Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân – Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài Tập 1 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Chứng minh rằng với \(\)\(n ∈ ℕ^*\), ta có các đẳng thức:
a. \(2 + 5 + 8 + … + 3n – 1 = \frac{n(3n + 1)}{2}\)
b. \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n – 1}{2^n}\)
c. \(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11
Câu a: \(2 + 5 + 8 + … + 3n – 1 = \frac{n(3n + 1)}{2}\)
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n = k ≥ 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n = k + 1\).
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Giải:
Với \(n = 1\), vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng \(\frac{1.(3.1 + 1)}{2} = 2\).
Do đó hệ thức a đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử đẳng thức a đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k = 2 + 5 + 8 +…+ 3k – 1 = \frac{k(3k + 1)}{2}\)
Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là phải chứng minh \(S_{k + 1} = 2 + 5 + 8 + … + 3k – 1 + (3(k + 1) – 1) = \frac{(k +1)(3(k + 1) + 1)}{2}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k + 1} = [2 + 5 + 8 +…+ 3k – 1] + (3(k + 1) – 1)\)
\(= S_k = 3k + 2\)
\(= \frac{k(3k + 1)}{2} + 3k + 2\)
\(= \frac{3k^2 + k + 6k + 4}{2}\)
\(= \frac{3k^2 + 7k + 4}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 4)}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 3 + 1)}{2} = \frac{(k + 1)[3(k + 1) + 1]}{2}\) (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu b: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n – 1}{2^n}\)
Với \(n = 1\), vế trái bằng \(\frac{1}{2}\), vế phải bằng \(\frac{1}{2}\), do đó hệ thức đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức b đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^k} = \frac{2^k – 1}{2^k}\)
Ta phải chứng minh \(S_{k + 1} = \frac{2^{k + 1} – 1}{2^{k + 1}}\).
Thật vậy. từ giả thiết quy nạp, ta có:
\(S_{k + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k + 1}}\)
\(= S_k + \frac{1}{2^{k + 1}}\)
\(= \frac{2^k – 1}{2^k} + \frac{1}{2^{k + 1}} = \frac{2(2^k – 1)}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} – 2 + 1}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} – 1}{2^{k + 1}}\) (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu c: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
Với \(n = 1\), vế trái bằng 1, vế phải bằng \(\frac{1(1 + 1)(2 + 1)}{6} = 1\) nên hệ thức c đúng với \(n = 1\).
Đặt vế trái bằng \(S_n\).
Giả sử hệ thức c đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là
\(S_k = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\)
Ta phải chứng minh \(S_{k + 1} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1)}{6}\)
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k + 1} = 1^2 + 2^2 + 3^2 +…+ k^2 + (k + 1)^2\)
\(= S_k + (k + 1)^2\)
\(= \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2\)
\(= \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 2 + 1)}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1]}{6}\) (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi \(n ∈ N^*\).
Câu a: \(2 + 5 + 8 + … + 3n – 1 = \frac{n(3n + 1)}{2}\)
Khi \(n = 1\) ta có thể thấy đẳng thức đã cho là đúng. Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), nghĩa là: \(2 + 5 + 8 +…+ 3k – 1 = \frac{k(3k + 1)}{2} (1)\) (theo giả thiết quy nạp)
Bước tiếp teo ta cần phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là \(2 + 5 + 8 +….+ 3k – 1 + 3k + 2 = \frac{(k + 1)(3k + 4)}{2} (2)\)
Thật vậy từ (1) ta có:
\((2 + 5 + 8 +….+ 3k – 1) + 3k + 2 = \frac{(k + 1)(3k + 4)}{2} + 3k + 2\)
\(= \frac{k(3k + 1) + 2(3k + 1)}{2} = \frac{3k^2 + 7k + 4}{2} = \frac{(k + 1)(3k + 4)}{2}\)
Vậy (2) đúng ⇒ (điều phải chứng minh)
Câu b: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^n} = \frac{2^n – 1}{2^n}\)
Khi \(n = 1\), ta có thể thấy đẳng thức đã cho là đúng.
Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … + \frac{1}{2^k} = \frac{2^k – 1}{2^k} (1)\)
Tiếp theo ta cần phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +…+ \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} – 1}{2^{k + 1}} (2)\)
Thật vậy từ (1) ta có: \((\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} +…+ \frac{1}{2^k}) + \frac{1}{2^{k + 1}} = \frac{2^k – 1}{2^k} + \frac{1}{2^{k + 1}}\)
\(= \frac{2(2^k – 1) + 1}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} – 1}{2^{k + 1}}\)
Câu c: \(1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
Khi \(n = 1\), ta có thể thấy đẳng thức đã cho là đúng.
Giả sử đẳng thức với \(n = k ≥ 1\), tức là:
\(1^2 + 2^2 + 3^2 +…+ k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\)
Ta phải chứng minh rằng đẳng thức đã cho cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là:\(1^2 + 2^2 + 3^2 +…+ k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2\)
\(= \frac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} = \frac{(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6}\)
\(= \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\)
Vậy (2) đúng, từ đó ⇒ (đpcm).
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 82 SGK Đại Số & Giải Tích Lớp 11 Của Bài 1: Phương Pháp Quy Nạp Toán Học Thuộc Chương III: Dãy Số, Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Môn Đại Số Và Giải Tích Lớp 11. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Và Giải Tích Lớp 11.
Trả lời