Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Phương Trình Đường Elip
Bài Tập 1 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:
a. \(\)\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
b. \(4x^2 + 9y^2 = 1\)
c. \(4x^2 + 9y^2 = 36\)
Lời Giải Bài Tập 1 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10
Câu a: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
Phương pháp giải:
Cho phương trình ellip \((E): \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.\)
Khi đó:
– Độ dài trục lớn là: 2a và độ dài trục nhỏ là 2b.
– Tọa độ các đỉnh là: \(A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B_1(-b; 0), B_2(b; 0)\)
– Tọa độ tiêu điểm: \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\) với \(c^2 = a^2 – b^2.\)
Giải:
Ta có: \(a^2 = 25 ⇒ a = 5\) độ dài trục lớn \(2a = 10\)
\(b^2 = 9 ⇒ b = 3\) độ dài trục nhỏ \(2b = 6\)
\(c^2 = a^2 – b^2 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4\)
Vậy hai tiêu điểm là: \(F_1(-4; 0)\) và \(F_2(4; 0)\)
Tọa độ các đỉnh \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)\)
Câu b: \(4x^2 + 9y^2 = 1\)
\(4x^2 + 9y^2 = 1 ⇔ \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{9}} = 1\)
\(a^2 = \frac{1}{4} ⇒ a = \frac{1}{2} ⇒\) độ dài trục lớn \(2a = 1\)
\(b^2 = \frac{1}{9} ⇒ b = \frac{1}{3} ⇒\) độ dài trục nhỏ \(2b = \frac{2}{3}\)
\(c^2 = a^2 – b^2 = \frac{1}{4} – \frac{1}{9} = \frac{5}{36} ⇒ c = \frac{\sqrt{5}}{6}\)
\(F_1(-\frac{\sqrt{5}}{6}; 0)\) và \(F_2(\frac{\sqrt{5}}{6}; 0)\)
\(A_1(-\frac{1}{2}; 0), A_2(\frac{1}{2}; 0), B_1(0; -\frac{1}{3}), B_2(0; \frac{1}{3})\)
Câu c: \(4x^2 + 9y^2 = 36\)
Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được: \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)
Ta có:
\(a^2 = 9 ⇒ a = 3\)
\(b^2 = 4 ⇒ b = 2\)
\(c^2 = a^2 – b^2 = 5 ⇒ c = \sqrt{5}\)
– Độ dài trục lớn \(2a = 6\)
– Độ dài trục nhỏ \(2b = 4\)
– Tiêu điểm \(F_2(-\sqrt{5}; 0)\) và \(F_2(\sqrt{5}; 0)\)
– Các đỉnh \(A_1(-3; 0), A_2(3; 0), B_1(0; -2), B_2(0; 2)\)
Câu a: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\)
Ta có phương trình chính tắc của \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9}= 1\) có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Ta có: \(\begin{cases}a^2 = 25\\b^2 = 9\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = 5\\ b = 3\end{cases}\) và c \(\sqrt{a^2 – b^2} = 4\)
– Trục lớn \(A_1A_2 = 2a = 10\)
– Trục nhỏ \(B_1B_2 = 2b = 6\)
– Tiêu điểm \(F_1(-4; 0)\) và \(F_2(4; 0)\)
– Bốn đỉnh \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3)\) và \(B_2(0; 3)\)
Câu b: \(4x^2 + 9y^2 = 1\)
Phương trình chính tắc của \((E): \frac{x^2}{\frac{1}{4}} + \frac{y^2}{\frac{1}{9}} = 1\) thuộc dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Ta có: \(\begin{cases}a^2 = \frac{1}{4}\\ b^2 = \frac{1}{9}\end{cases} ⇔ \begin{cases}a = \frac{1}{2}\\ b = \frac{1}{3}\end{cases}\)
\(c^2 = a^2 – b^2 = \frac{1}{4} – \frac{1}{9} = \frac{5}{36} ⇔ c = \frac{\sqrt{5}}{6}\)
– Trục lớn \(A_1A_2 = 2a = 1\)
– Trục nhỏ \(B_1B_2 = 2b = \frac{2}{3}\)
– Tiêu đề \(F_1(-\frac{\sqrt{5}}{6}; 0)\) và \(F_2(\frac{\sqrt{5}}{6}; 0).\)
– Bốn đỉnh \(A_1(-\frac{1}{2}; 0), A_2(\frac{1}{2}; 0), B_1(0; -\frac{1}{3})\) và \(B_2(0; \frac{1}{3})\)
Câu c: \(4x^2 + 9y^2 = 36\)
Phương trình chính tắc của \((E): \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Ta có: \(\begin{cases}a^2 = 9\\ b^2 = 4 \end{cases} ⇔ \begin{cases}a = 3\\ b = 2\end{cases}\) và \(c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{5}\)
– Trục lớn \(A_1A_2 = 2a = 6\)
– Trục nhỏ \(B_1B_2 = 2b = 4\)
– Tiêu điểm \(F_1(-\sqrt{5}; 0)\) và \(F_2(\sqrt{5}; 0)\)
– Bốn đỉnh \(A_1(-3; 0), A_2(3; 0), B_1(0; -2)\) và \(B_2(0; 2)\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 1 Trang 88 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 3: Phương Trình Đường Elip Thuộc Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Trả lời