Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số – Giải Tích Lớp 12
Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a. \(\)\(y = 2 + 3x – x^3\)
b. \(y = x^3 + 4x^2 + 4x\)
c. \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
d. \(y = -2x^3 + 5\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
Câu a: \(y = 2 + 3x – x^3\)
Phương pháp giải:
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
* Xét chiều biến thiên của hàm số:
– Tính đạo hàm.
– Tìm các điểm \(x_i\) mà tại đó đạo hàm có \(y’ = 0\) hoặc đạo hàm không xác định.
– Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
* Tìm cực trị: \(y(x_i)\)
* Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có \((\lim_{x → ±∞}y, \lim_{x → x_0}y)\)
* Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.
Bước 3: Đồ thị:
– Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x = 0 ⇒ y = … ⇒ A(0;….)\)
– Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y = 0 ⇒ x = … ⇒ B(…; 0)\)
– Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.
Giải: \(y = 2 + 3x – x^3\)
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên
– Chiều biến thiên:
Ta có: \(y’ = 3 – 3x^2 ⇒ y’ = 0 ⇔ 3 – 3x^2 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 1 \\ x = -1\\ \end{gathered} \right.\)
Trên khoảng \((-1; 1), y’ > 0\) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((1; +∞)\) có \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.
– Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1, y_{CĐ} = y(1) = 4\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -1; y_{CT} = y(-1) = 0\).
– Giới hạn vô cực
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}(2 + 3x – x^3) = \lim_{x → -∞}x^3.(\frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^2} – 1) = +∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}(2 + 3x – x^3) = \lim_{x → +∞}x^3(\frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^2} – 1) = -∞\)
– Bảng biến thiên:
– Đồ thị:
Ta có: \(2 + 3x – x^3 = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = 2 \\ x = -1\\ \end{gathered} \right.\)
Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm (2; 0) và (-1; 0).
Ta có: \(y” = -6x; y” = 0 ⇔ x = 0\). Với x = 0 ta có y = 2. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm I(0; 2) làm tâm đối xứng.
Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ x = -2 suy ra y = 4.
Câu b: \(y = x^3 + 4x^2 + 4x\)
Xét hàm số \(y = x^3 + 4x^2 + 4x\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y’ = 3x^2 + 8x + 4\)
\(⇒ y’ = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -2 \\ x = -\frac{2}{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -2)\) và \((-\frac{2}{3}; +∞)\) và nghịch biến trên \((-2; -\frac{2}{3})\).
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = -2\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = y(-2) = 0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -\frac{2}{3}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = y(-\frac{2}{3}) = -\frac{32}{27}\)
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}(x^3 + 4x^2 + 4x)\)
\(= \lim_{x → -∞}x^3.(1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}) = -∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}(x^3 + 4x^2 + 4x)\)
\(= \lim_{x → +∞}x^3(1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}) = +∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 0), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \(x^3 + 4x^2 + 4x = 0 ⇔ x = 0\) hoặc x = -2 nên tọa độ các giao điểm là (0; 0) và (-2; 0).
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y” = 6x + 8 ⇒ y” = 0 ⇔ x = -\frac{4}{3} ⇒ y = -\frac{16}{27}\)
Câu c: \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
Xét hàm số \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y’ = 3x^2 + 2x + 9 = 2x^2 + (x^2 + 2x + 1) + 8\)
\(= 2x^2 + (x + 1)^2 + 8 > 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn đồng biến trên R và không có cực trị.
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}x^3.(1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{x^2}) = -∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}x^3.(1 + \frac{1}{x} + \frac{9}{x^2}) = +∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0; 0), cắt trục Oy tại điểm (0; 0).
Tâm đối xứng:
\(y” = 0 ⇔ 6x + 2 = 0 ⇔ x = -\frac{1}{3}\)
Suy ra tọa độ tâm đối xứng là: \(I(-\frac{1}{3}; -\frac{79}{27})\).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((-1; -1)\) và \((\frac{1}{2}; \frac{39}{8})\)
Câu d: \(y = -2x^3 + 5\)
Xét hàm số \(y = -2x^3 + 5\)
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y’ = -6x^2 ≤ 0, ∀x\).
Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn:
\(\lim_{x → -∞}y = \lim_{x → -∞}x^3(-2 + \frac{5}{x^3}) = +∞\)
\(\lim_{x → +∞}y = \lim_{x → +∞}x^3(-2 + \frac{5}{x^3}) = -∞\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Tính đối xứng: \(y” = -12x; y” = 0 ⇔ x = 0\).
Vậy đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(0; 5) là tâm đối xứng.
Đồ thị hàm số cắt trụ Oy tại điểm (0; 5), đồ thị cắt trục Õ tại điểm \((\sqrt[3]{\frac{5}{2}}; 0)\)
Để giúp các bạn dễ hiểu hơn trong bài tập 1 này, trước khi giải mời các bạn ôn lại kiến thức các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên:
- Xét chiều biến thiên của hàm số
- Tính đạo hàm: \(y’ = 3ax^2 + 2bx + c\)
- \(y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0\) (Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn thì giải \(Δ; Δ’\) tính cho nghiệm lẻ – không được ghi nghiệm gần đúng).
- Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị hàm số
- Tìm các giới hạn tại vô cực \((x → ±∞)\)
- Hàm số bậc ba nói riêng và các hàm số đa thức nói chung không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
- Lập bảng biến thiên.
- Vẽ bảng biến thiên và thể hiện đầy đủ các giá trị trên bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Tính đối xứng: Đồ thị của hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0, f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f”(x_0) = 0\) làm tâm đối xứng.
- Giao của đồ thị với trục Oy là: x = 0 ⇒ y = d ⇒ (0; d)
- Giao của đồ thị với trục Ox là: \(y = 0 ⇔ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ⇔ x = ?\)
- Các điểm cực đại; cực tiểu (nếu có).
Thực tế thì đây là các bước làm trình tự để giải một bài tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Nhưng khi làm bài kiểm tra hoặc thi các bạn nên giải thật nhanh bằng cách luyện máy tính Casio nhé, chứ ngồi bấm là ăn trứng vịt.
Câu a: \(y = 2 + 3x – x^3\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = +∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên:
- Đạo hàm: \(y’ = 3 – 3x^2\)
- Ta có: \(y’ = 0 ⇔ x = ± 1\)
Bảng biến thiên:
Theo bảng biến thiên ta dễ dàng nhìn thấy hàm số đồng biến trong các khoảng (-1; 1), hàm số ngịch biến trên các khoảng \((-∞; -1)\) và \((1; +∞)\).
Đồ thị cắt trục \(Ox\) tại các điểm \((2; 0)\) và \((-1; 0)\), cắt \(Oy\) tại điểm \((0; 2)\).
Đồ thị:
Ta có: \(y” = 6x\); \(y” = 0 ⇔ x = 0\). Với x = 0 ta có y = 2. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0; 2)\) làm tâm đối xứng.
Như vậy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ x = -2 suy ra y = 4.
Câu b: \(y = x^3 + 4x^2 + 4x\)
Xét hàm số \(y = x^3 + 4x^2 + 4x\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = +∞\).
Sự biến thiên:
Tính đạo hàm: \(y’= 3x^3 + 8x + 4\).
\(y’ = 0 ⇔ \left[ \begin{gathered} x = -2 \\ x = -\frac{2}{3}\\ \end{gathered} \right.\)
Bảng biến thiên:
Như vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-∞; -2), (-\frac{2}{3}; +∞)\) và nghịch biến trên \((-2; -\frac{2}{3})\).
Cực trị của hàm số là:
- Hàm số đạt giá trị cực đại tại x = -2, đạt giá trị cực đại \(y_{cđ} = y(-2) = 0\).
- Hàm số đạt giá trị cực tiểu tại \(x = -\frac{2}{3}\), đạt giá trị cực tiểu \(y_{ct} = y(-\frac{2}{3}) = -\frac{32}{27}\)
Đồ thị hàm số:
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số: \(y” = 6x + 8; y” = 0 ⇔ x = -\frac{4}{3} ⇒ y = -\frac{16}{27}\)
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;0), cắt trục Ox tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: \(x^3 + 4x^4 + 4x = 0 ⇔ x = 0\) hoặc x = -2 nên tọa độ các giao điểm là (0; 0) và (-2; 0).
Câu c: \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
Xét hàm số \(y = x^3 + x^2+ 9x\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = -∞; \lim_{x → +∞}y = +∞\).
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y’ = 3x^2 + 2x + 9 > 0, ∀x\)
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \(R\) và không có cực trị.
Bảng biến thiên :
Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0; 0) và cắt trục Oy tại điểm (0; 0).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y” = 0 ⇔ 6x + 2 = 0 ⇔ x = -\frac{1}{3}.\) Vậy tọa độ tâm đối xứng là: \(I(-\frac{1}{3}; -\frac{79}{27})\).
Tuy nhiên ta vẫn chưa có đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số, cho nên cần lấy thêm hai điểm có hoành độ cách đều hoành độ là \(x_1\) và \(x_2\) sao cho \(|x_1 – (-\frac{1}{3})| = |x_2 – (-\frac{1}{3})|\), lúc này hai điểm này sẽ đối xứng nhau qua điểm uốn. Ta chọn các điểm \((-1; -9)\) và \((\frac{1}{2}; \frac{39}{8})\).
Câu d: \(y = -2x^3 + 5\)
Xét hàm số \(y= -2x^3 + 5\)
Ta có tập xác định: D = R
Giới hạn: \(\lim_{x → -∞}y = +∞; \lim_{x → +∞}y = -∞\)
Sự biến thiên:
Đạo hàm: \(y’ = -6x^2 ≤ 0, ∀x.\)
Bảng biến thiên như sau:
Vậy ta có hàm số luôn nghịch biến trên R.
Hàm số không có cực trị.
Đồ thị:
- Tính đối xứng: \(y” = -12x; y” = 0 ⇔ x = 0\). Cho nên đồ thị hàm số nhận điểm uốn tại \(I(0; 5)\) làm tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \((0; 5)\), đồ thị cắt trục Ox tại điểm \((\sqrt[3]{\frac{5}{2}}; 0)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12 Của Bài 5: Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Thuộc Chương I: Ứng Dụng Đạo Hàm Để Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số Môn Giải Tích Lớp 12. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Giải Tích Lớp 12.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 2 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 3 Trang 43 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 4 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 5 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 6 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 7 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 8 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
- Bài Tập 9 Trang 44 SGK Giải Tích Lớp 12
Trả lời