Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song – Hình Học Lớp 11
Bài Tập Ôn Tập Chương II
Bài Tập 1 Trang 77 SGK Hình Học Lớp 11
Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:
(AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
b. Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).
c. Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 77 SGK Hình Học Lớp 11
b. Tìm hai điểm chung của AM với mặt phẳng (BCE).
c. Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử AC và BF đồng phẳng.
Câu a: Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
Trong (ABCD), gọi I = AC ∩ BD.
Do đó: \(\)\(\begin{cases}I ∈ AC ⊂ (AEC)\\I ∈ BD ⊂ (BFD)\end{cases} ⇒ I ∈ (AEC) ∩ (BFD)\)
Trong (ABEF), gọi J = AE ∩ BF.
Do đó \(\begin{cases}J ∈ AE ⊂ (AEC)\\J ∈ BF ⊂ (BFD)\end{cases} ⇒ J ∈ (AEC) ∩ (BFD)\)
Vậy (ACE) ∩ (BDF) = IJ
Trong (ABCD): gọi G = AD ∩ BC.
Khi đó \(\begin{cases}G ∈ AD ⊂ (ADF)\\G ∈ BC ⊂ (BCE)\end{cases} ⇒ G ∈ (ADF) ∩ (BCE)\)
Trong (ABEF): gọi H = AF ∩ BE.
Khi đó \(\begin{cases}H ∈ AF ⊂ (ADF)\\H ∈ BE ⊂ (BCE)\end{cases} ⇒ H ∈ (ADF) ∩ (BCE)\)
Vậy (BCE) ∩ (ADF) = GH
Câu b: Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).
Trong (AGH): Gọi N = AM ∩ GH
\(⇒ \begin{cases}N ∈ AM\\N ∈ GH ⊂ (BGH) ≡ (BCE)\end{cases} ⇒ N = AM ∩ (BCE)\)
Câu c: Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử AC và BF cùng nằm trong một mặt phẳng.
Khi đó BF ⊂ (ABCD) hay hai mặt phẳng (ABCD) và (ABEF) trùng nhau (mâu thuẫn giả thiết)
Do đó: AC và BF không cắt nhau.
Câu a: Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
Giao tuyến của các cặp mặt phẳng
Giao tuyến của (AEC) và (BFD)
Trong hình thang ABCD, AC cắt DB tại G, ta có:
\(\left.\begin{matrix}G ∈ AC ⊂ (AEC)\\ G ∈ DB ⊂ (BFD)\end{matrix}\right\} ⇒ G ∈ (AEC) ∩ (BFD)\)
Tương tự, AE cắt BF tại H,
Ta có:
\(\begin{cases}H ∈ AE ⊂ (AEC)\\H ∈ BF ⊂ (BFD)\end{cases} ⇒ H ∈ (AEC) ∩ (BFD)\)
Vậy GH = (AEC) ∩ (BFD)
Giao tuyến của (BCE) và (ADF)
Trong hình thang ABCD, BC cắt AD tại I, ta có: I ∈ (BCE) ∩ (ADF)
Trong hình thang ABEF, BE cắt AF tại K, ta có: K ∈ (BCE) ∩ (ADF)
Vậy IK = (BCE) ∩ (ADF)
Câu b: Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).
Giao điểm của AM với mp(BCE)
Trong mp(ADF), AM cắt IK tại N, ta có:
N ∈ IK ⊂ (BCE)
Vậy N = AM ∩ (BCE).
Câu c: Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
⇒ Qua AC và BF xác định duy nhất 1 mặt phẳng.
Mà qua A và BF có duy nhất mặt phẳng (ABEF)
⇒ AC ⊂ (ABEF)
⇒ C ∈ (ABEF) (Vô lý).
Vậy AC và BF không cắt nhau.
Câu a: Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF)
Gọi G là giao điểm của AC và BF
H là giao điểm của AE và BF
Ta có G, H ∈ (AEC) ∩ (BFD)
⇒ (AEC) ∩ (BFD) = GH
Gọi I là giao điểm của AD và BC.
K là giao điểm của AF và BE.
Ta có (BCE) ∩ (ADF) = IK
Câu b: Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).
Gọi N là giao điểm của AM với IK thì N = AM ∩ (BCE) (vì IK ⊂ (BCE))
Câu c: Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
Nếu AC và BF cắt nhau thì hai hình thang đã cho cùng nằm trên một mặt phẳng. Điều này trái với giả thiết.
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 77 SGK Hình Học Lớp 11 Của Bài Tập Ôn Tập Chương II Thuộc Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian. Quan Hệ Song Song Môn Hình Học Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 11.
Trả lời