⇔ \bigg \lbrack \begin{matrix} x = 1\\ x = -1\\ x = 0\end{matrix}\)
Trên các khoảng \((-1; 0)\) và \((1; +∞), y’ > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((0; 1), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
– Cực trị
Hàm số có hai cực tiểu tại \(x = ±; y_{CT} = y(±1) = -4\)
Hàm số có một cực đại tại \(x = 0; y_{CĐ} = y(0) = -3\)
– Giới hạn tại vô cực
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → -∞}x^4(1 – \frac{2}{x^4 – \frac{3}{x^4}}) = +∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → +∞}x^4(1 – \frac{2}{x^2} – \frac{3}{x^4}) = +∞\)
– Bảng biến thiên
3. Đồ thì
Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì
\(y(-x) = (-x)^4 – 2(-x)^2 – 3\)
\(= x^4 – 2x^2 – 3 = y(x)\)
Do đó, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm \((\sqrt{3}; 0)\) và \((-\sqrt{3}; 0)\), cắt trục trung tại điểm \((0; -3)\) (Hình 21)
Câu hỏi 4 bài 5 trang 36 SGK giải tích lớp 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -x^4 + 2x^2 + 3\).
Bằng đồ thị, biện luận theo m số nghiệm của phương trình \(-x^4 + 2x^2 + 3 = m\).
Giải:
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -x^4+ 2x^2 + 3\).
1. Tập xác định: D = R.
2. Sự biến thiên:
\(\mathop {\lim }\limits_{x → +∞}y = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -∞}y = -∞\)
\(y’ = -4x^3 + 4x\). Cho \(y’ = 0 ⇒ x = 0\) hoặc \(x = ±1\).
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên: \((-∞, -1), (0, 1)\).
Hàm số nghịch biến trên: \((-1, 0), (1, +∞)\).
Hàm số đạt cực đại bằng 4 tại \(x = -1\) và \(x = 1\).
Hàm số đạt cực tiểu bằng 3 tại \(x = 0\).
Đồ thị
* Giải biện luận phương trình \(-x^4 + 2x^2 + 3 = m\)
Số giao điểm của hai đồ thị \(y = -x^4 + 2x^2 + 3\) và \(y = m\) là số nghiệm của phương trình trên.
Với \(m > 4\). Hai đồ thị không giao nhau nên phương trình vô nghiệm.
Với \(m = 4\) và \(m < 3\). Hai đồ thị giao nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với \(m = 3\). Hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Với \(3 < m < 4\). Hai đồ thị giao nhau tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = -\frac{x^4}{2} – x^2 + \frac{3}{2}\).
Giải:
1. Tập xác định: R
2. Sự biến thiên
– Chiều biến thiên
\(y’ = -2x^3 – 2x = -2x(x^2 + 1); y’ = 0 ⇔ x = 0.\)
Trên khoảng \((-∞; 0), y’ > 0\) nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng \((0; +∞), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
– Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0, y_{CĐ} = y(0) = \frac{3}{2}\)
Hàm số không có điểm cực tiểu.
– Giới hạn tại vô cực
\(\mathop {\lim }\limits_{x → ±∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → ±∞}[-x^4(\frac{1}{2} + \frac{1}{x^2} – \frac{3}{2x^4})] = -∞\)
– Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Hàm số đã cho là hàm số chẵn vì
\(y(-x) = -\frac{(-x)^4}{2} – (-x)^2 + \frac{3}{2}\)
\(= -\frac{x^4}{2} – x^2 + \frac{3}{2} = y(x)\)
Do đó, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Mặt khác, \(y = 0 ⇔ -x^4 – 2x^2 + 3 = 0\)
\(⇔ -(x^2 – 1)(x^2 + 3) = 0 ⇔ x = ±1\)
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm \((-1; 0)\) và \((1; 0)\), cắt trục tung tại điểm \((0; \frac{3}{2})\) (Hình 22).
Dạng của đồ thị hàm số \(y = ax^4 + bc^2 + c; (a ≠ 0)\)
\(a > 0\) | \(a < 0\) | |
Phương trình \(y’ = 0\) có ba nghiệm phân biệt | ||
Phương trình \(y’ = 0\) có một nghiệm |
Câu hỏi 5 bài 5 trang 38 SGK giải tích lớp 12: Lấy một ví dụ về hàm số dạng \(y = ax^4 + bx^2 + c\) sao cho phương trình \(y’ = 0\) chỉ có một nghiệm.
Giải:
Ví dụ hàm số \(y = x^4\)
Có đạo hàm \(y’ = 4x^3\)
Cho y’ = 0 thì x = 0.
3. Hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d} (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)\)
Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{-x + 2}{x + 1}\)
Giải:
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên
– Chiều biến thiên \(y’ = \frac{-(x + 1) – (-x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{-3}{(x + 1)^2}\); y’ không xác định khi \(x = -1\); y’ luôn luôn âm với mọi \(x ≠ -1\).
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((-1; +∞)\)
– Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trì.
– Tiệm cận
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -1^-}y = \mathop {\lim }\limits_{x → -1^-}\frac{-x + 2}{x + 1} = -∞\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x → -1^+}y = \mathop {\lim }\limits_{x → -1^+}\frac{-x + 2}{x + 1} = +∞\)
Do đó, đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng
\(\mathop {\lim }\limits_{x → ±∞}y = \mathop {\lim }\limits_{x → ±∞}\frac{-x + 2}{x + 1} = -1\)
Vậy đường thẳng \(y = -1\) là tiệm cận ngang.
– Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0; 2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2; 0)\) (Hình 23).
Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{x – 2}{2x + 1}\).
Giải:
1. Tập xác định: R\{\(-\frac{1}{2}\)}
2. Sự biến thiên
– Chiều biến thiên
\(y’ = \frac{2x + 1 – 2(x – 3)}{(2x + 1)^2} = \frac{5}{(2x + 1)^2};\)
y’ không xác định khi \(x = -\frac{1}{2}\)
y’ luôn luôn dương với mọi \(x ≠ – \frac{1}{2}\)
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -\frac{1}{2})\) và \((-\frac{1}{2}; +∞)\)
– Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị.
– Tiệm cận
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-\frac{1}{2})^-}y = \mathop {\lim}\limits_{x → (-\frac{1}{2})^-}\frac{x – 2}{2x + 1} = +∞\)
\(\mathop {\lim}\limits_{x → (-\frac{1}{2})^+}y = \mathop {\lim}\limits_{x → (-\frac{1}{2})^+}\frac{x – 2}{2x + 1} = -∞\)
Do đó, đường thẳng \(x = -\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}y = \mathop {\lim}\limits_{x → ±∞}\frac{x – 2}{2x + 1} = \frac{1}{2}\)
Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0; -2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2; 0)\) (Hình 24).
Dạng của đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d} (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0)\)
\(D = ad – BC > 0\) | \(D = ad – bc < 0\) |
III. Sự Tương Giao Của Các Đồ Thị
Câu hỏi 6 bài 5 trang 42 SGK giải tích lớp 12: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
\(y = x^2 + 2x – 3\)
\(y = -x^2 – x + 2\)
Phương pháp giải:
Cho hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\)
Hoành độ giao điểm \(x_0\) là nghiệm của phương trình \(f(x) = g(x)\)
Thay \(x_0\) tìm được vào f(x) hoặc g(x) để được tung độ.
Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2 + 2x – 3 = -x^2 – x + 2\)
\(⇔ 2x^2 + 3x – 5 = 0\)
\(⇔ x = 1\) hoặc \(x = -\frac{5}{2}\)
Với \(x = 1\) thì \(y = 0\)
Với \(x = -\frac{5}{2}\) thì \(y = -\frac{7}{4}\)
Vậy tọa độ giao điểm là \((1, 0)\) và \((-\frac{5}{2}, -\frac{7}{4})\)
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị là \((C_1)\) và hàm số \(y = g(x)\) có đồ thị là \((C_2)\). Để tìm hoành độ giao điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) ta phải giải phương trình \(f(x) = g(x)\).
Giả sử phương trình trên có các nghiệm là \(x_0, x_1,…\) Khi đó, các giao điểm của \((C_1)\) và \((C_2)\) là \(M_0(x_0; f(x_0)), M_1(x_1; f(x_1)),…\)
Ví dụ 7: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{x – 1}{x + 1}\) luôn luôn cắt đường thẳng (d): \(y = m – x\) với mọi giá trị của m.
Giải: (C) luôn cắt (d) nếu phương trình \(\frac{x – 1}{x + 1} = m – x (1)\) có nghiệm với mọi m.
Ta có:
\(\frac{x – 1}{x + 1} = m – x ⇔ \begin{cases}x – 1 = (x + 1)(m – x)\\x ≠ -1\end{cases}\)
\(⇔ \begin{cases}x^2 + (2 – m)x – m – 1 = 0 (2)\\m ≠ -1\end{cases}\)
Xét phương trình (2), ta có \(Δ = m^2 + 8 > 0\) với mọi giá trị của m và \(x = -1\) không thỏa mãn (2) nên phương trình luôn có hai nghiệm khác -1. Vậy (C) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm.
Ví dụ 8:
a. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = x^3 + 3x^2 – 2\)
b. Sử dụng đồ thị, biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(x^3 + 3x^2 – 2 = m (3)\)
Giải:
a. \(y’ = 3x^2 + 6x\)
\(y’ = 0 ⇔ x = 0, x = -2\)
Đồ thị có điểm cực đại là \((-2; 2)\) và điểm cực tiểu là \((0; -2)\)
Đồ thị của hàm số \(y = x^3 + 3x^2 – 2\) được biể diễn trên hình 25.
b. Số nghiệm của phương trình (3) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x^3 + 3x^2 – 2\) và đường thẳng \(y = m\).
Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (3).
\(m > 2:\) Phương trình (3) có một nghiệm
\(m = 2:\) Phương trình (3) có hai nghiệm
\(-2 < m < 2:\) Phương trình (3) có ba nghiệm
\(m = -2:\) Phương trình (3) có hai nghiệm
\(m < -2:\) Phương trình (3) có một nghiệm
Bài Tập Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Hướng dẫn giải bài tập Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Toán Giải Tích Lớp 12. Sẽ giúp các bạn có thêm nhiều phương pháp giải toán giúp học tốt toán và làm bài tập sgk được tốt hơn. Tuy nhiên, môn Toán đã chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm cho nên việc học và giải các bài tập toán khác trước đây rất nhiều, yêu cầu kỹ năng giải bài tập phải nhanh và tập chung vào nhiều phần khác để kiếm điểm chứ không chăm chăm vào 1 điểm từ phần này như mọi năm.
Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a. \(y = 2 + 3x – x^3\)
b. \(y = x^3 + 4x^2 + 4x\)
c. \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
d. \(y = -2x^3 + 5\)
Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:
a. \(y = -x^4 + 8x^2 – 1\)
b. \(y = x^4 – 2x^2 + 2\)
c. \(y = \frac{1}{2}x^4 – x^2 – \frac{3}{2}\)
d. \(y = 2x^2 – x^4\)
Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a. \(y = \frac{x + 3}{x – 1}\)
b. \(y = \frac{1 – 2x}{2x – 4}\)
c. \(y = \frac{-x + 2}{2x + 1}\)
Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số. Từ đồ thị tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a. \(x^3 – 3x^2 + 5 = 0\)
b. \(-2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\)
c. \(2x^2 – x^4 = -1\)
Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = -x^3 + 3x + 1\).
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m: \(x^3 – 3x + m = 0\).
Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(y = \frac{mx – 1}{2x + m}\)
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua \(A(-1; \sqrt{2})\).
c. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2 + m\).
a. Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm \((-1; 1)\)?
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m = 1\).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).
Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(y = x^3 + (m + 3)x^2 + 1 – m\) (m là tham số), có đồ thị là \((C_m)\)
a. Xác định m để hàm số có điểm cực đại là \(x = -1\).
b. Xác định m để có đồ thị \((C_m)\) cắt truch hoành tại điểm \(x = -2\).
Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Cho hàm số \(y = \frac{(m + 1)x – 2m + 1}{x – 1}\) (m là tham số) có đồ thị là G.
a. Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm \((0; -1)\).
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Ở trên là nôi dung Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số môn Toán Giải Tích Lớp 12. Qua bài học các bạn sẽ nắm được hình dạng cũng như bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, các hàm số phổ biến trong chương trình phổ thông như hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn trùng phương và hàm số phân thức bậc nhất/ bậc nhất (hàm nhất biến).
Trả lời