Chương I: Vectơ – Hình Học Lớp 10
Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số
Bài Tập 2 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác \(\)\(ABC\). Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}\) theo hai vectơ \(\vec{u} = \overrightarrow{AK}, \vec{v} = \overrightarrow{BM}\).
Lời Giải Bài Tập 2 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Với 3 điểm A, B, C bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).
Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác ta có:
\(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AK} ⇒ \overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\vec{u}\)
\(\overrightarrow{GB} = -\overrightarrow{BG} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{BM} = -\frac{2}{3}\vec{v}\)
Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vectơ:
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB} ⇒ \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
AK là trung tuyến nên K là trung điểm BC. Do đó,
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AK} ⇒ (\frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}) + \overrightarrow{AC} = 2\vec{u}\)
\(⇒ \overrightarrow{AC} = 2\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{u} + \frac{2}{3}\vec{v}\)
\(⇒ \overrightarrow{AC} = \frac{4}{3}\vec{u} + \frac{2}{3}\vec{v} ⇒ \overrightarrow{CA} = -\frac{4}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
BM là trung tuyến nên M là trung điểm AC. Do đó,
\(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BM}\)
\(⇒ -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{v}\)
\(⇒ \overrightarrow{BC} = 2\vec{v} + \overrightarrow{AB}\)
\(= 2\vec{v} + (\frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v})\)
\(= \frac{2}{3}\vec{u} + \frac{4}{3}\vec{v}\)
Cách giải khác
– K là trung điểm của BC nên ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AK} hay \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{CA} = 2\vec{u} (1)\)
– M là trung điểm AC nên ta có: \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BM}\) hay \(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{v} (2)\)
– Lại có \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0} (3)\)
Cộng (1) với (3) ta được \(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{u}\), kết hơp với (2) ta được hệ phương trình:
\(\begin{cases}2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{u}\\-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = 2\vec{v}\end{cases}\)
Trừ hai vế của hai pt cho nhau ta được: \(3\overrightarrow{AB} = 2\vec{u} – 2\vec{v} ⇔ \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
\(⇒ – (\frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}) + \overrightarrow{BC} = 2\vec{v}\)
\(⇔ \overrightarrow{BC} = 2\vec{v} + \frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
\(⇒ \overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}\vec{u} + \frac{4}{3}\vec{v}\)
Từ (1) \(⇒ \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} – 2\vec{u}\)
\(= \frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v} – 2\vec{u} = \frac{-4}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
Vậy \(\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
\(\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}\vec{u} + \frac{4}{3}\vec{v}; \overrightarrow{CA} = \frac{-4}{3}\vec{u} – \frac{2}{3}\vec{v}\)
Ở Trên Là Lời Giải Bài Tập 2 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10 Của Bài 3: Tích Của Vectơ Với Một Số Thuộc Chương I: Vectơ Môn Hình Học Lớp 10. Chúc Các Bạn Học Tốt Toán Hình Học Lớp 10.
Bài Tập Liên Quan:
- Bài Tập 1 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 3 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 4 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 5 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 6 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 7 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 8 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
- Bài Tập 9 Trang 17 SGK Hình Học Lớp 10
Trả lời