Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác – Đại Số Lớp 10
Bài 3: Công Thức Lượng Giác
Bài Tập 2 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Tính
a. \(\)\(cos(α + \frac{π}{3})\), biết \(sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α < \frac{π}{2}\)
b. \(tan(α – \frac{π}{4})\), biết \(cosα = -\frac{1}{3}\) và \(\frac{π}{2} < α < π.\)
c. \(cos(a + b), sin(a – b)\), biết \(sina = \frac{4}{5}, 0^0 < a < 90^0\) và \(sinb = \frac{2}{3}, 90^0 < b < 180^0.\)
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10
Câu a: \(cos(α + \frac{π}{3})\), biết \(sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α < \frac{π}{2}\)
Phương pháp giải:
– Với \(0 < α < \frac{π}{2}\) ta có: \(sinα > 0, cosα > 0.\)
– Với \(\frac{π}{2} < α < π\) ta có: \(sinα > 0, cosα < 0.\)
– \(sin^2α + cos^2α = 1\)
– \(tan^2x + 1 = \frac{1}{cos^2x}\)
– \(cot^2x + 1 = \frac{1}{sin^2x}\)
– \(sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ\)
– \(cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ\)
– \(cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ\)
– \(tan(α – β) = \frac{tanα – tanβ}{1 + tanαtanβ}\)
Giải:
Ta có: \(sin^2α + cos^2α = 1\)
\(⇒ cos^2α = 1 – sin^2α\)
\(= 1 – (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{2}{3}\)
Mà \(0 < α < \frac{π}{2} ⇒ cosα > 0\)
\(⇒ cosα = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(⇒ cos(α + \frac{π}{3}) = cosαcos\frac{π}{3} – sinαsin\frac{π}{3}\)
\(= \frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2} – \frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} – 3}{6}\)
Câu b: \(tan(α – \frac{π}{4})\), biết \(cosα = -\frac{1}{3}\) và \(\frac{π}{2} < α < π.\)
\(sin^2α + cos^2α = 1\)
\(⇒ sin^2α = 1 – cos^2α\)
\(= 1 – (-\frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}\)
Mà \(\frac{π}{2} < α < π ⇒ sinα > 0\)
\(⇒ sinα = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(⇒ tanα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{2\sqrt{2}}{3} : (-\frac{1}{3}) = -2\sqrt{2}\)
\(tan(α – \frac{π}{4}) = \frac{tanα – tan\frac{π}{4}}{1 + tanαtan\frac{π}{4}} = \frac{-1 – 2\sqrt{2}}{1 – 2\sqrt{2}}\)
\(= \frac{2\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} – 1}\)
\(= \frac{(2\sqrt{2} + 1)^2}{8 – 1} = \frac{9 + 4\sqrt{2}}{7}\)
Câu c: \(cos(a + b), sin(a – b)\), biết \(sina = \frac{4}{5}, 0^0 < a < 90^0\) và \(sinb = \frac{2}{3}, 90^0 < b < 180^0.\)
\(sin^2a + cos^2a = 1\)
\(⇒ cos^2a = 1 – sin^2a\)
\(= 1 – (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25}\)
Mà \(0^0 < a < 90^0 ⇒ cosa > 0 ⇒ cosa = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\)
\(sin^2b + cos^2b = 1\)
\(⇒ cos^2b = 1 – sin^2b\)
\(= 1 – (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9}\)
Mà \(90^0 < b < 180^0 ⇒ cosb < 0 ⇒ cosb = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(cos(a + b) = cosacosb – sinasinb\)
\(= \frac{3}{5}(-\frac{\sqrt{5}}{3}) – \frac{4}{5}.\frac{2}{3} = -\frac{3\sqrt{5} + 8}{15}\)
\(sin(a – b) = sinacosb – cosasinb\)
\(= \frac{4}{5}.(-\frac{\sqrt{5}}{3}) – \frac{3}{5}.\frac{2}{3}\)
Câu a: \(cos(α + \frac{π}{3})\), biết \(sinα = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < α < \frac{π}{2}\)
\(cos(α + \frac{π}{3}) = cosα.cos\frac{π}{3} – sinα.sin\frac{π}{3}\) (công thức cộng)
\(= \frac{1}{2}cosα – \frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}cosα – \frac{1}{2}\) (1)
Mà \(0 < α < \frac{1}{2}\) nên \(cosα > 0\)
Và \(cos^2α + sin^2α = 1 ⇒ cos^2α = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} ⇒ cosα = \frac{\sqrt{6}}{3}\)
Vậy, (1) ⇔ \(cos(α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}cosα + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} – \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} – 3}{6}\)
Câu b: \(tan(α – \frac{π}{4})\), biết \(cosα = -\frac{1}{3}\) và \(\frac{π}{2} < α < π.\)
\(tan(α – \frac{π}{4}) = \frac{tanα – tan\frac{π}{4}}{1 + tanα} = \frac{tanα – 1}{1 + tanα}\) (1)
Mà \(\frac{π}{2} < α < π ⇒ tan α < 0\)
Và \(cosα = -\frac{1}{2} ⇒ tanα = 2\sqrt{2}\)
Từ (1), ta có: \(tan(α – \frac{π}{4}) = \frac{-2\sqrt{2} – 1}{1 – 2\sqrt{2}} ⇒ \frac{2\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} – 1} = \frac{(2\sqrt{2} + 1)^2}{7}\)
Vây, \(tan (α – \frac{π}{4}) = \frac{(2\sqrt{2} + 1)^2}{7}\)
Câu c: \(cos(a + b), sin(a – b)\), biết \(sina = \frac{4}{5}, 0^0 < a < 90^0\) và \(sinb = \frac{2}{3}, 90^0 < b < 180^0.\)
\(\begin{cases}*\, \,Vì \, \,0^0 < a < 90^0 ⇒ cosa > 0\\vì \, \,sina = \frac{4}{5}⇒ cosa = ±\frac{3}{5}\end{cases} ⇒ cosa = \frac{3}{5}\)
\(\begin{cases}*\, \,Vì \, \,90^0 < b < 180^0 ⇒ cosb < 0\\vì \, \,sinb = \frac{2}{3} ⇒ cosb = ±\frac{\sqrt{5}}{3}\end{cases} ⇒ cosb = -\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Mà \(cos(a + b) = cosacosb – sinasinb; sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa\)
Suy ra, \(cos(a + b) = \frac{3}{5}.(\frac{-\sqrt{5}}{3}) – \frac{4}{5}.\frac{2}{3} = \frac{-(3\sqrt{5} + 8)}{15}\)
\(sin(a – b) = \frac{4}{5}.\frac{-\sqrt{5}}{3} – \frac{2}{3}.\frac{3}{5} = \frac{-(4\sqrt{5} + 6)}{15}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 154 SGK Đại Số Lớp 10 Của Bài 3: Công Thức Lượng Giác Thuộc Chương VI: Cung Và Góc Lượng Giác. Công Thức Lượng Giác Môn Đại Số Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Đại Số Lớp 10.
Trả lời